苏科版数学七年级下册 第12章 定义 命题 证明重难点检测卷（提高卷） 试卷 含答案

第十二章定义命题证明重难点检测卷（提高卷）（满分100分，考试时间120分钟，共27题）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；4.测试范围：定义命题证明全章内容；5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题）选择题（8小题，每小题2分，共16分）1．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列语句中，属于定义的是（

）A．对顶角相等 B．三角形的内角和等于C．数与字母的乘积叫作单项式 D．两直线平行，内错角相等2．（25-26八年级上·安徽池州·期末）下列命题是假命题的是（

）A．对顶角相等 B．如果，那么C．正数大于负数 D．同旁内角互补3．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）下列命题中，是真命题的是（

）A．对顶角相等B．同位角相等C．若，则D．若，则4．（25-26八年级上·浙江湖州·月考）对于命题“如果，那么．”能说明它是假命题的反例是（）A． B．，C．， D．，5．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）下列说法正确的有（

）①每个定理都有逆定理；②每个命题都有逆命题；③假命题没有逆命题；④真命题的逆命题是真命题A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2025·北京海淀·模拟预测）为了预防新型冠状病毒的感染，人员之间需要保持一米以上的安全距离，某公司会议室共有四行四列桌椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列不能有连续三人就座．例如图中第一列所示情况就不满足条件（其中“√”表示就座人员）．根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为（）A．12 B．11 C．10 D．97．（25-26七年级下·河北邢台·期中）和能作为反例说明“同位角相等”是假命题的是（

）A． B． C． D．8．（25-26八年级上·全国·周测）有一种“扫雷”游戏如图所示，方格内的数字表示与它相邻的方格内总共有的地雷数．例如：右下角的数字1表示A，B，C中只有一个地雷．通过推理，请判断？处应填的数字是（

