2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数试题(解析版)

1、2018 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（四）第I卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.5 - 11. 已知虚数单位，复数甘工对应的点在复平面的（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】因为= 所对应的点为，在第四项限.3故答案为：D._212. 已知集合,.，若土门三-；，则实数 的取值范围为（）2A.B.C. ； I 丨 D.【答案】D【解析】-沃：j3tx-4x5若 A H B =0,则 a c-b,A 错误；取 a=2,b=3,小，则 ，1 2b + xb

2、b I x1|Pa a + |x|（a- b）|x|，此时,B 错误；取b=3，a=，c=1，d=-3，C错误；对于D，D正确.故选 D.4. 设随机变量：./，则使得+- I 成立的一个必要不充分条件为（）2A.：11I 或-_B.：n 1C. -_lD.或-【答案】A8.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是几何体的三视图，则该几何体的体积为（）【解析】由二爲一 1,得到 I =:，故 3m=3，得到 m=1,则使得心十：卩二成立的充要条件为 m=1,故 B 错误；因为 是的真子集，故原题的必要不充分条件为或厲.故答案为：A.5.执行如图所示的程序框图，若输出的结果 则判断框

3、内实数 应填入的整数值为（【答案】A【解析】因为34ir 12 34S = 0 I lg2 + lg- + lg- -i .i lg = lg-x-x-= lg(i i 1)令 则：故当-.-s.:- .-根据题意此时退出循环，满足题意，则实数M 应填入的整数值为 998，故答案为：A.6.已知公差不为 0 的等差数列的前 项和为，若:=匸，则下列选项中结果为0 的是（）A. B. C. D. I.【答案】C【解析】由：江=壬得到-I.-二-I11,因为公差不为 0，故見 f =0，由等差数列的性质得到.1. -I !.|：1.1,，= 1飞=:故答案为:C.2 27.设，分别为双曲线.（，）

4、的左、右顶点，过左顶点的直线交双曲线右支于点，连接 ，a设直线与直线的斜率分别为，若，互为倒数，则双曲线的离心率为（【答案】B【解析】 由圆锥曲线的结论知道| i-r+ A. 998 B. 999 C. 1000 D. 10018.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是几何体的三视图，则该几何体的体积为（）故答案为：B.A.B.C. 16 D.冷用尢【答案】A【解析】由已知中的三视图得到该几何体是一个半圆柱挖去了一个三棱锥，底面面积为丿 口 i二 i 二一二 1 一-1,高为 4,该几何体的体积为 二 II .：/ .：一 .:H_；故答案为:A .9.已知曲线3=乂和直线 所围

5、成图形的面积是，则圖的展开式中项的系数为（）A. 480 B. 160 C. 1280 D. 640【答案】D由题意得到两曲线围成的面积为J -0 - m .=- - -J- !-故答案为：D.点睛：这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等10.在平面直角坐标系中， 为坐标原点，.，也泊匚，门=，；二 -:，设 ，：:若化：二，且:- I，则 十 d 的最大值为（）A. 7 B. 10 C. 8 D. 12【答案】B_rf_1【解析】已知.亡

6、=.;，“-（-1：，當：二厂 沁，得到 二S = J 八因为 ，I n = 4-yfX + U-4 0，故（x-y 十 2 14900 成立的最小值 a 位于第十个群故答案为：B.点睛：这个题目考查的是新定义题型，属于数列中的归纳推理求和问题；对于这类题目，可以先找一些特殊情况，总结一下规律，再进行推广，得到递推关系，或者直接从变量较小的情况开始归纳得到递推关系、填空题(每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上)13.若函数.，：=、：I ；为偶函数，贝 U【答案】-1(1+9_x)【解析】由偶函数的定义得到-I.-. I.：_：!，即 =即 0. -张 :恒成立,(1+9)k=-1

7、.故答案为：-1.航兀9兀兀33兀14.已知，则I-1-7T【答案】【解析】i3T，-啊兀/加叭Sinx- cos x - Isin- = Sinlx - i4424，故,故故答案为：15.中华民族具有五千多年连绵不断的文明历史，创造了博大精深的中华文化,为人类文明进步作出了不可磨灭的贡献为弘扬传统文化，某校组织了国学知识大赛，该校最终有四名选手、参加了总决赛，总决赛设置了二、三等奖各一个，无并列.比赛结束后， 对 说：“你没有获得一等奖”，对 说：“你获得了二等奖”；对大家说：“我未获得三等奖”，对、说：“你们三人中有一人未获奖”，四位选手中仅有一人撒谎，则选手获奖情形共计种.(用数字作答)

