专题：对数函数知识点总结及类型题归纳

1、专题：对数函数知识点总结1,对数函数的定义: 一般地，函数y = bgx（）叫做对数函数.定义域是2.对数函数的性质为a>l0<a<l定义域：（0, +8）值域：R过点（1, 0）,即当x = l时，），=0x e (0,1)时 y < 0xe(l,+s)时 y > 0Xe(0,1)时 y>0x e (1,+s)时 yv 0在（0, +8）上是增函数在（0, +8）上是减函数思考：函数y = Iogx与函数且的定义域、值域之间有什么关系?对数函数的图象与指数函数的图象关于 对称。一般的，函数y=a'与y=logex(a>0且a¥l)互

2、称相对应的反函数，它们的图象关于直线y=x对称y二f (工)存在反函数,一般将反函数记作尸针(x)如:f (x)=2：则f'(x)nog：x,二者的定义域与值域对调,且图象关于直线y=x对称函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线尸X对称专题应用练习一、求下列函数的定义域(1)丁 = logo.2(4 x)；：<2) y = log«6-1 3>0,。工1).： y = log(2x,)(-v2 + 2x+3)(4) y = log,(4x-3)(5) y=lg(6) y= Jlog3xx-1=log(5x-l) (7x-2)的定义域是=施(8-/)

3、的定义域是3 .求函数y = log2(2.v+l)的定义域4 .函数y= log i(2f 的定义域是5 .函数y=log：(324)的定义域是,值域是6 .函数y = log5T(2x 3)的定义域7 .求函数y = loga(x-x2)(a>0,al)的定义域和值域。8 .求下列函数的定义域、值域：(1) y = log2(x+3) ；(2) y = log2(3-x2) ；(3) y = oga (x2 - 4x+7) (。>0且a。l).9 .函数 f (x) =1 In ( 7r-3x+2 + 7-r-3x+4)定义域10 .设f(X)=lg三,则f(i)+ fB的定义

4、域为 2-a2 x11 .函数f(x)二止”的定义域为10g：(A-1)12 .函数f (x)哈过的定义域为：13 .函数f (x) =1 In ( 4- +J-3-4 )的定义域为 x14>? = 1幅1。821。82'的定义域是1.设 f (x) = 1g (a/ - 2x+ a),(1)如果f (x)的定义域是(- 8, +8),求a的取值范围；(2)如果f (x)的值域是( 8, +-),求a的取值范围.15 .已知函数 f(x)= log 1 (A-2 - 2ax + 3)(1)若函数的定义域为R，求实数a的取值范围(2)若函数的值域为R,求实数a的取值范闱(3)若函数

5、的定义域为(yol)U(3,招0)，求实数a的值；(4)若函数的值域为(Y0.1,求实数a的值.16 .若函数)，=/值)的定义域为1,0,则函数y = /(log2X)的定义域为17 .已知函数六年)的定义域是T, 1,求f(log：x)的定义域.18若函数y=lg(4-a-2s)的定义域为R,则实数a的取值范围为 19 已知 x 满足不等式(log 2A)2+71og,x + 6<0,函数 /U) = (log 2 4x) (log 4 2x)的值域是20 求函数y = (k>g x)2 -logj x + l (1 <x<4)的值域。 2221.已知函数 f(x)

6、=log二二1+log：(xT)+l.og：(p-x).(1)求 f(x)的定义域： (2)求 f(x)的值域.X-1>0 ，X 1解：f(x)有意义时，有八-l>o ，p - X > 0 ，由、得X>1,由得xVp,因为函数的定义域为非空数集，故p>l,f(x)的定义域是(2) f (x)=log： (x+1) (p-x)=log二-+" + " (l<x<p),24当IV-lvp,即p>3时， 0<-6-t沙+山上01, 2244log： (a-) + / j)21og： (p+1 )-2.当口<,即 ipW3

7、 时，0<-&一曰+ ±!21<2(一1).，10a 224综合可知：当p>3时，f(x)的值域是(-oo,21og:(p+l)-2;当 lVpW3 时,函数 f(x)的值域是(-8, l+log3(p-l).二、利用对数函数的性质，比较大小例1、比较下列各组数中两个数的大小：(1) log2 3.4, log2 3.8 ：(2) log051.8 , log05 2.1 ：3(3) log75t log67 ；(4) log2 3, Iog4 5 ,2Llog,0.9, log。？ 0.8 的大小关系是2 .已知 a'>b>a>l

