条件极值问题与Lagrange乘数法

1、12.7 条件极值问题条件极值问题与与lagrangelagrange乘数法乘数法光的折射问题光的折射问题空气空气水水ababc问：光线沿何路径由光线沿何路径由a a到到b b？物理：光线依时间最短路线行进！物理：光线依时间最短路线行进！c12coscosabtvv求求t t的最小值！的最小值！tantanabc条件极值条件极值以前讨论的极值问题对自变量只有定义域限制，以前讨论的极值问题对自变量只有定义域限制，xyyzxzs )(2有时，除受自变量定义域限制外有时，除受自变量定义域限制外, 还受到其他的限制还受到其他的限制.例如，要设计一个容量为例如，要设计一个容量为 v v 的长方体开口水箱

2、，试的长方体开口水箱，试问水箱的长、宽、高各为多少时，其表面积最小？问水箱的长、宽、高各为多少时，其表面积最小？为此，设水箱的长、宽、高分别为为此，设水箱的长、宽、高分别为 x , y , z , , 则表面积为则表面积为依题意，上述的长、宽、高不仅要符合定义域的要依题意，上述的长、宽、高不仅要符合定义域的要求：求： x x 0 , 0 , y y 0, 0, z z 0, 0, 而且还须满足条件而且还须满足条件vxyz 这类附有约束条件的极值问题称为这类附有约束条件的极值问题称为条件极值条件极值. 条件极值问题的一般形式条件极值问题的一般形式是等式约束：即在条件组：是等式约束：即在条件组：)

3、(, 2, 1, 0),(21nmmkxxxnk 的限制下，求的限制下，求目标函数目标函数),(21nxxxfy 的极值的极值.2()sxzyzxy求的极值xyzv条件：条件极值的一种求解方法是条件极值的一种求解方法是代入法代入法. 例如，在上述例子中，由条件例如，在上述例子中，由条件vxyz 解出解出xyvz 代入目标函数中，代入目标函数中，xyxyvs )11(2然后求这个函数的无条件极值然后求这个函数的无条件极值.xyyzxzs )(2得到得到思路思路：将条件极值化为无条件极值！：将条件极值化为无条件极值！条件极值的几何解释然而在一般情形下，这种方法往往是行然而在一般情形下，这种方法往往

4、是行不通的，因不通的，因为要从条件组为要从条件组 下面介绍的下面介绍的拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是求条件极是求条件极值的一种有效方法值的一种有效方法. .解出解出 m 个变元常常是不可能的个变元常常是不可能的. )(, 2, 1, 0),(21nmmkxxxnk 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法,0),(下下在在条条件件 yx 则问题等价于一元函数则问题等价于一元函数可确定隐函数可确定隐函数的极值问题的极值问题, 由极值的必要条件，知极值点由极值的必要条件，知极值点 x0 必满足必满足设设 记记.),(的的极极值值求求函函数数yxfz 0),( yx , )(xgy )()(,(xhxgxfz

5、0)(),(),()(000000 xgyxfyxfxhyx,yxg 0 yxyxff 故有故有 因因yyxxff 即即yyxxff 引入辅助函数引入辅助函数辅助函数辅助函数l 称为称为拉格朗日拉格朗日( lagrange )函数函数.0 xxxfl 0 yyyfl 0),( yxl 利用拉格利用拉格 极值点必满足极值点必满足0 xxf 0 yyf 0),( yx 则极值点满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.),(),(),(yxyxfyxl 想法想法：把上面的条件极值点转化为一般极值点问题：把上面的条件极值点转化为一般极值点问题构造

6、一个函数使得其极值点就是上面函数的条件极值点构造一个函数使得其极值点就是上面函数的条件极值点1. 作拉格朗日函数作拉格朗日函数0 xxxfl 0 yyyfl 0),( yxl 利用拉格朗日乘数法求函数利用拉格朗日乘数法求函数),(),(),(yxyxfyxl 0),( yx ),(yxfz 在条件在条件下的极值步骤如下：下的极值步骤如下：2. 求拉格朗日函数的极值求拉格朗日函数的极值先求解拉格朗日函数的偏导数构成的方程组：先求解拉格朗日函数的偏导数构成的方程组：再考察再考察驻驻点点是否是是否是极值点极值点拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件

7、的情形件的情形. 设设解方程组解方程组例如例如, 求函数求函数下的极值下的极值.在条件在条件),(zyxfu ,0),( zyx 0),( zyx ),(),(),(),(2121zyxzyxzyxfzyxl 021 xxxxfl 021 yyyyfl 021 zzzzfl 0),(1 zyxl 0),(2 zyxl 可得到条件极值的可疑点可得到条件极值的可疑点 . . 例例. .要设计一个容量为要设计一个容量为 v v 的长方体开口水箱的长方体开口水箱, , 问问 求求 x , y , z令令解方程组解方程组解解: 设设 x , y , z 分别表示长、宽、高分别表示长、宽、高, 下水箱表面