）233AB1?C1A．5 B．4 C．3 D．2第II卷（非选择题）二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）9．（2025·上海杨浦·一模）“若，则”的逆命题是：__________．10．（25-26八年级上·浙江衢州·期末）能判断命题“若，则”是假命题的反例是__________．11．（25-26八年级上·福建泉州·期末）用反证法证明：在，已知，求证：．应首先假设______．12．（24-25七年级下·河北邯郸·月考）下列命题可以作定理的有_____个．①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除；③是方程的根；④三角形的内角和是．13．（25-26七年级下·江苏南京·期末）对于下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；②在锐角三角形中，任意两个内角和一定大于第三个内角；③无论x取什么值，代数式x2－2x＋2的值都不小于1；④在同一平面内，有两两相交的3条直线，这些相交直线构成的所有角中，至少有一个角小于61°．其中，真命题的是_____．（填所有真命题的序号）14．（2025七年级下·湖北·学业考试）甲，乙，丙，丁4人打靶，每人打4枪，每人各自中靶的环数之积都是72（中靶环数最高为10），且4人中靶的总环数恰为4个连续整数，那么，其中打中过4环的人数为_______．15．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）图书馆将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词出现在书中时，，否则（，为正整数）．例如：当关键词出现在书中时，，否则．根据上述规定，某读者去图书馆寻找书中同时有关键词“，，”的书，现有四位同学有如下理解：甲：当时，选择这本书；乙：只有当时，才不能选择这本书；丙：当，，全是1时，选择这本书；丁：当时，不选择这本书．其中理解错误的同学是______．16．（24-25七年级下·北京·月考）某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示：步骤时间（分钟）桌别回收餐具与剩菜、清洁桌面清洁椅面与地面摆放新餐具大桌532小桌321（1）两名餐厅工作人员一起收拾一张大桌，最短需要_____分钟．（2）若三名餐厅工作人员分别负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，③摆放新餐具，且每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作．现有两张小桌和一张大桌需要收拾，那么将三张桌子收拾完毕最短需要_____分钟．三、解答题（11小题，共68分）17．（25-26八年级上·全国·课后作业）写出四个数学名词的定义．18．（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）写出下列命题的逆命题．(1)同旁内角互补，两直线平行．(2)如果两个角是直角，那么这两个角相等．(3)能被4整除的数一定能被8整除．19．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，说明“如果是线段上的两点，且，那么”是真命题．20．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知：，，是的内角．求证：，，中至多有一个角是钝角．21．（25-26八年级上·全国·课后作业）按要求解答下列各小题．(1)请写出以下命题的逆命题：①相等的角是内错角；②如果，那么；(2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理．22．（25-26八年级上·河南周口·期末）小明想用反证法证明“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”这条定理的正确性，请帮他将步骤补充完整．已知：直线a，b，c在同一平面内，，，求证：．证明：23．（25-26八年级上·全国·课后作业）现实生活中的交流、游戏等活动，也得选定一些大家认可的结论、规则作为出发点，这不正是《原本》的思想吗！试找出几个这样的生活实例，与同伴进行交流．24．（25-26七年级下·河南郑州·期中）定义：对于任意两个实数a、b，若满足，则称数对为异差数对．观察例子：当，时，，，，则数对为异差数对．(1)验证：判断数对是否为异差数对；(2)推理证明：当时，数对一定是异差数对；(3)判断命题：“若是异差数对，则”是真命题还是假命题？若是真命题，请写出理由；若是假命题，请举出恰当反例．25．（25-26七年级下·全国·课后作业）小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：（1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾．（2）所以．（3）假设．（4）那么，由，得，即，即．请你写出这四个步骤正确的顺序______．26．（24-25八年级上·福建漳州·期中）阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成证明过程．证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商，设（p，q是互质的正整数）．由的意义，可知．，∴_______________．是一个偶数，是一个偶数．∴_______________．设（k是正整数），，_____________，是一个偶数．∴_______________．∴p和q均为偶数．这与__________________的假设矛盾．这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立，所以不是有理数．27．（25-26八年级上·河南郑州·期末）命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程．(1)已知：如图，___________，；求证：___________．(2)证明：(3)命题“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相垂直”，此命题是___________命题（填“真”或“假”）．

第十二章定义命题证明重难点检测卷（提高卷）（满分100分，考试时间120分钟，共27题）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；4.测试范围：定义命题证明全章内容；5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题）选择题（8小题，每小题2分，共16分）1．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列语句中，属于定义的是（

）A．对顶角相等 B．三角形的内角和等于C．数与字母的乘积叫作单项式 D．两直线平行，内错角相等【答案】C【分析】本题考查了定义的概念，熟记定义的概念是解题的关键．根据定义的概念判断即可．【详解】解：因为、、中的语句是对一件事做出了判断，没有明确规定，所以都不是定义，只有是定义．故选：C．2．（25-26八年级上·安徽池州·期末）下列命题是假命题的是（

）A．对顶角相等 B．如果，那么C．正数大于负数 D．同旁内角互补【答案】D【分析】本题考查命题，判断各命题的真假，A、B、C均为真命题，D命题“同旁内角互补”不一定成立，因此是假命题．【详解】解：∵对顶角相等，∴A是真命题；∵如果，则，∴B是真命题；∵正数总是大于负数，∴C是真命题；∵同旁内角互补的条件是两直线平行，当两直线不平行时，同旁内角不互补，∴D不总是成立，是假命题．故选：D．3．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）下列命题中，是真命题的是（

