椭圆专题复习

1、椭圆专题复习【考纲要求】1. 掌握椭圆的定义，标准方程，了解椭圆的参数方程；2. 掌握椭圆的简单几何性质1. 椭圆的定义1. 第一定义：满足 的动点的轨迹是以为焦点，长轴长为 的椭圆2. 第二定义：到一个定点与到一定直线的距离之比等于一个常数(0<e<1)的点的轨迹叫椭圆（注意离心率的变化与椭圆形状的变化）其中是椭圆的一个焦点，是相应于的准线，定义式： 2. 椭圆的标准方程（1）焦点在轴上：焦点，且满足：（2）焦点在轴上： 焦点，且满足：（3）统一形式： 【注】为椭圆的定型条件，对三个值中知道任意两个，可求第三个，其中3. 椭圆的参数方程焦点在轴上，中心在原点的椭圆的参数方程为：

2、（为参数）（其中为椭圆的长轴长，为椭圆的短轴长）4 椭圆的简单几何性质以椭圆为例说明（1）范围：，（2）对称性：椭圆的对称轴:轴，轴；对称中心：原点（3）顶点：长轴顶点：，短轴顶点：，（4）离心率： 。 【注】；越大，椭圆越扁；（5）准线：椭圆有左，右两条准线关于轴对称。左准线： 右准线： （用第二定义推导）（6）焦半径：椭圆上任一点到焦点的距离。左、右焦半径分别为，5 点与椭圆的位置关系已知椭圆，点，则：6 关于焦点三角形与焦点弦（1）椭圆上一点与两个焦点所构成的称为焦点三角形。设，则有：p ，当（即为短轴顶点）时，最大，此时(r表示焦半径) 的面积当（即为短轴顶点）时，最大，且 （2）经过

3、焦点或的椭圆的弦，称为焦点弦。 ab设，的中点为，则弦长 （左焦点取“+”，右焦点取“-”）当轴时，最短，且7 椭圆的光学性质（了解）从椭圆的一个焦点射出的光线经椭圆反射后，经过椭圆的另一焦点。*8. 关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法1 联立方程法：联立直线和椭圆方程，消去，得到关于的一元二次方程，设交点坐标为，则有，以及，还可进一步求出。在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法2 点差法：设交点坐标为代入椭圆方程，并将两式相减，可得，在涉及斜率、中点、范围等问题时，常用此法二 典例剖析1 求椭圆的标准方程【例1】（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，一个焦点与短轴的两个端点的

4、连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的一个端点的距离为，则椭圆方程为_【例2】求与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程。 【例3】abc的两个顶点坐标分别是b(0，6)和c(0，-6)，另两边ab、ac的斜率的乘积是-，求顶点a的轨迹方程. 2 椭圆的性质【例6】；椭圆的两个焦点和短轴两个顶点，是一个含60°角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为 （ ） 【例7】方程=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 ( )3. 最值问题（难）【例10】已知是椭圆的左，右焦点以及两定点【先了解】（1）设为椭圆上一个动点求的最大值与最小值；求的最大值与最小值。（2）过点作直线

5、与椭圆交于两点，若为锐角（为原点），求直线的斜率的取值范围【解】（1）由已知：点在椭圆内部。易知所以，。 依定义有：， 所以，由三角不等式可得： ，即 。当且仅当三点依次共线以及三点依次共线时，左右等号分别成立。所以；（此时三点依次共线）。（此时三点依次共线）易知所以，设，则。 因为，故当，即点p为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点p为椭圆长轴端点时，有最大1. （2）显然直线不满足题设条件，设，设直线的方程为：，联立，消去，整理得： 由 得： 或 又 所以 又 所以 ，即 所以 。 故由、得： 或 4 直线与椭圆的位置关系（难）【例18】设是椭圆上两点，点是线段的中点，线段的垂直平分线交椭圆于

6、两点（1）确定的取值范围，并求直线的方程（2）是否存在这样的实数，使得四点在同一圆上？并说明理由【解】（）解法1：依题意，设直线ab的方程为代人整理得 设，则是方程的两个不同的根， 且。 由n（1，3）是线段ab的中点，得： 解得k=1，代入得，。 则的取值范围是（12，+）. 于是，直线ab的方程为 （）cd垂直平分ab，直线cd的方程为y3=x1，即xy+2=0，代入椭圆方程，整理得 设cd的中点为.是方程的两根， 于是即由弦长公式可得 将直线ab的方程x + y4=0，代入椭圆方程得 同理可得 当时，|假设存在>12，使得a、b、c、d四点共圆，则cd必为圆的直径，点m为圆心.点m

