判定平行四边形的五种方法

1、FABC图3判别平行四边形的根本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢？下面举例予以说明一、运用 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形'判 别例1 如图1,在平行四边形 ABCD中,E、F在对角线AC上, 且AE=CF试说明四边形DEBF是平行四边形.分析：由于条件与对角线有关，故考虑运用两条对角线互相平分的四边形是平行四边形'进展判别为此,需连接BD.解：连接BD交AC于点O.因为四边形ABCD是平行四边形，所以 AO=CO,BO=DO.又 AE=CF所以 AO-AE=COCF,即卩 EO=FO.所以四边形DEBF是平行四边形.二、运用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判别

2、例2如图2,是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由.分析:设每根木棒的长为1个单位长度，那么图中各四边形 的边长便可求得，故应考虑运用 两组对边分别相等的四边形是 平行四边形'进展判别.解：设每根木棒的长为1个单位长度，那么AF=BC=1AB=FC=1,所以四边形ABCF是平行四边形.同样可知四边形 FCDE四边形ACDF都是平行四四边形. 因为AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形 ABDE也是平行四边形.三、运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形'判 别例3 如图3, E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点， AE=CF,D

3、F=BE,DF/ BE,试说明四边形 ABCD是平行四边形.分析：题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形，但仔细观察可知，由条件可得 ADFBA CBE由此 就可得到判别平行四边形所需的 一组对边平行且相等 的条 件.解：因为 DF/ BE,所以 / AFD=Z CEB因为 AE=CF,所以 AE+EF=CF+EF,I卩 AF=CE又 DF=BE 所以 ADFA CBE 所以 AD=BC, / DAF=Z BCE 所以AD/ BC所以四边形 ABCD是平行四边形.四、运用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判别例4 如图4,在平行四边形 ABCD中，/ DAB、/ BCD的平分

4、线分别交 BC AD边于点E、F,那么四边形AECF是平行四 边形吗？为什么？分析：由平行四边形的性质易得 AF/ EC,又题目中给出的 是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故此题应考虑 运用 两组对边分别平行的四边形是平行四边形'进展判别解：四边形AECF是平行四边形.理由：因为四边形 ABCD是平行四边形，所以 AD/ BC,/ DAB=Z BCD,所以AF/ EC又因为/ 1=孑/ DAB, / 2胡 / BCD,所以 / 1 = / 2因为 AD/ BC,所以 / 2= / 3,所以/仁/ 3,所以AE/ CF 所以四边形AECF是平行四边形判定平行四边形的五种方法平行四

5、边形的判定方法有：1证两组对边分别平行；2 证两组对边分别相等；3证一组对边平行且相等；4证对角线互相平分；5证两组对角分别相等。下面以近几年的中 考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。一、两组对边分别平行D图1C如图1 , ABC是等边三角形，D E分别在边 BC AC 上，且CD=CE,连结DE并延长至点 F,使EF=AE,连结AF、BE和 CF请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。解：1选证FEC证明：/ ABC是等边三角形， BC=AC, / ACD=60 °/ CD=CE - BD=AE, EDC是等边三角形 DE=EC,

6、/ CDE=Z DEC=60 °/ BDE=Z FEC=120 °又 EF=AE, BD=FE,BDEA FEC2四边形ABDF是平行四边形理由：由1知， ABC EDG AEF都是等边 三角形/ CDE=Z ABC=Z EFA=60 ° AB/ DF, BD/ AF四边形ABDF是平行四边形。点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证 截得的同位角相等，错角相等或同旁角相等时，可 证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行 四边形。二、一组对边平行且相等例2 :如图2,在正方形 ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E,使CE=CG,连结BG并延长交 DE于

7、F(1) 求证： BC3A DCE(2) 将厶DCE绕点D顺时针旋转90。得到 DAE',判断 四边形EBGD是什么特殊四边形？并说明理由。分析：2由于ABCD是正方形，所以有 AB/ DC, 又通过旋转 CE=AE，CE=CG,所以 E'A=CG,这样就有 BE' GD,可证EBGD是平行四边形。解：1/ ABCD是正方形，/ BCD=Z DCE=90 又 T CG=CE, BCGA DCE2/ DCE绕D顺时针旋转90°得到 DAE', CE=AE', / CE=CG, CG=AE',四边形ABCD是正方形 BE'/ DG,