）A．对顶角相等B．同位角相等C．若，则D．若，则【答案】A【分析】本题考查了命题与定理，根据对顶角的性质、平行线的性质、平方根的定义和不等式性质逐一判断各命题的真假.【详解】解：A、对顶角相等，故本选项命题是真命题；B、同位角相等需两直线平行，否则不一定成立，故本选项命题是假命题；C、若，则，不一定，故本选项命题是假命题；D、，乘以负数，不等号方向改变，即，故本选项命题是假命题.故选：A.4．（25-26八年级上·浙江湖州·月考）对于命题“如果，那么．”能说明它是假命题的反例是（）A． B．，C．， D．，【答案】B【分析】本题考查了反证法；根据反例满足条件，不满足结论可对各选项进行判断．【详解】解：A.，满足条件，满足条件和结论，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；B.，，满足条件，不满足结论，可作为说明原命题是假命题的反例，符合题意；C.，，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；D.，，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；故选：B．5．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）下列说法正确的有（

）①每个定理都有逆定理；②每个命题都有逆命题；③假命题没有逆命题；④真命题的逆命题是真命题A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据逆定理的定义，某一定理的条件和结论互换所得命题是真命题是这个定理的逆定理可以判断①，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，可判断②，利用命题分类分为真命题与假命题都是命题，都有逆命题，可判断③，真命题是正确的命题，真命题的逆命题有真假命题之分，可判断④即可．【详解】解：①每个定理都有逆命题，看根据逆命题的条件能否推出正确的结论，能推出，由逆定理，不能推出，没有逆定理，故①不正确；②每个命题都有逆命题；故②正确；③假命题也是命题，命题都有逆命题，故③不正确；④真命题的逆命题可能是假命题，也可能是真命题，根据条件能否推出正确的结论有关，能推出，由是真命题，不能推出，是假命题，故④不正确．正确的说法只有一个②．故选择：A．【点睛】本题考查命题，真命题，假命题，逆命题，定理，逆定理，掌握命题，真命题，假命题，逆命题，定理，逆定理的定义，以及它们的区别是解题关键．6．（2025·北京海淀·模拟预测）为了预防新型冠状病毒的感染，人员之间需要保持一米以上的安全距离，某公司会议室共有四行四列桌椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列不能有连续三人就座．例如图中第一列所示情况就不满足条件（其中“√”表示就座人员）．根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为（）A．12 B．11 C．10 D．9【答案】B【解析】分步安排每一排就坐，根据第一排与第二排的空座位值是否在同一列分情况安排第三排人员就坐，从而得出结论．【详解】解：第一步，在第一排安排3人就坐，且空出中间一个座位，不妨设空出第二个座位，第二步，在第二排安排3人就坐，且空出中间一个座位，则可空出第二或第三个座位，第三步，若第二排空出第二个座位，则第三排只能安排一人在第二个座位就坐，第四步，在第四排安排3人就坐，空出第二或第三个座位，此时会议室共容纳3+3+1+3=10人，重复第三步，若第二步空出第三个座位，则第三排可安排2人在中间位置就坐，重复第四步，在第四排安排3人就坐，空出第二个座位，此时会议室共容纳3+3+2+3=11人．故选：B．【点睛】本题考查了组合排列数计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（25-26七年级下·河北邢台·期中）和能作为反例说明“同位角相等”是假命题的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了命题与定理，掌握举反例时，需要满足命题的条件，但不满足命题的结论是解题的关键．举出反例说明，满足命题的条件，不满足命题的结论即可得出答案．【详解】A.两直线不平行，同位角不相等，可以作为反例说明“同位角相等”是假命题，符合题意；B.和不是同位角，不符合题意；C.和不是同位角，不符合题意；D.两直线平行，同位角相等，是真命题，不符合题意；故选A．8．（25-26八年级上·全国·周测）有一种“扫雷”游戏如图所示，方格内的数字表示与它相邻的方格内总共有的地雷数．例如：右下角的数字1表示A，B，C中只有一个地雷．通过推理，请判断？处应填的数字是（