8、,则 m=logab, n=logba, p= logb2 的大小关系是3 .已知log石>1。酰5,试确定m和n的大小关系4,已知OVa<l,b>l,ab>l,则logaLi/川。&上的大小关系是 b ' b5 .已知 log , b<log , a<log c,比较 2”, 2a, 2的大小关系. TTT6 .设，则已知xe(l,d),试比较 = (logdX), Z? = log. x2c = log. (log. x)的大小。I 0已如>1/>1试比较a = (logdX，/xlogd的大小。9 .设 0 <x &l

9、t;L a >0,且 aWL 试比较 I loga (1-x) I 与 I loga (1+x) | 的大小。10 .已知函数，则，的大小关系是三、解指、对:方程:(1) 3"+5 =27(2) 22x = 12 (3) log5(3x) = log5(2x+l) (4) lg= lg(x-1)1 .己知3a=5'=A.且LL=2,则A的值是a b2 .已知 log- log3(log2x) =0,那么 Q等于 3 .已知 log： log3(log：x)=0,引口么 x 三等于 1.1. x£ (e 1), a=Inx, b=21nx, c=ln"

10、x,则 5 .若/(10、)=x,那么"3)等于6 .已知，则7 .已知，求的值.四、解不等式:1 . log5(3x)<log5(2x + l)2 . lg(x-l)<l3 .设。力满足0 Va < v 1,给出下列四个不等式：/vd,b0<眇,/</,用其中正确的不等式有 ,4 .已知:(1)/(%) = 1。8d在3,+00)上恒有"。)1>1,求实数。的取值范围。5 .已知函数/(x) = x2+3,g(x) = a(l x),当-2<x<2时，/(x)2g(x)恒成立，求实数。的取值范围。6 .求的取值范围，使关于X

11、的方程(lg x)2- 271g x +。一 ,) = 0有两个大于1的根.(2008 全国)若 x 伫 l),a=lnx, b=21nx, c=ln x,则7 .已知0<aVl,b>l,ab>l,则10央1，1。40纵!的大小关系是 bb8 .已知函数f(x)=logaX(a>0,aHl),如果对于任意x£ 3, +-)都有f(x)|21成立，试求a的取值范围9 .已知函数f(X)=log：(x-ax-a)在区间(,if 上是单调递减函数.求实数a的取值范围.10 .若函数y一心一4)在区间(一8/一百)上是增函数，a的取值范围11 .已知函数/*) = 1

12、。82*2-内+ 3”)在区间(1, 2)上是增函数，则实数。的取值范围是12 .若函数f(x)=若f (a)>f (-a),则实数a的取值范围是13.设函数若，则的取值范围是()14.设a>0且aWL若函数f (x)=小"三"”有最大值，试解不等式bg/1-5x+7) >0五、定点问JL若函数y=log，(x+b) (a>0,且a#l)的图象过两点(-1, 0)和(0, 1),则2,若函数y=loga(x+b) (a>0,且aWl)的图象过两点(-1, 0)和(0, 1),则 3.函数 /(x) = log, (x -1) + 1(。>

13、。且。W 1)恒过定点六、求对数的底数范围问J4L (1)若log”二vl(a>0且。1),求。的取值范围 52. (2)若log.+3)(l 4)>2,求。的取值范围23.若log. < 1(4 >。且。01),则。的取值范围4 .函数/(x) = logfl(x + l)的定义域和值域都是0,1,则。的值为 .5 .若函数/。) = 1。8<。功在2,3上单调递减，则。的取值范围是6 .函数尸(ax+a-l)在x22上单调减，求实数a的范围 7.已知y=bg° (2-1)在0, 1上是x的减函数,求a的取值范围.8.已知函数尸log/(x?-2ax-

14、3)在(-8,一2)上是增函数，求a的取值范围.9,已知函数f(x)=logaX(a>0,aHl),如果对于任意x£ 3, +<-)都有f(x)|21成立，试求a的取值范围.10 .若函数丁 = 1。8式1一外在。1)上是增函数，。的取值范围是11 .使log” 1 > 1成立的。的取值范惘是 212.若定义在(一 1, 0)内的函数f (*)=1。(才+1)满足f (x)>0,则a的取值范围是七、最值问JL函数y=log,x在2, 10上的最大值与最小值的差为1,则常数a=.2.求函数y = log 2 x - log x+5a e 2,4的最小值,最大值.