8、 AB=CD ABAE' CD-CG,即 BE' DG四边形DE'BG是平行四边形点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形三、两组对边分别相等例3 如图3所示，在 ABC中，分别以AB、AC BC为 边在 BC的同侧作等边 ABD,等边 ACE等边 BCF。求证：四边形DAEF是平行四边形；分析：利用证三角形全等可得四边形DAEF的两组对边分别相等，从而四边形 DAEF是平行四边形。解：/ ABD和 FBC都是等边三角形/ DBF+Z FBA=Z ABC+Z FBA=60 °/ DBF=Z ABC又/ BD=BA, BF=B

9、C.A ABC DBF AC=DF=AE 同理 ABC EFC AB=EF=AD四边形ADFE是平行四边形点评：题设中存在较多线段相等关系时，可证四边 形的两组对边分别相等，从而可证四边形是平行四 边形。四、对角线互相平分例4:如图4，平行四边形 ABCD的对角线AC和BD相交 于O, AE丄BD于E, BF丄AC于F, CG丄BD于G, DH丄AC 于H,求证：四边形 EFGH是平行四边形。分析：因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这 些条件与四边形 EFGH的对角线有关，假设能证出 OE=OG, OF=OH,那么问题可获得解决。证明：/ AE丄 BD, CG丄 BD,/ AEO=Z C

10、GO,/ AOE=Z COG OA=OC AOEA COGOE=OG同理 BOFA DOH OF=OH四边形EFGH是平行四边形点评：当条件与四边形两对角线有关时，可证两对角线互相平分，从而证四边形是平行四边形。五、两组对角相等例5将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起 四边形ABCD是平行四边形吗？理由。(1)如图2，将 RtA BCD沿射线 BD方向平移到 RtA B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？ 说出你的结论和理由：。分析：因为题设与四边形角有关，故考虑四边形的两组角相等解决问题。解：1四边形ABCD是平行四边形，理由如下：/ ABC=Z ABD+

11、Z DBC=30 +90 =120 ；/ ADC=Z ADB+Z CDB=90 +30 =120 °又 Z A=60°, Z C=60°, Z ABC=Z ADC, Z A=Z C2四边形ABGD1是平行四边形，理由如下：将RtA BCD沿射线方向平移到 RtA B1C1D1的位置时， 有 RtA Ci BB1B RtA ADD1 Z GBB1=Z AD1D, Z BGB1=Z DAD1 有Z C1BA=Z ABD+Z C1BB1 = Z C1D1B什Z AD1 B= Z AD1C1,Z BCi D1=Z BGB1+Z B1ODi=Z D1AD+Z DAB=Z D

12、1AB所以四边形ABC1D1是平行四边形点评：2也可这样证明：由1知ABCD是平行 四边形， AB/ CD,将RtA BCD沿射线 BD方向平移到 RtAB1C1D1的位置 时，始终有 AB/ GDi，故ABCiDi是平行四边形。判断平行四边形的策略在学习了 平行四边形这局部容后， 对于平行四边形的判 定问题，可从以下几个方面去考虑：一、考虑对边'关系思路1:证明两组对边分别相等例1 如图1所示，在 ABC中，/ ACB= 90° BC的垂直 平分线 DE交BC于D,交AB于E, F在DE上，并且 AF =CE求证：四边形 ACEF是平行四边形 证明：/ DE是BC的垂直平分

13、线， DF丄 BC, DB = DC.图1/ FDB= / ACB= 90 . ° DF/ AC . CE = AE =AB./ 1 = / 2 .又 EF/ AC, AF = CE= AE,/ 2 =Z 1 =Z 3 = / F. ACEA EFA AC = EF .四边形ACEF是平行四边形 思路2:证明两组对边分别平行例2 :如图2，在 ABC中，AB= AC,E是AB的中点,D在BC上，延长 ED至U F, 使 ED=DF = EB连结FC求证：四边形AEFC是平行四边形证明：/ AB = AC, / B = Z ACB/ ED= EB,B =Z EDB./ ACB=Z ED