）233AB1?C1A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】此题主要考查了推理与论证；关键是根据方格内的数字表示与它相邻的方格内总共有的地雷数通过推理则把表补充完整，从而求出？处应填的数字．根据方格内的数字表示与它相邻的方格内总共有的地雷数填表，即可求出？处应填的数字．【详解】解：根据题意用是表示有地雷，用不表示没有地雷填表得：是是23是3不是不是1是?不1？的周围有两颗地雷，所以？处应填的数字是．故选：D．第II卷（非选择题）二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）9．（2025·上海杨浦·一模）“若，则”的逆命题是：__________．【答案】若，则【分析】本题主要考查了写出命题的逆命题，根据逆命题是将原命题的条件和结论交换后得到的新命题求解即可．【详解】解：原命题是“若，则”，根据逆命题的定义，将其条件和结论交换，得到逆命题为“若，则”．故答案为：若，则．10．（25-26八年级上·浙江衢州·期末）能判断命题“若，则”是假命题的反例是__________．【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查了写出命题的反例，理解题意是解题的关键．通过举反例，当x取负值且满足时，x不一定大于1即可求解．【详解】解：取，则，但，不满足，∴命题“若，则”不成立，故答案为：（答案不唯一）．11．（25-26八年级上·福建泉州·期末）用反证法证明：在，已知，求证：．应首先假设______．【答案】/【分析】根据反证法的步骤，先假设结论不成立，进行作答即可．【详解】解：用反证法证明：在，已知，求证：．应首先假设：；故答案为：．【点睛】本题考查反证法．熟练掌握反证法的步骤，是解题的关键．12．（24-25七年级下·河北邯郸·月考）下列命题可以作定理的有_____个．①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除；③是方程的根；④三角形的内角和是．【答案】2【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证；经过判断可以得到②、③是假命题，①、④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题．【详解】解：①等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理；②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理；③把代入，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理；④三角形的内角和是，是经过证明的真命题，故是定理；∴可以作定理的有2个故答案为：213．（25-26七年级下·江苏南京·期末）对于下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；②在锐角三角形中，任意两个内角和一定大于第三个内角；③无论x取什么值，代数式x2－2x＋2的值都不小于1；④在同一平面内，有两两相交的3条直线，这些相交直线构成的所有角中，至少有一个角小于61°．其中，真命题的是_____．（填所有真命题的序号）【答案】②③④【分析】根据不等式的性质、三角形内角和定理、完全平方公式、以及平角的定义解答即可．【详解】解：①当a=-1，b=-2时，满足a＞b，但a2＜b2；原命题是假命题；②在锐角三角形中，若任意两个内角和小于第三个内角，则这三个角的和小于180°，是真命题；③无论x取什么值，代数式x2-2x+2=(x-1)2+1≥1，所以其值都不小于1，是真命题；④如图1，当三条直线如图1相交时，若每个角都不小于61°，则∠1+∠2+∠3>180°，这与平角定义相矛盾，∴至少有一个角小于61°；当三条直线如图2相交时，若每个角都不小于61°，则∠1+∠2+∠3>180°，这与三角形内角和定理相矛盾，∴至少有一个角小于61°；综上可知，在同一平面内，有两两相交的3条直线，这些相交直线构成的所有角中，至少有一个角小于61°，是真命题．故答案为：②③④．【点睛】本题考查了命题与定理知识点，主要考查学生的辨析能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．14．（2025七年级下·湖北·学业考试）甲，乙，丙，丁4人打靶，每人打4枪，每人各自中靶的环数之积都是72（中靶环数最高为10），且4人中靶的总环数恰为4个连续整数，那么，其中打中过4环的人数为_______．【答案】2人【分析】本题考查理解题意的能力，准确理解运用每人各自中靶的环数之积都是72和4人中靶的总环数恰为4个连续整数条件成为解题的关键．