八年级数学上册·教案（北师大版） 第二章 实数

1、第二章实数1认识无理数1通过拼图活动，让学生感受无理数关系到的实际背景和引入的必要性2借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近思想3会判断一个数是不是无理数重点理解无理数的概念难点判断一个数是不是无理数一、情境导入师：把边长为1的两个小正方形，通过剪、拼，设法拼成一个大正方形，你会吗？课件出示教材第21页图21.图21图21是两个边长为1的小正方形，剪一剪、拼一拼，设法得到一个大的正方形问题1：拼成后的大正方形面积是多少？问题2：若新的大正方形边长为a，a22，则a可能是整数吗？a可能是分数吗？总结：没有两个相等的整数的积等于2，也没有两个相等的分数的积等于2，因此a不可能是有

2、理数二、探究新知1有理数表示不了的数课件出示教材第21页“做一做”提示学生根据三角形的三边关系判断b的取值范围解：(1)由勾股定理可知，直角三角形的斜边的平方为5，所以正方形的面积是5.(2) b25.(3)没有一个整数或分数的平方为5，也就是没有一个有理数的平方为5，所以b不是有理数2无理数师：面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？(1)如图所示，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由(2)边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？借助计算器进行探索(3)小明将他的探索过程整理如下，你的结果呢？边长a面积S1<a<21<S<41.4<a&

3、lt;1.51.96<S<2.251.41<a<1.421.988 1<S<2.016 41.414<a<1.4151.999 396<S<2.002 2251.414 2<a<1.414 31.999 961 64<S<2.000 244 49师：a在哪两个整数之间？左面的边长中，前面的数值和后面的数值相比，哪个更接近正方形的实际边长？总结：a是介于1和2之间的一个数，既不是整数，也不是分数，所以a一定不是有理数师：如果写成小数形式，它是有限小数吗？事实上，a1.414 213 56它是一个无限不循环小数课件

4、出示教材第23页“做一做”事实上，b2.236 067 978它是一个无限不循环小数提示：精确到0.1，b2.2，精确到0.01，b2.24.同样，对于体积为2的正方体，借用计算器，可以得到它的棱长c1.259 921 05它也是一个无限不循环小数. 课件出示教材第23页“议一议”事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数无限不循环小数称为无理数3常见的无理数课件出示教材第23页“想一想”除了像上面所述的数 a, b, c 是无理数外， 我们十分熟悉的圆周率3.141 592 65也是一个无限不循环小数，因此它也是一个无理数再如0.585 8

5、85 888 588 885(相邻两个 5 之间 8 的个数逐次加 1)也是无理数三、举例分析课件出示教材第23页例题解：有理数有：3.14，0.；无理数有：0.101 000 100 000 1(相邻两个1之间0的个数逐次加2)强调：(1)无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数(2)任何一个有理数都可以化成分数的形式，而无理数不能四、练习巩固1教材第21页“随堂练习”2教材第24页“随堂练习”五、小结1通过生活中的实例，证实了确实存在不是有理数的数2有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数3无限不循环小数叫做无理数六、课外作业1教

6、材第22页习题2.1第1，2题2教材第25页习题2.2第1，2，3题大量事实证明，与生活贴得越近的东西就越容易引起学生的浓厚兴趣，更能激发学生学习的积极性为此，本节课通过拼图游戏引发学生学习的欲望，把课程内容通过学生的生活经验呈现出来，然后进行大胆质疑2平方根1了解数的算术平方根与平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根和平方根2了解开平方与平方是互逆运算，会利用平方运算求某些非负数的算术平方根和平方根3理解算术平方根与平方根的联系和区别重点算术平方根与平方根的概念难点利用开平方与平方的互逆关系求某些非负数的算术平方根和平方根一、复习导入师：上节课我们学习了无理数，了解到无理数产生的实际背

7、景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数上一节课我们由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪、拼一拼，得到一个边长为a的大的正方形，那么有a22，2是有理数，而a是无理数在前面我们学过：若x2a，则a叫x的平方，反过来x叫a的什么呢？本节课我们一起来学习二、探究新知1算术平方根师：前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：x2_，y2_，z2_，w2_(板书)师：在七年级学习有理数的乘方时，我们掌握了自然数的平方运算，比如121，224，329，但是，你能找到哪个数的平方是2吗？哪个数的平方是3吗？