8、若 C 说谎，则若 B 说谎则儿二爲匚等九种情况，若 A 说谎则若 D 说谎则心二二,公 12 种情故答案为：12.16.已知 为心的重心，点、.分别在边.，上，且存在实数，使得.叮 m 若匚.，厂-三二，则故答案为：3.点睛：本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理、考查了推理能力与计算能力，属于中档题.在解决多元的范围或最值问题时，常用的解决方法有：多元化一元，线性规划的应用，均值不等式的应用，“乘 1 法”与基本不等式的性质，等三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.在么二三：二中，内角，所对的边分别为，已知；=公三-：-.-I?.

9、(1) 求角的大小；(2) 若的面积 ，为 边的中点，求2 2兀【答案】;(2)5.【解析】试题分析：(1)由正弦定理，得.-门.；、：-；，又-IT. :，进而得到= ; ( 2)姑三一的面积，得 2 ，、，I；两边平方得到/ I ，结合两个方程得到结果.J-rrill解析：(1) 因为 2acosEJ = 2c - b，由正弦定理，得 2smAccsB = 2sinC - sinB.所以 2. . -_：.：2-. . - i.il -即 2cosAsinJ3 = sinB.因为 sinBfo，故=-.一兀【答案】3【解析】设.d；.： =-连接 AG 并延长交 BC 于 M，此时 M 为

10、 BC 的中点，故t 使得.叮得到W | cAG故工存在实数1-= tP所以.(2)由 lUIJ 的面积，得：.： .242- I 一 -又为乂 :边的中点，故：.，2 I 219因此小,故叮一,即 IJI-.故!-!.； ! -：.所以 I ?.18.市场份额又称市场占有率，它在很大程度上反映了企业的竞争地位和盈利能力，是企业非常重视的一个指标.近年来，服务机器人与工业机器人以迅猛的增速占领了中国机器人领域庞大的市场份额，随着“一带一路”的积极推动，包括机器人产业在内的众多行业得到了更广阔的的发展空间，某市场研究人员为了了解某机器人制造企业的经营状况，对该机器人制造企业2017 年 1 月至

11、 6 月的市场份额进行了调查，得到如下资料：月份 X123456市场份额 y)1116316152021请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于 的线性回归方程，并预测该企业2017 年 7 月份的市场份额如图是该机器人制造企业记录的2017 年 6 月 1 日至 6 月 30 日之间的产品销售频数(单位：天)统计图设销售产品数量为，经统计，当；：工时，企业每天亏损约为 200 万元；当时，企业平均每天收入约为400 万元；当时，企业平均每天收入约为700 万元.1设该企业在六月份每天收入为，求.的数学期望；2如果将频率视为概率，求该企业在未来连续三天总收入不低于1200 万元的概率.附：回

12、归直线的方程是 y 其中|，m11I u 16懐円刈厂亍)=35i = l卜J -【答案】(1)厂八；U 预测该企业 2017 年 7 月份的市场份额为 23%.v；二、m二.6【解析】试题分析：(1)根据题中数据得到：- = ,、：r s，代入样本中心值得到.，进 =1而得到方程，将 x=7 代入方程即可；(2)由题干知设该企业每天亏损约为200 万元为事件，平均每天收入约达到400 万元为事件 ，平均每天收入约达到700 万元为事件 ，则卞 J -T ,尸，；匸、，进而得到分布列和均值；由第一小问得到未来连续三天该企业收入不低于1200 万元包含五种情况，求概率之和即可.解析：，卄宀1 I

13、-2-14+ 56(1) 由题意，=-，6-11 I 13 I 16-1 1.5 T0 1 21v=.=6故|丁”,，i=i由:1 :，得-I- 则、=:.当；-Y 时， r F :匚所以预测该企业 2017 年 7 月的市场份额为 23%.(2) 设该企业每天亏损约为 200 万元为事件 ，平均每天收入约达到 400 万元为事件 ，平均每天收入约达到 700 万元为事件，则卞匸：一二三 1 一二，三二一故；的分布列为-2004007000.10.20.3所以 b.；. . I 平面盒三：；（2） 若，求直线与平面所成角的正弦值.（2）建立坐标系得到直线的方向向量和面的法向量，由向量的夹角公式