14、B EF/ AC/ E是 AB 的中点， BD = CD./ EDB=Z FDC, ED = DF, EDBA FDCDEB = Z F. AB / CF四边形AEFC是平行四边形.思路3:证明一组对边平行且相等 例3 如图3,平行四边形 ABCD中,AE、F分别是AB、CD上的点，AE= CF，M、N分别是DE、BF的中点.求证：四边形ENFM是平行四边形. 证明：/四边形ABCD是平行四边形, AD = BC, / A =Z C .又 AE = CF,ADEA CBF/ 1 =Z 2, DE= BF ./ M、N分别是DE、BF的中点, EM = FN .DC/ AB,3 =Z 2./ 1

15、 =Z 3. EM / FN .四边形ENFM是平行四边形.二、考虑对角'关系思路：证明两组对角分别相等例4 如图4,在正方形 ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点.求证：1 ABEA CDF;2四边形BFDE是平行四边形.证明：1在正方形 ABCD中，AB = CD, AD = BC, / A =Z C AE = CF.ABEA CDF2由1 ABEA CDF知，/ 1 =Z 2, / 3 =Z 4. / BED=Z DFB. 在正方形 ABCD 中，/ ABC=Z ADC, / EBF=Z EDF四边形BFDE是平行四边形 三、考虑对角线的关系 思路：证明两条对角线相互平分例

16、5 如图5，在平行四边形 ABCD中，R、P2是对角线BD的三等分点求证：四边形 ARCR是平行四边形四边形ABCD是平行四边形, OA = OC, OB = 0D.证明：连结AC交BD于O.四边形AP1CF2是平行四边形t BPi = DF2, OPi = 0F2 .平行四边形的识别浅析平行四边形是初中数学中的根本图形，正确识别平行四边 形，是进一步学习矩形、菱形和正方形的根底。识别平行四边 形是利用边、角和对角线的特点，而且只需要两个条件，为了 更加清楚哪些条件能或不能识别平行四边形，我们把这些条件 总结如下。1利用定义或定理直接识别平行四边形1.1两组对边分另平行，如图 1,AB/ CD

17、,AD/ BCo1.2两组对边分别相等，如图 1,AB=CD,AC=BG1.3两组对角分别相等，如图 1, / ABC=Z ADC/ BAD=Z BCD。1.4 一组对边平行且相等，如图1,AB / CD,AB=CD。1.5两条对角线互相平分，如图1,OA=OC,OB=ODo2利用定义和定理间接识别平行四边形2.1 一组对边平行且一组对角相等，如图 1,AB/ CD, / ABC=/ ADCo证 明 ：/AB/ CD：/ ABC+/ BCD=180°又/ ABC=/ ADCA/ ADC+ / BCD= 180 ° AD/ BC：四边形 ABCD是平行四边形(两组对边分别平行

18、)2.2 一组对边平行且两条对角线交点平分一条对角线，如图1, AB / CD, OA=OCo证明：/ AB/ CDA/ BAC=Z DCA 在"AOB 和"COD 中， / BAC=/ DCA, OA=OC, / AOB=/ CODU AOB COD(ASZ) AB=CD.四边形ABCD是平行四边形一组对边平行且相等2.3两组邻角互补，而且两组邻角要有一个公共角， 如图 1, / DABZ ABC=180°,Z ABG+Z BCD=180°。vZ DAB+Z ABG=180° AD/ BG又vZ ABG+Z BGD=180 ° AB

19、/ CD：四边形ABCD是平行四边形两组对边平行3不能识别为平行四边形3.1两组不同的邻角互补，如图 2, Z A+Z B=180°, Z C+Z D=180°,可以画出梯形。3.2识别平行四边形的条件涉及的边、角相等关系都是对边对角，涉及邻边邻角相等的都不能做为平行四边形识别的条件。 两组邻边相等，如图 3, AB=AD,CB=CD不一定是平行四边形。两 对邻角相等，如图 4, Z A=Z D, Z B=Z C,可以画出等腰梯形。3.3 一组对边平行且另一组对边相等，如图4,AD/ BGAB=CD,也可以画出等腰梯形。3.4 一组对边相等，一组对角相等，不一定是平行四边形