8、哪个数的平方是5吗？你能估计一下吗？一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即0.2平方根的性质师：回忆在七年级学习有理数的平方时，我们是如何找到平方等于9和49的数的？生：根据平方的定义，329，(3)29，7249，(7)249.课件出示题目：填空：329(3)29()29；020；()2；(不存在)24.一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2a，那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根)一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根正数a的两个平方根，一个是a的算

9、术平方根，另一个是，它们互为相反数这两个平方根合起来可以记作±，读作“正、负根号a”例如：(±4)2 16，则4和4都是16的平方根，即16的平方根是±4.4是16的算术平方根求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数3平方根与算术平方根的联系与区别联系：(1)包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种(2)只有非负数才有平方根和算术平方根(3)0的平方根是0，算术平方根也是0.区别：(1)个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根(2)表示法不同：平方根表示为 ±，而算术平方根表示为.三、举例分析1课件出示教材第26页

10、例1.分析：体验求一个正数的算术平方根的过程，利用平方运算求一个正数的算术平方根，让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来，有的正数的算术平方根只能用根号表示2课件出示教材第26页例2.分析：用算术平方根的知识解决实际问题利用等式的性质将s4.9t2进行变形，再用求算术平方根的方法求得题目的解教师强调实际问题t是正数，求的是算术平方根3课件出示教材第28页例3.分析：体验求一个正数的平方根的过程，利用平方运算求一个正数的平方根四、练习巩固1教材第27页“随堂练习”第1，2题2教材第28页“想一想”3教材第29页随堂练习第1，2，3题五、小结1算术平方根的概念中的双重非负性：一是a0，二是0.2

11、算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根3求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根4平方根的概念：若x2a，则x叫做a的平方根，x±.5平方根的性质：正数有2个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根六、课外作业1教材第27页习题2.3第1，2，3题2教材第29页习题2.4第16题本节课注重概念的形成过程，让学生在概念的形成过程中，逐步理解所学的概念经过分析，掌握其本质特征和概念的形成过程，有利于提高学生的思维水平在学习平方根的概念时，学生对正数有两个平方根的概念不太容易理解，往往丢掉负

12、的平方根为此，在平方根的引入时，多提了一些具体的问题，引起学生的思考，让学生从具体的例子中抽象出平方根的概念.3立方根1了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根2了解开立方与立方运算互为逆运算，能用立方运算求某些数的立方根重点立方根的概念和性质难点区别立方根和平方根一、情境导入师：面积为2的正方形的边长是多少？体积为2 的正方体的棱长是多少？请同学们回忆求解a22时的情境，那么a32呢？(板书课题)二、探究新知1立方根的概念课件出示题目：某化工厂使用半径为1 m的一种球形储气罐储藏气体现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积是原来的8倍，那么它的半径是原储气罐半径的多少倍？如果储气罐的体积

13、是原来的4倍呢？(球的体积公式为VR3，R为球的半径) 师：怎样求出半径R ?师：为了解决题目中的问题，需要引入一个新的运算，类似于平方根的概念我们定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3a，那么这个数x就叫做a的立方根( 也叫做三次方根)2立方根性质和开立方运算(1)课件出示教材第30页“做一做”2的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是8?3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是27?小结：正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数(2)课件出示教材第30页“议一议”正数有几个立方根？0有几个立方根？负数有几个立方根？小结：正数有一个正的立方根；负数有一个负的立

14、方根；0的立方根仍是0.师：类比开平方的概念，你能总结出开立方的概念吗？生：求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数3平方根与立方根的区别与联系区别：(1)在用根号表示平方根时，根指数2可以省略，而用根号表示立方根时，根指数3不能省略；(2)平方根只有非负数才有，而立方根任何数都有，并且每个数都只有一个立方根；(3)正数的平方根有两个，而正数的立方根只有一个联系：(1)开平方与开立方运算都与相应的乘方运算互为逆运算；(2)都可归结为非负数的非负方根来研究，平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可转化为正数的立方根来研究；(3)0的平方根和立方根都是0.三、举例分析1课件出示