7、到直线ab的距离为 于是，由、式和勾股定理可得故当>12时，a、b、c、d四点匀在以m为圆心，为半径的圆上. （注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）a、b、c、d共圆acd为直角三角形，a为直角|an|2=|cn|·|dn|，即 由式知：式左边由和知，式右边式成立，即a、b、c、d四点共圆.三 解题小结1. 离心率是圆锥曲线的重要性质，求离心率及其取值范围，就是寻找与或之间的关系2. 求与椭圆有关的最值问题,有三种方法：（1）几何法;（2）三角代换法;（3）转化函数，利用函数的单调性求最值3. 直线与椭圆的位置问题两种基本方法：（1）联立方程法;（2）点差法，前者涉及弦长

8、与中点，后者涉及斜率，中点等.4. 关于椭圆的补充性质（常在解题中遇到）： 椭圆的内接矩形的最大面积为. 过焦点 的直线交椭圆于p, q两点，则当轴时，的面积最大，且最大面积为. 设右准线与轴交于点e，过e点的直线与椭圆交于p, q两点，点与点p关于轴对称，则直线一定过椭圆的右焦点，且 . 设点p是右（左）准线上任一点（不在轴上），是椭圆的左右顶点，直线, 与椭圆分别交于两点，则直线一定过椭圆的右（左）焦点。 过右（左）焦点的直线与椭圆交于两点，是椭圆的左、右顶点，直线的交点一定在右（左）准线上。椭圆练习题一、选择题1、与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是 ( )(a

9、)翰林汇2、椭圆的两个焦点和短轴两个顶点，是一个含60°角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为 ( )(a) (b) (c) (d)或3、椭圆中,f1、f2为左、右焦点,a为短轴一端点,弦ab过左焦点f1,则abf2的面积为 ( )（a）3 （b） （c） （d）44、方程=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 ( )(a)-16<m<25 (b)-16<m< (c)<m<25 (d)m>翰林汇5、已知椭圆的离心率e=，则m的值为 ( )(a)3 (b)3或 (c) (d)或翰林汇6、椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长

10、轴长是短轴长的 ( )(a)倍 (b)2倍 (c)倍 (d)倍翰林汇 7、椭圆ax2by2ab=0(a<b<0)的焦点坐标为 ( )(a)(0，±) (b)(±，0)(c)(0，±) (d)(±，0)翰林汇8、椭圆x2+4y2=1的离心率为 ( ) (a)翰林汇9、从椭圆短轴的一个端点看两焦点的视角是1200,则这个椭圆的离心率e= ( )(a) (b) (c) (d)翰林汇10、曲线与曲线(m<9)一定有 ( )(a)相等的长轴长 (b)相等的焦距 (c)相等的离心率 (d)相同的准线（09年高考浙江卷）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，

11、点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点.若，则椭圆的离心率是 abcd （08年高考数学天津理数全解全析）设椭圆上一点p到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则p点到右准线的距离为a 6b 2c d （08年高考浙江卷）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 abcd（08年高考上海卷）设是椭圆上的点.若是椭圆的两个焦点，则等于a4b5c8d10 二、填空题翰林汇11.(1)中心在原点，长半轴长与短半轴长的和为9，离心率为0.6的椭圆的方程为_；(2)对称轴是坐标轴,离心率等于，且过点(2，0)的椭圆的方程是_翰林汇12.(1)短轴长为6，且过点(1，4)的椭圆标

12、准方程是_；(2)顶点(-6，0)，(6，0)过点(3，3)的椭圆方程是_翰林汇13.已知椭圆=1的焦距为4，则这个椭圆的焦点在_轴上，坐标是_翰林汇14.已知椭圆的离率为，则m= 翰林汇三、解答题15、求椭圆的内接矩形面积的最大值.16已知圆，从这个圆上任意一点p向轴作垂线段，求线段的中点m的轨迹.17abc的两个顶点坐标分别是b(0，6)和c(0，-6)，另两边ab、ac的斜率的乘积是-，求顶点a的轨迹方程.18已知椭圆的焦点是,为椭圆上一点，且是和的等差中项.(1)求椭圆的方程；(2)若点p在第三象限，且120°，求.参考答案1.b 2.d 3.d 4.c 5.b 6.b 7.c 8.a 9.a 10.b翰林汇11. (1)或；(2)或翰林汇12. (1)；(2)翰林汇 13. y，(