第一换元积分法PPT课件

1、 dxxx21.3例例 )1(12122xdxcx23213221.131232cx dxxx41.4例例 )(112124xdx.arctan212cx dxxx2ln.5例例 )ln(ln2xdx.ln313cx xdxxcossin.63例例xdxsinsin3 .sin414cx 第1页/共21页:凑微分凑微分常用的常用的)(baxdadx1)()()(baxdabxdxdxdx222212121)()()(baxdakxdkdxxkkk111111)ln()ln()(lnxbadbxadxddxx11)()(bededdxexxx)(sin)(sincosbxdxddxx)(cos)

2、(cossinbxdxddxx2211xdxdxx,以上方法不必硬背以上方法不必硬背!而在于熟练运用而在于熟练运用第2页/共21页课堂练习课堂练习321. 12;2. ;3. 3;xexxxdxedxx edx)21 (2121. 1xdx原dxeexex原. 2)(xeedex)(. 333xdex原第3页/共21页122324. ;5. cos;6. sincos;xadxxxdxxxdx)1(. 41xdax原dxx22cos1. 5原)(coscossin. 622xxdx原)(coscos)cos1 (22xxdx 第4页/共21页例例8. 求求.dsec6xx解解: 原式原式 =x

3、dxx222sec) 1(tanxtandxxxtand) 1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC.dsecsec24xxx第5页/共21页2(1) sin xdx1cos22xdx解原式1cos22dxxdx11cos2(2 )24dxxdx11sin224xxC例例9 求三角函数的不定积分求三角函数的不定积分3(2) sin xdx2sincosxdxx 解 原式2(cos1) cosxdx31coscos.3xxc第6页/共21页当当n n为偶数时应先降次后再积分；为偶数时应先降次后再积分；2(3) sincosxxdx231sinsinsin3xdxxC 解解原原

4、式式结论结论: : 一般地一般地, , 对形如对形如sin, cosnnxdxxdx这样的不定积分这样的不定积分: :当当n n为奇数时应先凑微分再积分；为奇数时应先凑微分再积分；第7页/共21页(4) sinsinmxnxdx1cos()cos() 2mn xmn x dx 解解原原式式对形如这样的不定积分应先对形如这样的不定积分应先积化和差积化和差后再积分后再积分. .sin()sin()2()2()mn xmn xCmnmn第8页/共21页 dxxa221.10例例 axdaaxa211.arcsincax dxxa221.11例例axdaaxa2211.arctancaxa1.11,1

5、0加入基本积分表加入基本积分表例例例例第9页/共21页 84.122xxxd例例4222)()(xxd.2)2(arctan2110cx 例例.,的的适当的函数运算是必要适当的函数运算是必要在积分过程中在积分过程中 dxxtan.13例例dxxxcossinxxdcoscos)(.cosln新公式新公式cx )(.sinlncot新公式新公式cxdxx .,可用微分法检验可用微分法检验积分是否正确积分是否正确第10页/共21页 22.14axdx例例dxaxaxa1121dxaxdxaxa1121caxaxalnln21)(.ln21新公式新公式caxaxa 22xadx22axdx)(.ln

6、21新公式新公式caxaxa 第11页/共21页xdxxcossin1dxxxtansec2xxdtantan.tanlncx dxxcsc.16例例dxxsin1 2221xdxxcossin15例例 .15例例.cotcscsincoscossinsintanxxxxxxxx12222222.tanlncx2.cotcsclncsccxxdxx)(新公式新公式dxxsec xdx22 csccxx22 cotcscln.tanseclncxx)(新公式新公式第12页/共21页.cotcsclncsccxxdxx)(新公式新公式dxxsec.tanseclncxxdxxxxxx tansec

7、)tan(secsec xxdxxxxtansec)tansec(sec2 xxxxdtansec)tan(sec第13页/共21页例例17. .1dxex解法解法1xex1dxeeexxxd1)1 (xdxxee1)1 (dxCex)1ln(解法解法2 xex1dxeexxd1xxee1)1 (dCex)1ln()1(ln)1ln(xxxeee两法结果一样两法结果一样第14页/共21页 dxxx12321.18例例dxxxxxxx123212321232dxxx41232dxxdxx12413241)()(121281323281xdxxdx.cxx331212132121第15页/共21页

8、 dxxcos11.19例例dxxx211coscosdxxxx221sincossindxxxxcotcsccsc2.csccotcxx dxxx2arcsin41.202例例dxxx24121arcsindxxa221)(arcsin公式公式cax 221xdxarcsinarcsin.arcsinlncx2 22cos2cos1:xdxxdx另解另解.sec222 xxd第16页/共21页. )(,cos)(sin.2122xfxxf求求设设例例 ,sin.2xu 记记解解.1)(:uuf 代入上式得代入上式得uduuf)()(1.cuu22.)(cxxxf22第17页/共21页例例22

9、 求求.)1(arctandxxxx 解解.)(1arctan22xdxx原.1arctan22duuuxu 令)(arctanarctan2uduCu2arctanCx2arctan第18页/共21页)203P(:补充的积分公式补充的积分公式.coslntan.cxdxx16.tanseclnsec.cxxdxx18.cotcsclncsc.cxxdxx19.arcsin.caxxadx2220.ln.caxaxaaxdx212222见下一节见下一节 .ln.242222caxxaxxd.ln.cxaxaaxadx212322.arctan.caxaxadx12122.sinlncot.cxdxx17第19页/共21页思考与练习思考与练习1. 下列各题求积方法有何不同下列各题求积方