15、教材第31页例1.先指名学生上台板演，再集中讲评，注意规范书写格式2课件出示教材第31页“想一想”分析：类比平方根()2a(a0)和|a|得出结论：()3a，a.3课件出示教材第31页例2.指名学生读题，使学生理解各式的读法四、练习巩固教材第31页“随堂练习”第12题五、小结1了解立方根的概念，会用三次根号表示一个数的立方根，能用开立方运算求一个数的立方根2在学习中应注意以下5点：(1)符号中的根指数“3”不能省略；(2)对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有一个立方根；(3)平方根和立方根的区别：正数有两个平方根，但只有一个立方根；负数没有平方根，但有一个立方根；(4)灵活运用公式

16、：()3a，a，；(5)立方与开立方也互为逆运算我们可以用立方运算求一个数的立方根，或检验一个数是不是另一个数的立方根六、课外作业教材第32页习题2.5第16题本节课注意渗透类比的思想方法，通过类比思想方法的使用让学生省时省力，在学习新知的同时巩固已学的知识，通过新旧对比更好地掌握知识4估算1能通过估算检验计算结果的合理性2能估计一个无理数的大致范围；通过估算比较两个数的大小3通过教学过程的参与，培养学生学习数学的主动性，发展学生数感重点估计一个无理数的大致范围难点通过估算比较两个数的大小一、情境导入师：自从“第一次数学危机”，即古希腊人希伯索斯发现了无理数以来，人们对无理数的探究就从来没有停

17、止过，而比较两个无理数的大小，对无理数的估算，则是其中重要内容之一无理数是无限不循环小数，所以无法写出某个无理数，人们想到了用符号准确地表示一个无理数，如等，但这给它们的大小比较和估算带来了一定的困难，那么如何通过估算来比较两个无理数的大小呢？这节课我们就来研究它们(板书：估算)二、探究新知1估算的方法课件出示题目：某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400 000 m2.此公园的宽是多少？长是多少？解：设公园的宽为x m，则它的长为2x m，由题意得x·2x 400 000，2x2400 000，x2200 000.所以公园的宽x就

18、是200 000的算术平方根师：(1)如果要求结果精确到10 m，它的宽大约是多少？与同伴进行交流(2)该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800 m2，如何估计它的半径？(结果精确到1 m)分析：(1)我们可以把这个长方形看成是由两个正方形拼接成的，那么，每个正方形的面积为200 000 m2，大家估计一下，哪个数的平方是200 000？100的平方为10 000，1 000的平方为1 000 000，所以公园的宽大约几百米，没有1 000 m宽，精确到10 m，我们可以计算一下450的平方(2)圆形花圃的面积是800 m2，800除以3.14约等于255，大约为16的平方，所以圆形花圃的半

19、径大约是16 m.2比较大小课件出示教材第33页“议一议”学生分组讨论，教师深入到各组中指导学生讨论三、举例分析1课件出示教材第33页例题分析：根据题意作示意图，数形结合，再利用勾股定理列方程求解2课件出示教材第34页“议一议”学生分组讨论后回答拓展：确定无理数近似值的方法(估算法)(1)当被开方数在11 000以内时，可利用乘方与开方为互逆运算来确定无理数的整数部分，然后根据所要求的精确度大小确定小数部分(2)当被开方数是正的纯小数或比1 000大时，利用方根与被开方数的小数点之间的规律，移动小数点的位置，将其转化到被开方数在11 000以内进行估算，即平方根中的被开方数的小数点向左(或向右

20、)每移动2n (n是正整数)位，其结果的小数点相应地向左(或向右)移动n位；立方根中的被开方数的小数点向左(或向右)每移动3n(n是正整数)位，其结果的小数点相应地向左(或向右)移动n位四、练习巩固教材第34页“随堂练习”第12题五、小结1确定无理数近似值的方法估算法2比较无理数大小的方法：(1)估算法；(2)作差法；(3)平方法；(4)移动因式法；(5)倒数法；(6)作商法六、课外作业教材第3435页习题2.6第16题这节课的内容是让学生掌握估算的方法，训练他们的估算能力由于学生在生活中接触用估算解决实际问题的情况比较少，所以比较陌生，学习起来难度就比较大，因此在教学中选取学生熟悉的问题，激