根据所给的每人各自中靶的环数之积都是72，找到乘积是72的所有情况，那样能找出每个人的打靶环数的可能情况，根据4人中靶的总环数恰为4个连续整数，据此即可解答．【详解】解：，共7种情况，在这7种情况中，总环数分别为，人中靶的总环数恰为4个连续整数，其中3个人的总环数一定为15，14，13，第4个人总环数为16或，打中过4环的人数为2人．故答案为：2人．15．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）图书馆将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词出现在书中时，，否则（，为正整数）．例如：当关键词出现在书中时，，否则．根据上述规定，某读者去图书馆寻找书中同时有关键词“，，”的书，现有四位同学有如下理解：甲：当时，选择这本书；乙：只有当时，才不能选择这本书；丙：当，，全是1时，选择这本书；丁：当时，不选择这本书．其中理解错误的同学是______．【答案】乙【分析】根据题意的值要么为1，要么为0，当关键词出现在书中时，元素，否则（i，j为正整数），按照此规定对每个选项分析推理即可．【详解】解：根据题意的值要么为1，要么为0，甲：∵，∴，，，∴关键词“，，”同时出现在书中，∴选择这本书，故甲表述正确；乙：当时，则、、是必有值为0的，即关键词“，，”不同时具有，从而不选择这本书，∴当或或时，不能选择这本书，故乙的说法错误；丙：∵当，，全是1时，，，，∴关键词“，，”同时出现在书中，∴选择这本书，故丙表述正确；丁：当时，则、、是必有值为0的，即关键词“，，”不同时具有，从而不选择这本书，故丁表述正确；综上分析可知，说法错误的是乙．故答案为：乙．【点睛】本题考查了推理与论证，读懂题意，按照规定进行计算与推理是解题的关键．16．（24-25七年级下·北京·月考）某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示：步骤时间（分钟）桌别回收餐具与剩菜、清洁桌面清洁椅面与地面摆放新餐具大桌532小桌321（1）两名餐厅工作人员一起收拾一张大桌，最短需要_____分钟．（2）若三名餐厅工作人员分别负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，③摆放新餐具，且每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作．现有两张小桌和一张大桌需要收拾，那么将三张桌子收拾完毕最短需要_____分钟．【答案】712【分析】本题考查了推理论证，实际问题的方案设计，事件的统筹安排，有理数的混合运算，尽可能让①和②在同一时段进行时解此题的关键．（1）由题意可得，两名餐厅工作人员一起收拾一张大桌，同时执行步骤①和②，再执行③所需时间最短，由此计算即可得解；（2）设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面；工作人员2负责②清洁椅面与地面；工作人员3负责③摆放新餐具，画出流程图，结合流程图即可得解．【详解】解：（1）由题意可得，两名餐厅工作人员一起收拾一张大桌，同时执行步骤①和②，再执行③所需时间最短，为（分钟），故答案为：7；（2）设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面；工作人员2负责②清洁椅面与地面；工作人员3负责③摆放新餐具，具体流程如下图：，由流程图可得，将三张桌子收拾完毕最短需要12分钟，故答案为：12．三、解答题（11小题，共68分）17．（25-26八年级上·全国·课后作业）写出四个数学名词的定义．【答案】答案不唯一，见解析【分析】结合所学的数学知识，写出4个数学名词概念即可．【详解】（1）二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程；（2）因式分解：把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解；（3）一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程；（4）点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．【点睛】本题考查对数学名词的概念，解题的关键是熟记其定义．18．（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）写出下列命题的逆命题．(1)同旁内角互补，两直线平行．(2)如果两个角是直角，那么这两个角相等．(3)能被4整除的数一定能被8整除．【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补(2)如果两个角相等，那么这两个角是直角(3)如果一个数能被8整除，那么这个数能被4整除【分析】根据逆命题是将原命题的条件与结论互换后得到的新命题进行逐项分析，即可作答．