15、。443 .设a>l,函数f(x)=log.x在区间a, 2a上的最大值与最小值之差为；，则a二4 .函数f (x) =as+loga (x+D在0, 1上的最大值和最小值之和为a,则a二5 .已知0 4 x W 2,则函数,，=4、 3x 2、一 4的最大值是,最小值是.6 .已知f(X)= 1 + log, x, (1 < x < 4),求函数g(x) = fix)+ /'(/)的最大值与最小值7 .已知工满足 2(logo5X)2+71ogo5X + 3KO ,求函数/=(log?)(log J)的最值。2出 > 0, y > 0, Kx+2y =

16、1,求函数 =log ,(8a3, + 4y 2 +1)的值域8 .9 .函数f (x)=a*+loga-在0, 1上的最大值与最小值之和为a,则。=10 .求函数y = log |(1 一 3)一 log 2+ -)的最小值23r*11.函数在区间上的最大值比最小值大2,则实数二.八、单调性1 .讨论函数y = lg(l + x) + lg(l x)的奇偶性与单调性2 .函数y = lg(2x - Y)的定义域是，值域是,单调增区间是3 .函数/1) = ln(x2-4x + 3)的递减区间是.4 .函数y=logl,.s(x=-3x)的增区间是5 .证明函数/(x) = log2 (一+

17、1)在(0,+s)上是增函数6 .函数/(a) = log2，+1)在(8,0)上是减函数还是增函数？7 .求函数)，=log'(/ 2a - 3)的单调区间，并用单调定义给予证明 2.8.求尸logo.3 (/-2x)的单调递减区间9.求函数y=k)g2 (r-4x)的单调递增区间10 .函数厂log , (x=-3x+2)的递增区间是 211 .函数y = lg(2x Y)的值域是,单调增区间是.12 .若函数,，=1。8式/一如-。)在区间(6-6)上是减函数，求实数。的取值范围1 .证明函数y=bgI (x，l)在(0, +8)上是减函数： 5 一2 .已知函数f(X)=log

18、：(x-ax-a)在区间(,1-栏上是单调递减函数.，求实数a的取值范围.3 .已知函数/(x) = lg(4-攵N'),(其中无实数)(I)求函数/(x)的定义域：(II)若/(X)在(-6,2上有意义，试求实数%的取值范围小结：复合函数的单调性/(x),g(x)的单调相同，y=f(g(x)为增函数，否则为减函数九、奇偶性1 .函数/(x) = ln(71 + x2+x)的奇偶性是。2 .若函数是奇函数，且x>0时，/(x) = lg(x+l),则当x<0时，f(x)=(1 3 .偶函数“X)在0,2内单调递减，。=/(一1)力=/ log()5 - ,c = /'

19、;(lg0.5),则出仇c之间的大小关系 4，4 .已知/(X)是定义在R上的偶函数，且在0,+s)上为增函数，/(-) = 0,则不等式/(log|X)>0的解集为381- r15,已知函数/(工)=怆一，若/(“)= ,贝lJ/(-a)=.1 + x26 .已知奇函数满足，当时，函数，则=.7 .已知f(x) = lg(x+判断f (x)奇偶性(2)判断幻的单调性8 .知函数f(x)=log,业(a>0,且aWl, b>0) (1)求f(x)定义域；(2)讨论f(x)奇偶性；(3)讨 x-b论f(X)单调性,b£R,且aW2,定义在区间(-b,b)内的函数f(x

20、)二国上竺是奇函数1 + 2x1)求b取值范围2)讨论函数f(x)单调性.10 .设a,b£R,且aW2,定义在区间(b,b)内的函数f (x) = ig上竺是奇函数. 1 + 2x(1)求b的取值范围； (2)讨论函数f(x)的单调性.11 .己知函数 /(x) = logn(l + Aj, g(x) = log“(l-x)其中(a >0 且a ¥ 1),设(x) =(1)求函数K0的定义域，判断/?")的奇偶性，并说明理由；(2)若/=2,求使力(x)vO成立的x的集合.十、对称问题与解析式：) = /(内)一)()，当X>1时有1 .已知函数/(

21、X)的定义域是(0,+8),且对任意的2,占>0满足f x)v0,请你写出一个满足上述条件的函数x)=_-(a > 0,a H 1) 6-x2 .已知函数/(*)满足/(x2-3)= log(1)求力的解析式： 判断求(力的奇偶性：(3)讨论“X)的单调性；(4)解不等式“力上log,(2%)3 .己知定义域为(,0) 0 (0,)的函数y = /(x)满足条件：对于定义域内任意xpx2都有 /3占)=/区)+ /().(1)求证：/(l) = -/(x),且/*)是偶函数；(2)请写出一个满足上述条件的函数. X5 .已知函数f (x)=loga(x+l) (a>l),若函