14、得到要求的线面角解析：（1）取 中点为二连接三.，由 V =.-I，=,， 丨订：| , I一 2得 II ，但 W I*所以四边形用匸圧 F 为平行四边形.所以，又因为平面 ， 厂平面 ，所以平面 (2)由已知 BD Af31=(BA i- DA) (2.D + AB) = 0=OA 丄 00又 平面，所以 ， 两两垂直以 为坐标原点，心；，所在直线为 轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系,【解析】试题分析： （1 ）取 中点为，连接.，可证明四边形为平行四边形，进而得到线面平行;【答案】（1）证明见解析;55则经计算得,:,，,设平面/-.? 一个法向量为.：-,令_ .,得- .设直线

15、 与平面 所成的角为，|DCfn|3辰贝胎 im = z-=-|DCj|-|n|5520.已知焦点为 的的抛物线：一”：()与圆心在坐标原点，半径为的 交于，两点，且二|，川 ,2其中，均为正实数(1)求抛物线及的方程；(2)设点 为劣弧.上任意一点，过 作的切线交抛物线于，两点，过，的直线，均于抛物线 相切，且两直线交于点，求点 1 门的轨迹方程2【答案】答案见解析；(2 厂 J = .、： * H8【解析】试题分析：由题意可得到乙一 一 2 十一 !? - 1 将点 A 坐标代入方程可得到 m=2,进而得到点 A 的坐标，由点点距得到半径；(2 )设网 口厂旷| , R 厂.v | ,2

16、J,由直线和曲线相切得到 k，_：一 1 I ,Ac因为所以.1 y?y 二-门u同理 b ： y 二丁 x +亍，联立两直线得g ，根据点(xoYo)在圆上可消参得到轨迹| XjT_A - _ .解析：(1)由题意，：厂，故 I 。所以抛物线的方程为将. _-.ni 代入抛物线方程，解得 7.因此.，故 | 匚 m;-的方程为：,=-.2 2(2)设.，.，2_则由1 产班得 2-J-. -I. 令- 八:；,解得1Y1, I Y1故：一，Y1 2同理：V, 2解得;Yi+Ya因直线1二.则由只贰斗丫曲=罠y3= 2x,%y=- -2因此：根据点叽加在圆上满足方程 xby3= S,消参得到寸

17、佝.x= -8点睛：这道题考查圆锥曲线中的求轨迹方程的方法；常见的方法有：数形结合法即几何法；相关点法，直接法；定义法，代入法，引入参数再消参的方法，交轨法是一种解决两直线交点的轨迹的方法，也是一种消参的方法21.已知函数；,：.=，其中 为常数， 一是自然对数的底数.（1） 设若函数 在区间上有极值点，求实数的取值范围；e（2）证明：当 时，.,：、匕=_恒成立.X十1【答案】；证明见解析【解析】试题分析：（1 ）：.IT.，则:：jn：?，若在| . |上有极值点，则厂.：在| |上有变号xee1J零点，设卜 I、： _ 讨研究单调性使得函数和x 轴有两个交点即可；（2）要证、：、：、 I

18、 ：.成立，2x + 1分别求得左式的最大值和右式的最小值，证得最大值小于最小值即可解析：（1）由题意，II.-. I.,则-: 八-:冥.由题意，若 在 I I 上有极值点，e则 在上有变号零点.e令 y-；.，即 1；T：!.：|11设卜 I、:：，2e1 I x- 1故，X- xX则！，、三丄，e11又，卜，ee】1I即.-.e故若函数在上有极值点，口需 h（）=c- l + k0,h（l） = 1 | k0,则 i 、 .、 I所以的取值范围为 J i（2）由题意，知要证- | - - . ； 成立.x+ 1设“.；.、：丨-.m- x，. E十则：当:；WT.时山，当.:时山，所以当

19、：.：?.时，y 取得最大值 IL.所以二:c .设亡.二.I ，-，则=;I因为，则二工.=】:；故 在区间二- ：内单调递增，故 nz 门：:,即| .所以，X+1故 11!、：X综上，当.一】时，-.、o - 、厂 I. .X+1命题得证.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略（1）构造差函数:汽- S:汽- ”:-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.广x =n| x = 2 十 t,22.在平面直角坐标系中，已知曲线 的参数方程为，,（为参数），直线的参数方程为.（为参数，为实数），直线与曲线交于 两点.（1）若-=：，求的长度；（2）当 ms 面积取得最大值时（ 为原点），求 的值.【答案】