【详解】（1）解：逆命题是“两直线平行，同旁内角互补”；（2）解：逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是直角”；（3）解：逆命题是“如果一个数能被8整除，那么这个数能被4整除”．19．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，说明“如果是线段上的两点，且，那么”是真命题．【答案】见解析【分析】本题考查线段的和差，等式的性质，真命题，掌握相关知识是解决问题的关键．因为，根据等量加等量仍是等量可得，即可证明．【详解】解：∵，∴，即．20．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知：，，是的内角．求证：，，中至多有一个角是钝角．【答案】见解析【分析】利用反证法的步骤得出答案．首先假设∠、∠、∠中有两个或三个钝角（或∠、∠、∠中至少有两个钝角），然后再去说明我们的假设与三角形内角和定理矛盾，因而假设错误，所以∠A，∠B，∠C中至多有一个角是钝角．【详解】证明：假设∠、∠、∠中有两个或三个钝角，则，与三角形内角和定理矛盾，因而假设错误，所以∠A，∠B，∠C中至多有一个角是钝角．【点睛】此题主要考查了反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．21．（25-26八年级上·全国·课后作业）按要求解答下列各小题．(1)请写出以下命题的逆命题：①相等的角是内错角；②如果，那么；(2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理．【答案】(1)①如果两个角是内错角，那么这两个角相等；②如果，那么(2)不是【分析】本题考查原命题和逆命题的相关知识，关键是明确逆命题的概念．（1）逆命题就是把原命题的题设和结论换成逆命题的结论和题设，进而求解即可；（2）根据逆定理的性质求解即可．【详解】（1）解：①“相等的角是内错角”的逆命题；如果两个角是内错角，那么这两个角相等．②“如果，那么”的逆命题；如果，那么．（2）解：因为定理首先是真命题，而（1）中①的原命题与逆命题都是假命题，故（1）中①的原命题和逆命题不是互为逆定理．22．（25-26八年级上·河南周口·期末）小明想用反证法证明“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”这条定理的正确性，请帮他将步骤补充完整．已知：直线a，b，c在同一平面内，，，求证：．证明：【答案】，证明见解析【分析】根据命题的结论，写出求证，利用反证法，进行证明即可．【详解】解：由命题的结论得：，故答案为：，证明：假设a，b相交于点A，则过A点有两条直线a，b都平行于c，这与“在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾，所以假设是错误的，所以．【点睛】本题考查反证法．根据结论，正确的写出假设，是解题的关键．23．（25-26八年级上·全国·课后作业）现实生活中的交流、游戏等活动，也得选定一些大家认可的结论、规则作为出发点，这不正是《原本》的思想吗！试找出几个这样的生活实例，与同伴进行交流．【答案】见解析．【分析】根据生活实例，言之有理即可．【详解】具体例子很多，如象棋比赛中，有关游戏规则就相当于其公理．【点睛】此题主要考查公理的定义、特点，解题的关键是根据实际生活找到例子．设计这一习题的目的在于，让学生更好地体会公理化思想．24．（25-26七年级下·河南郑州·期中）定义：对于任意两个实数a、b，若满足，则称数对为异差数对．观察例子：当，时，，，，则数对为异差数对．(1)验证：判断数对是否为异差数对；(2)推理证明：当时，数对一定是异差数对；(3)判断命题：“若是异差数对，则”是真命题还是假命题？若是真命题，请写出理由；若是假命题，请举出恰当反例．【答案】(1)数对是异差数对．(2)见解析．(3)该命题是假命题．反例不唯一，例如异差数对满足条件，但，不满足．【分析】（1）代入数值计算，根据异差数对的定义验证判断即可．（2）由得出，进而得出，即可证明．（3）由（2）可知原命题不成立，然后举反例即可．【详解】（1）解：∵，，，∴数对是异差数对．（2）证明：∵∴，∴，∴，∴．即数对一定是异差数对．（3）解：该命题是假命题．由（2）的结论可知，当时，数对也可以是异差数对，因此原命题不成立．举反例：数对是异差数对，其中，，满足是异差数对，但，不满足，原命题是假命题．25．（25-26七年级下·全国·课后作业）小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：（1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾．（2）所以．（3）假设．（4）那么，由，得，即，即．请你写出这四个步骤正确的顺序______．【答案】（