21、发学生的学习兴趣比如，本节课的教学中选取了“新建环保公园”的问题，与学生平时的生活密切联系，容易把学生的积极性调动起来.5用计算器开方1会用计算器求平方根和立方根2会根据实际问题用计算器求平方根和立方根重点掌握计算器按键的使用难点掌握用计算器求平方根和立方根的按键顺序一、情境导入课件出示题目：你知道飞船在太空绕地球飞行所需要的速度吗？要使飞船能绕地球运转，必须使它的速度大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度，第一宇宙速度的计算公式是v1，第二宇宙速度的计算公式为v2，其中g9.8 m/s2，R6.4×106 m，你能根据公式计算出第一宇宙速度和第二宇宙速度吗？师：这个题用笔计算是很难做出

22、来的，如果我们用计算器来计算就非常容易了，下面我们一起来探究一下计算器的用法(板书课题)二、探究新知用计算器开方：师：请同学们仔细阅读计算器使用说明书，找到相关开方运算的说明，并按说明书上的范例操作，然后与组内成员进行讨论，说一说利用计算器怎样进行开方运算利用计算器，求下列各式的值(1)；(2) ；(3)；(4) 1；(5).学生在小组内自我纠错，自我更正，教师在教室里巡视，关注学生学习活动的开展情况，提供相应的帮助2课件出示教材第36页“做一做”师：哪一位同学能用计算器快速计算出上面各式的值呢？(用计算器操作求值后，指名回答)解：(1)28.284 27.(2) 1.638 64.(3)0.

23、761 58；(4)0.755 95.三、举例分析1课件出示教材第37页例题学生独立完成，指名板演2课件出示教材第37页“议一议”第(1)题师：请大家每人找一个很大的正数，不同的人的数不要相同，按要求去做然后总结学生操作，交流自己的发现小结：任何一个大于1的正数，不管它有多大，一直进行开平方运算，结果越来越接近1.3课件出示教材第37页“议一议”第(2)题生：和上面的结果一样师：既然结果相同，能否把它们合起来总结一下规律是什么？生：任何一个正数，不管它是大于1的数，还是小于1的数，一直进行开平方运算，运算的结果越来越接近1.四、练习巩固教材第37页“随堂练习”五、小结1如何使用计算器进行开方运

24、算？2利用计算器比较数的大小，寻找数的变化规律六、课外作业教材第37页习题2.7第14题根据新课标的评价理念，教师在课堂教学中应尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要这一节的内容，学生可以通过自己阅读计算器的使用说明书学会操作步骤，所以采用了学生自学，小组内交流的学习方式6实数1了解实数的概念和意义，并能按要求对实数进行分类2了解实数与数轴上的点是一一对应的，知道实数的绝对值、相反数的意义，会求已知数的绝对值和相反数重点实数的意义及分类难点理解实数和数轴上的点的一一对应的关系一、复习导入(1)什么是有理数？有理数怎样分类？(2)什么是无理数？带根号的数都是无理数吗？二、探究新知1实数的概念课

25、件出示题目：把下列各数分别填入相应的集合内：， ， ，0，0.373 773 777 3(相邻两个3之间的7的个数逐次加1),无理数集合)引导学生得出实数概念并板书：有理数和无理数统称为实数，即实数可分为有理数和无理数师：无理数和有理数一样，也有正负之分你能把上面各数填入下面相应的集合内吗？,正数集合),负数集合)从符号考虑，实数可以分为正实数、0、负实数2实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义师：的相反数是什么？的倒数是什么？，0，的绝对值分别是什么？小结：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样课件出示教材第39页“想一想”指名回答后，板书：

26、实数a的相反数为a，绝对值为|a|，若a0，它的倒数为.总结：(1)相反数：a与a互为相反数；0的相反数仍是0.(2)倒数：当a0时，a与互为倒数(0没有倒数)(3)绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.3实数的运算(1)在有理数范围内，能进行哪些运算？适用哪些运算律？(2)判断下列各式是否成立××，×××，47(47)11.总结：实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则和运算律对实数仍然适用4实数与数轴上的点的一一对应关系课件出示教材第39页“议一议”总结：(1)每一个实数都可