22、数y二g(x)图象上任意一点P关于原点对称点Q的轨迹恰好是 函数f(x)的图象.(1)写出函数g(x)的解析式；(2)当x£ 0, 1)时总有f (x)+g(x) 2m成立，求m的取值范围.解 (1)设P (x, y)为g(x)图象上任意一点，则Q (-x, -y)是点P关于原点的对称点，VQ (-x, -y)在 f(x)的图象上，.'.-y=log. (-x+l)> 即 y=g(x) =-log.(1-x). (2) f(x)+g(x)2m,即 loga1 l-.r设F (x) =logal±±,xG 0, 1),由题意知，只要F (x)小即可.1

23、7VF (x)在0, 1)上是增函数，AF (x)心二F (0)二0.故mWO即为所求1)证明 设点A、B的横坐标分别为x,、空，由题设知则点A B的纵坐标分别为log匹、log诙.因为A、B在过点0的直线上，所以 唾上 =幽七点C、D的坐标分别为(xlog,xj、(x,log釜)，由于 log：xF.SlogsXx, logcx：=31ogsx=, 0C 的斜率为=0D 的斜率为匕= 12 = 2!.由此可夕log, 2x, x,% 与ki=k：,即0、C> D在同一直线上.（2）解 由于 BC 平行于 x 轴，知 log二xi=logM,即得 log：xi=1 log：x：, xc=

24、x, J代入 xdogsXFxdogsX：,得 xlog凶二3XilogsX1,由于 X1>1,知 log冈HO,故 x=3x“ 又因 Xi>l,解得 X尸石，于是点 A E坐标为（石,10g8j3）.6 .已知过原点0的一条直线与函数y=log*的图象交于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行线与函数y=log二的图象交于C、D两点.（1）证明：点C、D和原点0在同一直线上；（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.7 .设函数且. 求的解析式，定义域； 讨论的单调性，并求的值域.十一、对数函数图象1 .函数y = log30 + 2）的图象是由函数y = log3X的图象 得到。2

25、 .函数y = log3（x 2） + 3的图象是由函数），= lo&x的图象 得到。3 .函数y = loga（x + » + c （>0,aWl ）的图象是由函数丁 = log.x的图象当0 > 0, c > 0时向单位得到;当 < 0,c > 0时向单位得到；当 >O,cv0时向 单位得到;当<O,cv0时向 单位得到。尝试总结：平移变换y = /（x）f y = /（x+a）+的法则L将函数尸年的图象向左平移1个单位得到Q,将C,向上平移1个单位得到G,而C,与C关于直线产x对称，则a对应的函数解析式是2.函数的图像与对数函数

26、)，=1英3工的图像的关系，并画出它们的示意图，由图像写出它的单调区间:(1) y = log3 Ixl： (2) y =1 log3x?(3) y = log3(-x)； (4) y = - log3 x1 .已知用是方程x+lg*=3的根，照是方程x+l(T=3的根求函数£ (x) = k)g2b。x-121的单调区间2 .如图，曲线是对数函数的图象，已知的取值， 则相应于曲线的值依次为().3 .方程log. x = ax(a > 1)的解的个数为4 .已知关于x的方程1g? x + 2algx + 2 a = 0的两根均大于1,则实数。的取值范围是5 .方程log, l

27、x 1= -x2的实根个数是 个.则用+照=f6 .已知 fix) = 1 + log3 g (x) =21og2 比较 f(x)与 g (x)的大小7 .设a>0且aHl,求证：方程:十尸 w2a的根不在区间-1,1内8 .若，且，则满足的关系式是()9 .若是偶函数，则的图象是 ().(A)关于轴对称(B)关于轴对称(C)关于原点对称(D)关于直线对称10方程实数解所在的区间是().(A)(B) (C)(D)11.已知x、y为实数，满足(logty) :=logl X,试求上的最大值及相应的登y的值.十二、附加内容(补充)本节主要介绍以下几个问题从F = /'(x)中解出x求原函数值域(反函艇义域)X与y互换，加注定义域一、反函数的定义二、反函数的求法三、反函数存在的条件四、反函数的性质y=£及y=logax互为反函数，反函数的定义一般的,如果y是x的一个函数(y=f(x),另一方面,x也是y的函数(x二g(y),将此函数称作函数尸f(x)的反函数。一般仍用x表示自变量,v表示函数值,这样y=f (x)的反函数记作尸1 (x), y二1(x)与y=f (x)互为反函数尸a'与y=logax互为反函数