20、。反例作图方法，如图5:作Z ABG在边BA上确定点A, 在边BC上确定点 G过点A、B、C作O 01,以点C为圆心， 以线段AB长为半径作OC,以AC为弦作O01的等圆O02, 交O C于D、E两点，那么四边形 ABCD为平行四边形，而四 边形 ABCE即为符合条件的非平行四边形，即 AB=CEZ ABC=Z AEG3.5 一组对边相等，对角线交点平分一条对角线，不一 定是平行四边形。反例作图方法 ，如图6:作线段AB,过 线段AB的中点0作直线CD,过点B作BEX CD,垂足为E,以点E为圆心，小于线段 0E的长为半径作 O E交CD于F、G 两点，以点A为圆心，BF长为半径作OA,交直线

21、CD于H、I 两点，那么四边形 AGBH和四边形AFBI为平行四边形，而四边 形AGBI和四边形AHBF即为符合条件的非平行四边形，如在四 边形 AGBI 中，AI=BG0A=0B。说明一个四边形是平行四边形的思路于秀坤平行四边形是最根本、最重要的一类特殊四边形如何 说明一个四边形是平行四边形呢？要说明一个四边形是平行四 边形，一般可以根据题目中所给的条件，分别通过以下的思路 进展说明.一、当条件出现在四边形的一组对边上时， 考虑采用两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形'或一组对边平行且相等的四边形是平行四边形"例1如图1，在 ABC中，AD是角的平分线， DE/AC交

22、 AB于点E, EF/BC交AC于点F,试说明 AE=CF.图1分析：由AD是角的平分线，可知 /仁/2,由DE/AC,可 知/2=7 3，所以/仁/ 3,即可得 AE=ED,要说明AE=CF,可 转化为说明ED=EC,因此，只需说明四边形EDCF是平行四边形 就可以了.解：因为7仁/2, 7 2=7 3，所以7仁/ 3,所以AE=ED, 又因为DE/AC, EF/BC,所以四边形EDCF是平行四边形两组 对边分别平行的四边形是平行四边形 所以ED=CF,所以AE=CF.二、当条件出现在四边形是对角上时，考虑 采用两组对角分别相等的四边形是平行四边形例2如图2, AE、CF分别是 ABCD的角

23、7 DAB、7 BCD的 平分线，试说明四边形 AECF是平行四边形.图2解：在 ABCD中，因为7 DAB=7 BCD,又因为/ 仁勺 / DAB, / 2=勺 / BCD,所以，/仁/ 2,因为 AB/CD，所以/ 3=7 1, / 4= / 2,所以/ 3=7 4，所以7 5=7 6, 所以四边形AECF是平行四边形.三、当条件出现在四边形的对角线上时，考虑采用 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形例3如图3，在口 ABCD中, AC BD相交于 O, EF过O分 别交AD、BC于E、F, GH过O分别AB、CD交于G、H.试说 明四边形EGFH是平行四边形.图3解：在口ABCD，因为

24、 AB/CD，所以 7 1 = 7 2, 因为 OA=OC, 7 3= 7 4,所以 A0G4A COH,所以 0G=0H,同理OE=OF,所以四边形EGFH是平行四边形.构造平行四边形解题邹殿敏平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边平行且相等， 对角相等，对角线互相平分.许多几何问题可以通过添加辅助 线，构造平行四边形加以解决.一、求线段的长例1如图1,在正 ABC中，P为边AB上一点，Q为边AC 上一点，且AP=CQ.今量得A点与线段PQ的中点M之间的距 离是19cm，那么P点到C点的距离等于 cm.分析：作 QD/AB,交BC于点D,连接PD, MD-由 ABC 为正三角形，易知 BP=

25、BD, AP=DQ，所以四边形 APDQ为平行四边形.所以 AMD是平行四边形APDQ的对角线.所以图1D图2AD=2AM =2 X 19=3cm.由厶 ABEAA CBP 可得 PC=AD.所以 PC=38cm.二、证明线段相等问题例2如图2,在梯形 ABCD中，AD/BC, AB=CD，延长 CB 至U E,使 EB=AD，连接 AE.求证：AE=AC.分析：连接BD.由AD与BE平行且相等，易知四边形AEBD 是平行四边形，所以 BD=AE.因为AC=BD,所以AE=AC.三、证明线段和差问题例3如图3 , ABC中，D, F是AB边上两点，且 AD=BF, 作 DE/BC, FG/BC,分别交 AC于点 E, G.求证：DE+FG=BC.分析：作GH/AB交BC于点