第一章第10节闭区间上连续函数性质PPT课件

1、1一、最大值和最小值定理定义定义例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1max y第1页/共18页2定理定理1(1(最值定理最值定理) ) 在闭区间上连续的函数，在在闭区间上连续的函数，在该区间上一定能取得它的最大值和最小值该区间上一定能取得它的最大值和最小值. .ab2 1 xyo)(xfy ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得则则若若注意注意 1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理也不一

2、定成立.第2页/共18页3xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在闭区间上连续的函数一定在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界在该区间上有界. .证证,)(上连续上连续在在设函数设函数baxf,bax ,)(Mxfm 有有,maxMmK 取取.)(Kxf 则有则有.,)(上上有有界界在在函函数数故故baxf第3页/共18页4二、介值定理定理定理 3(3(零点定理零点定理) ) 设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba, 上连续，且上连续，且)(af与与)(bf异号异号( (即即0)()( bfaf),),那末在开区间那末在开区间 ba,内至

3、少有函数内至少有函数)(xf的一个零的一个零点点, ,即至少有一点即至少有一点 )(ba ，使，使0)( f. . 定义定义.)(,)(的的零零点点称称为为函函数数则则使使如如果果xfxxfx0000.),()(内至少存在一个实根内至少存在一个实根在在或方程或方程baxf0第4页/共18页5ab3 2 1 几何解释.,)(轴至少有一个交点轴至少有一个交点线弧与线弧与则曲则曲轴的不同侧轴的不同侧端点位于端点位于的两个的两个连续曲线弧连续曲线弧xxxfy 定理定理 4(4(介值定理介值定理) ) 设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba, 上连上连续，且在这区间的端点取不同的函数值续，且在这区间

4、的端点取不同的函数值 Aaf )( 及及 Bbf )(, , 那末，对于那末，对于A与与B之间的任意一个数之间的任意一个数 C，在开区间，在开区间 ba,内至少有一点内至少有一点 ，使得，使得Cf )( )(ba . . xyo)(xfy 第5页/共18页6几何解释MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 证证,)()(Cxfx 设设,)(上连续上连续在在则则bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB ,)()(0ba 因因由零点定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf 故故.)(至少有一个交点至少有一个交点与水平直线与水平直线连

5、续曲线弧连续曲线弧Cyxfy第6页/共18页7推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大在闭区间上连续的函数必取得介于最大值值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值. .例例1 1.)1 , 0(01423至少有一根至少有一根内内在区间在区间证明方程证明方程 xx证证, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上连续上连续在在则则xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零点定理,使使),( 10 , 0)( f, 01423 即即.),( 内至少有一根内至少有一根在在方程方程故故1001423 xxMm第7页/共18页8例例2 2.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaa

6、fbaxf使得使得证明证明且且上连续上连续在区间在区间设函数设函数证证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxFaafaF )()(而而, 0 由零点定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即第8页/共18页9例3例3有界。有界。证明证明存在，存在，内连续，且内连续，且在在设设)()(lim),()(xfxfxfx证明证明,)(limAxfx设设,)(, AxfXxX时，恒有时，恒有当当则则00,)( AxfA即即）上连续，）上连续，在（在（又又)(xf上连续，上连续，在在所以所以)(XXxf使使和和由由最最值值定定理理，必必存存在在

7、mM第9页/共18页10,)(Mxfm,max0mMAAM 取取),(x故故,)(0Mxf必有必有）上有界。）上有界。，在（在（即即)(xf第10页/共18页11例4例4,0),(),()(iitbaxbaxf内连续，内连续，在在设设), 2 , 1(ni）（试证至少存在一点试证至少存在一点且且batnii, 11 ).()()()(2211nnxftxftxftf 使使证明证明,min1knkxx记记,max1knkxx 内内连连续续，在在由由),()(baxf上连续，上连续，在在得得,)(xxxf 有有使使故存在故存在,xxxmM ,)(Mxfm), 2 , 1(0,nitxxxii 由于

8、由于,)(MMtxftmtmniiiniinii111所以所以第11页/共18页12),(,baxx 从从而而，至至少少存存在在一一点点).()()()(2211nnxftxftxftf 使使第12页/共18页13三、小结四个定理有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.注意注意1闭区间； 2连续函数这两点不满足上述定理不一定成立解题思路1.1.直接法直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.2.辅助函数法辅助函数法: :先作辅助函数F(x),再利用零点定理;第13页/共18页14作业作业73101P习题73P总习题一.,),(,),(1210963284423. 4, 2, 1第14

9、页/共18页15思考题思考题下述命题是否正确？ 如如果果)(xf在在,ba上上有有定定义义，在在),(ba内内连连续续，且且0)()( bfaf，那那么么)(xf在在),(ba内内必必有有零零点点.第15页/共18页16思考题解答不正确.例函数 0, 210,)(xxexf)(xf在在)1 , 0(内连续内连续,. 02)1()0( ef但但)(xf在在)1 , 0(内内无无零零点点.第16页/共18页17一、一、 证明方程证明方程bxax sin，其中，其中0,0 ba，至，至少有一个正根，并且它不超过少有一个正根，并且它不超过ba . .二、二、 若若)(xf在在,ba上连续，上连续，bxxxan 21 则在则在,1nxx上必有上必有 ，使，使 nxfxfxfxfn)(.