27、以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数即实数与数轴上的点是一一对应的(2)在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大拓展：(1)无理数是指无限不循环小数，并不是带根号的数都是无理数(2)数的范围从有理数扩充到实数后，要注意有理数与无理数的区别三、练习巩固教材第39页“随堂练习”第13题四、小结1在实数范围内，相反数、倒数和绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数和绝对值的意义完全一样2实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则和运算律对实数仍然适用3每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实

28、数与数轴上的点是一一对应的4在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大五、课外作业教材第40页习题2.8第14题本节课作为有理数的扩张，关注前后知识之间的内在联系，关注运用类比的思想学习新的知识，这样学生比较容易接受根据学生的认知状况，借助类比学习实数的有关知识，如果学生整体认知水平较高，教学过程可以更加开放，在讨论了实数的两个分类标准之后，引导学生尝试自主地进行实数的分类，再进行交流.7二次根式第1课时二次根式和最简二次根式1了解二次根式和最简二次根式的概念2探究二次根式的性质，并能利用性质将二次根式化为最简二次根式重点正确判断最简二次根式难点利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根

29、式一、复习导入1什么是平方根、算术平方根？2课件出示题目：观察下列代数式：，(其中b24，c25)上述式子有什么共同特征？生：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数二、探究新知二次根式的概念一般地，形如(a0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数强调条件：a0.师：二次根式有些什么性质呢？课件出示教材第41页“做一做”师：观察上面的结果，你得出了什么结论？从上面得出的结论中，你发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？板书：·(a0，b0)，(a0, b>0)积的算数平方根，等于算数平方根的积；商的算数平方根，等于算数平方根的商三、举例分析1课件出示教材第42页例1.师：化简以后的

30、结果中，被开方数有什么特征？例1的化简结果5，中，被开方数中都不含分母，也不含能开得尽方的因数一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式2课件出示教材第42页例2.分析：例2是在学习了最简二次根式之后设计的，学生已经能分辨出哪些二次根式是最简的，哪些不是最简的，旨在利用所学公式将非最简二次根式化为最简二次根式3课件出示教材第42页“议一议”分析：对于较大的数，我们一般采取小学学过的短乘法的形式来判断，如502×5×5，从而发现含有开得尽方的因数，142

31、15;7，故判断是最简二次根式含有根号的数与一个不含根号的数相乘，一般把不含根号的数写在前面，并省略乘号以上化简过程的规律是：根号里面的数有一部分移到了根号外面，具体来说是能开得尽方的因数，开方后写到了根号外面从而明确：被开方数若有开得尽方的因数，一般需要进行化简拓展：对于二次根式应注意以下几点：(1)二次根式从形式上看，必须含有二次根号“”(2)在二次根式中，字母a必须满足a0，即被开方数必须是非负数，这是定义的一个重要组成部分，不可省略，因为负数没有平方根，所以当a<0时，没有意义(3)在二次根式中，被开方数a可以是数，也可以是代数式(4)二次根式(a0)是非负数a的算术平方根，即(

32、a0)是非负数，也就是说，式子包含两个非负数：被开方数a，即a0(这是使式子有意义的条件)；本身，0(这是由算术平方根的意义所决定的)(5)要使有意义，则被开方数ab0，因此a与b同号或至少有一个为零四、练习巩固教材第42页“随堂练习”五、小结掌握并会运用公式·(a0，b0)，(a0, b>0)积的算数平方根，等于算数平方根的积；商的算数平方根，等于算数平方根的商六、课外作业教材第43页习题2.9第12题. 本节课对运算技能要求略高根据新课标精神，对学生不能过分要求技巧，应关注学生对运算法则的理解，能否根据问题的特点，选择合理、简便的算法，能否依据算理正确地进行计算，能否确认结果的合理性等，对于较复杂的实数运算，应关注学生是否会使用计算器进行运算第2课时二次根式的运算1经