不定积分解法总结

1、今Inx + x 2 +Cj sin Txdxt -t sin tdt =-2(t cos t - cos tdt)不定积分解题方法总结摘要：在微分学中，已知函数求它的导数或微分是需要解决的基本问题。而在实际应用中，很多情况 雾要使用微分法的逆运算一积分。不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。 然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述丁笔者在学习过程中对 不定积分解题方法的归纳和总结。关键词：不定积分；总结；解题方法不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般 规律，并 非所有相似题型都适用，具体情况仍雷要具体分析

2、。希望本文能起到抛砖引玉的作 用，为读者在学习 不定积分时提供思路。文中如有错误之处，望读者批评指正。1换元积分法换元积分法分为第一换元法（凑微分法）、第二换元法两种基本方法。而在解题过程中我们更加 关注的是如何换元，一种好的换元方法会让题目的解答变得简便。1.当出现± , ylx2 - a形式时, 一般使用x = a sin/, x = a sec x = rz tan i三种代换形式。dxr .x = a tan t sec t = msec，+ tan，=-2f cos t + 2 sin t + C = _2Gx cos 77 + 2 sin yx + C但当根号内出现高次幕

3、时可能保田根号,=一1.” dt =. e dt6 J V1 - t122当根号内出现单项式或多项式时一般用，代去根号。arcsinx" + c6 3当被积函数只有形式简单的三角函敖时考虑使用万能代换法。 2 4- sin xdx = J1 2壮2+(2“/(l +厂)1 + /dt = I dt 1 + t + r3/4 + (方+1 / 2 yo2 tan - + 12o=arctan=V3J3对于万能代换法有些同学可能觉得形式和计算麻烦而排斥使用，但是万能代换可以把三 角函数直 接转变为有理函数形式，其后可以宜接参照有理函数的积分法。这不失为解题的一种奸方法。2不定积分中三角函

4、数的处理不定积分的计算中三角函数出现的次教较多，然而有些形式类似的题目的解法却大相径庭。在这 里我们有必要对含有三角函数的不定积分的解法进行总结。除丁之前提到的万能代换的方法，我们可 以对被积函数进行适当的变形和转换。因此，我们对被积函教中的三角函数的变形和转换与三角函数 的降次进行归纳和总结。1 分于分母上下同时加、减、乘、除某三角函数。被积函数一；J sirr x + cos- xdx上下同乘sin x变形为J smx + cos x (sin x - cos x)dX 二 一Xtan ? +L In72V2cos xd(cosx)三角函教之间都存在着转换关系。被积函数的形式越简单可能题目

5、会越难，适当的使用12(1 + cos x)sin x cos xIp(sin x + cos - 1dx = - dxsin x + cos x2 Jsm x + cos xdxsmx - cosx>/2 sin(.Y + 兀 / 4)三角函敌之间的转换可以使解题的思聒变得清晰。3-函数的降次形如Jsin" xcos73 X必的积分（m, n为非负整敌）当m为奇数时，可令u = cos x，于是J sin" x cos xdx -J sinn3n 1 x cos xd cos x=一J （1一 du ,转化为多顶式的积分当1】为奇数时，可令u = sin-Y,于是J

6、 sinx cos" xdx J sina x cos"7-1 xd sin = J w（1 一 /尸 4，同样转化为多项式的 积分。当m, n均为偶数时，可反复利用下列三角公式：sin x cos x =sin 2x > 2.91 - cos 2xsin*- x =2 .91 + cos 2xCOS X =>2不断降低被积函教的寻次，宜至化为前两种情形之一为止。形如J tan11和J cot”毗女的积分（n为正整数：）令 u = tan xdx y 贝 x = arctan u、dx =,从而 7+f tan71 xdx = fdu9Jl+L已转化成有理函教的

7、积分。类似地，J COt汝女可通过代换口 = COtX转为成有理函数的积分。形如J sec”敖女和J esc® x/y的积分（fl为正整敌）du当门为偶教时，若令U = tanx,贝ijx = arc tan u, cZr = 于是7 +1j* sec" xdx = J （1 + tan2 Jx = J （1 + / 片-Kdu = J （1 + /'du巳转化成多项式的积分。类似地 J esc”毗&可通过代换u = cotx转化成有理函数的积分。当门为奇数时，利用分部积分法来求即可。4当有x与三角函数相乘或除时一般使用分部积分法。f ° f 1

8、- COS 2xfi Ifc7x sirr xdx = jvdx = _- x cos 2xdxJJ2-42=一x2f-Yc/(sin 2x = xzx sin2x + _Lsin 2xdx44 J7444 J1 ,1, c 1 c=_- x sin 2xcos 2x + c4483有理函数积分法的总结有理函数积分法主要分为两步：1 化有理假分式为有理真分式；2.化有理真分式为部分分式之和。有理假分式化为有理真分式的方法由我们巳经拿握的代数学的方法可得，这里不 做讨论。1 有理真分式化为部分分式之和求解简单的有理真分式的拆分X3=lnpl一注意分于和分母在形式上的联系*)-5(3 + 门 I3

9、此类题目一般还有另外一种题型： dxfx + 1 f 1 f2x + 2= -+ 2x + 52对 + 2x + 5=J ln(.v + 2x + 5)+ c2 注意分母(分于)有理化的使用J 7 2x + 32x 14特殊题型该类题目一般被积函数形式比较复杂，一般在竞赛中较常出现。但在平时训练这些题型有助于提高教学的思维逻辑能力。1 .善于利用因为其求导后不变。J X(1t = xe IJ tl + t)T xeIn + c1 +xef这道题目中首先会注意到xe',因为其形式比较复杂。但是可以发现其求导后为+衣与分母差 另外因为求导后不变，所以容易想到分于分母同乘以2某些题正的不行倒

10、着来In sin x.1 f u2 In u：axsin x sin11 x = 一 ' 二.百,”m 止 u du = In udju ： - 1=In u - f duJ n-ljf tan ytann ydy = tan y - y 4- cauu = sec y sec y tan ydy u 二sec y原式:-f sin xd(cot x) =- cot x In sin at + f cot xd(ln sin x)- f COS X cos x i二一 cot x In sin x +axj sinx sinx=-cot x In sin * 4- J cot2 xdx

11、=cot x In sin x - cot x - x + cIn x 4- 2x In - 2x In2 x这道题换元的思路比较奇特，一般我们会直接使用u = sinx,然而这样的换元方法是解不出本题的。我概括此类题的方法为“正的不行倒着来7当口二sinx这类一般的换兀法行不通时尝试下_L= U=sin.Y。这种思、站类似于证明题中的反证法。注意复杂部分求导后的导数注意到：1 - 6" - 2t3ert 2t° et - 2tzezt - 2t3ez1 一 2fV=ln(t 2tse) - t - 3 In t + c=ln(ln x - 2(ln 才丫夕厂”)-In x

12、 - 3 In In x + c本题把被积函数拆为三部分：ypyiy，儿的分于为分母的导数，乙的值为1,儿的分于为分母因式分解 后的一部分。此类题目出现的次教不多，一般在竞赛中出现。4 对于J Rix、Jax： +ftx + c）dx（a丰0）型积分，考虑 =f - 4ac的符号来确定取不同 的变换。如果0 ,设方程乩/ + ftx + C = 0两个实根为a,尸，令y/ax2 + bx + c = t(x - 6),可使上述积分有理化。如果（）,则方程GY: +x + C = 0没有实根，令yjaxr, + bx + c =yax ± t,可使上述积分有理化。此中情况下，还可以设yjax2 + bx + C = Xt ±yf