8、积下水箱表面积最小最小.使在条件使在条件 xl02 zyyz yl02 zxxz zl0)(2 yxyx l0 vzyx水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？vzyx yxzyzxs )(2)()(2vzyxyxzyzxl 0)1)( zxy 得得, 01 z 若若于是于是,1 z代入式得代入式得, 02 不合题意不合题意.若若,xy 代入式得代入式得,4 xy代入式得代入式得,42 zxy代入式得代入式得324v 得唯一驻点得唯一驻点,223vzyx 324v 由题意可知合理的设计是存在的由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的长、宽为高的 2 倍时，

9、所用材料最省倍时，所用材料最省.因此因此 , 当高为当高为,43v思考思考:当水箱封闭时当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何长、宽、高的尺寸如何?提示提示: 利用利用对称性对称性可知可知,3vzyx 2()()lxzyzxyxyzv例例.抛物面抛物面这个问题实质上就是求函数这个问题实质上就是求函数解解 zyx 22被平面被平面1 zyx求这个椭圆到原点的最长与最短距离求这个椭圆到原点的最长与最短距离.截成一个椭圆截成一个椭圆. 222),(zyxzyxf , 022 zyx01 zyx在条件在条件下的最大值、最小值问题下的最大值、最小值问题. 应用拉格朗日乘数法，应用拉格朗日乘数法，作拉格朗日

10、函数作拉格朗日函数222),(zyxzyxl )1()(22 zyxzyx 令令 l 的一阶偏导数都等于零，则有的一阶偏导数都等于零，则有 xl022 xx yl022 yy zl02 z l022 zyx l01 zyx 得得(22 )()0 xy1如 ，0则 ，1z2从而 不合题意，舍去；yx 则则代入式后，再将代入代入式后，再将代入得得01222 xx解得解得,231 xy,32 z这就是拉格朗日函数的这就是拉格朗日函数的驻驻点，由于点，由于 f 在有界闭集在有界闭集,3353 ,33117 上连续，故所求问题存在最大值与最小值上连续，故所求问题存在最大值与最小值. 1,| ),(22

11、zyxzyxzyx计算计算,359 得得所以该椭圆到原点的最长距离为所以该椭圆到原点的最长距离为最短距离最短距离 ,359 .359 )32,231,231( f,359 得：得：计算计算1313(, 23)22f 例例 试求函数试求函数 111( , , )(0,0,0)f x y zxyzxyz 3(0)xyzaa 在条件在条件 下的最小值下的最小值, 并由此导出相并由此导出相 应的不等式应的不等式. 解解 设设 3111(),lxyzaxyz 222310,10,10,0.xyzlxyzlyxzlzxylxyza 并使并使由此方程组易得由此方程组易得 ,( , , )3.xyzaf a

12、a aa并并有有下面给出下面给出3 a是条件最小值的理由是条件最小值的理由. 3:.( , , ),0,sxyzax y zsxy记记当当且且或或 (02),( , , ),0, 0ax y zsxy 当当且且 , 0,z时 使得时 使得( , , )3.f x y za 0,0,z 时时或或( , , ).f x y z 都使得都使得 故存在故存在 1( , , ) ( , , ),.sx y zx y zs xyz 又设又设 1sff由于由于 为一有界闭集为一有界闭集, 为连续函数为连续函数, 因此因此 在在 1s1ss1s 上存在最大值和最小值上存在最大值和最小值. 而在而在 及及 上上

13、, 1( , , )( , , )min( , , )min( , , )3.x y zsx y zsf x y zf x y za 3,a1sf 的值已大于的值已大于 故故 f 在在 s 上的最小值必在上的最小值必在 1s( , , ),a a a的内部取得的内部取得. 又因又因 内部只有惟一可疑点内部只有惟一可疑点 所以必定有所以必定有 1113, ( , , )x y zsxyza 最后最后, 在不等式在不等式 中中, 用用 代入代入, 就得到一个新的不等式就得到一个新的不等式: 3axyz 31113,0,0,0.xyzxyzxyz 经整理后经整理后, , 就是就是 “调和平均不大于几何平均调和平均不大于几何平均” 这个这个著名的不等式著名的不等式: :131113,0,0,0 .xyzxyzxyz 注 意 应用应用lagrange乘数法求解条件极值问题，乘数法求解条件极值问题，产生的方程组变量个数可能比较大，似乎产生的方程组变量个数可能比较大，似乎解这个方程组往往是很困难的。但注意我解这个方程组往往是很困难的。但注意我们可以利用变量之间的关系（也就