曹玮统计学第_6_章假设检验

1、第第6 6章章 假设检验假设检验假设检验在统计方法中的地位假设检验在统计方法中的地位统计方法统计方法描述统计描述统计推断统计推断统计参数估计参数估计假设检验假设检验学习学习内容内容6.1 6.1 假设检验的基本问题假设检验的基本问题 6.2 6.2 一个总体参数的检验一个总体参数的检验6.3 6.3 非参数检验非参数检验6.1 6.1 假设检验的基本问题假设检验的基本问题6.1.1 6.1.1 假设的陈述假设的陈述6.1.2 6.1.2 两类错误与显著性水平两类错误与显著性水平6.1.3 6.1.3 统计量与拒绝域统计量与拒绝域6.1.4 6.1.4 利用利用P P值进行决策值进行决策假设的陈

2、述假设的陈述什么是假设什么是假设? ?(hypothesis)(hypothesis) 对总体参数的具体数值所作的陈述 总体参数包括总体总体均值均值、比例比例、方差方差等 分析之前之前必须陈述什么是假设检验什么是假设检验? ? (hypothesis test) (hypothesis test)1.1. 先对总体的参数先对总体的参数( (或分布形式或分布形式) )提出某种假提出某种假设，然后利用样本信息判断假设是否成立设，然后利用样本信息判断假设是否成立的过程的过程2.2. 有参数检验和有参数检验和非非参数检验参数检验3.3. 逻辑上运用反证法，统计上依据小概率原逻辑上运用反证法，统计上依据

3、小概率原理理假设检验的过程假设检验的过程我认为人口的平我认为人口的平均年龄是均年龄是5050岁岁 拒绝假设拒绝假设 别无选择别无选择! 原假设与备择假设原假设与备择假设原假设原假设(null hypothesis)(null hypothesis)1. 研究者想收集证据予以反对的假设2. 又称“0假设”3. 总是有符号 , 或 4. 表示为 H0H0 ： = 某一数值 指定为符号 =， 或 例如, H0 ： 10cm1.也称也称“研究假设研究假设”2.总是有符号总是有符号 , 或或 3.表示为表示为 H14.研究研究者者想收集证据予以支持的假设想收集证据予以支持的假设H1 ： 某一数值，或某一

4、数值，或 某一数值某一数值例如例如, H1 ： ”或或“”的假设检验，称为单侧检验或的假设检验，称为单侧检验或单尾检验单尾检验(one-tailed test)(one-tailed test) 备择假设的方向为备择假设的方向为“ ”，称为，称为右侧检右侧检验验 双侧检验与单侧检验双侧检验与单侧检验 ( (假设的形式假设的形式) )假设假设双侧检验双侧检验单侧检验单侧检验左侧检验左侧检验右侧检验右侧检验原假设原假设H0 : : = 0 0H0 : : 0 0H0 : : 0 0备择假设备择假设H1 : : 0 0H1 : : 0 0两类错误与显著性水平两类错误与显著性水平假设检验中的两类错误假

5、设检验中的两类错误 1.第第类错误类错误( (弃真错误弃真错误) ) 原假设为正确时拒绝原假设 第类错误的概率记为 被称为显著性水平 2.第第类错误类错误( (取伪错误取伪错误) ) 原假设为错误时未拒绝原假设 第类错误的概率记为 (Beta)H0 检验检验决策决策实际情况实际情况H0为真为真H0为假为假未拒绝未拒绝H0正确决策正确决策(1 )第第类错误类错误( )拒绝拒绝H0第第类错误类错误( )正确决策正确决策(1-1- )两类错误的关系 不一定等于1 在其他条件不变的情况下， 和不可能同时减小或增大 统计检验力（1 ） 错误和 错误的关系你不能同时减你不能同时减少两类错误少两类错误! 在

6、实际的统计推断中，通常只考虑控制犯第一类错误的概率。 增加样本量时，可以同时减少犯两种错误的概率。假设检验中的小概率原理假设检验中的小概率原理 什么小概率？什么小概率？ 1. 在一次试验中，一个几乎不可能发生的事件发生的概率 2. 在一次试验中小概率事件一旦发生，我们就有理由拒绝原假设 3. 小概率由研究者事先确定统计量与拒绝域统计量与拒绝域1.根据样本观测结果计算得到的，并据以对原根据样本观测结果计算得到的，并据以对原假设和备择假设作出决策的某个样本统计量假设和备择假设作出决策的某个样本统计量2.对样本估计量的标准化结果对样本估计量的标准化结果原假设H0为真点估计量的抽样分布 显著性水平和拒

7、绝域显著性水平和拒绝域( (双侧检验双侧检验 ) ) /2 显著性水平和拒绝域显著性水平和拒绝域( (双侧检验双侧检验 ) ) 显著性水平和拒绝域显著性水平和拒绝域( (双侧检验双侧检验 ) ) 显著性水平和拒绝域显著性水平和拒绝域( (双侧检验双侧检验 ) ) 显著性水平和拒绝域显著性水平和拒绝域( (单侧检验单侧检验 ) )显著性水平和拒绝域显著性水平和拒绝域( (左侧检验左侧检验 ) )显著性水平和拒绝域显著性水平和拒绝域( (左侧检验左侧检验 ) )显著性水平和拒绝域显著性水平和拒绝域( (右侧检验右侧检验 ) )显著性水平和拒绝域显著性水平和拒绝域( (右侧检验右侧检验 ) )决策规

8、则决策规则1.给定显著性水平给定显著性水平 ，查表得出相应的临界值查表得出相应的临界值z 或或z /2 /2， t 或或t /2 /22.将检验统计量的值与将检验统计量的值与 水平的临界值进行比较水平的临界值进行比较3.作出决策作出决策双侧检验：|统计量| 临界值，拒绝H0左侧检验：统计量 临界值，拒绝H0什么是什么是P P 值值? ? ( (P P-value)-value)1.如果原假设为真，所得到的样本结果会像实际观测结果那么极端或更极端的概率P值告诉我们：值告诉我们：如果原假设是正确的话，我们得到目前这个样本数据或更极端结果出现的概率。如果这个可能性很小，就应该拒绝原假设 2.被称为观

9、察到的(或实测的)显著性水平3.决策规则：若p值, 拒绝 H0双侧检验的双侧检验的P P 值值左侧检验的左侧检验的P P 值值右侧检验的右侧检验的P P 值值原假设的可信度有多高？原假设的可信度有多高？如果H0所代表的假设是人们多年来一直相信的，就需要很强的证据(小的P值)才能说服他们1.有了P值，我们并不需要用5%或1%这类传统的显著性水平。P值提供了更多的信息，它让我们可以选择任意水平来评估结果是否具有统计上的显著性，从而可根据我们的需要来决定是否要拒绝原假设只要你认为这么大的P值就算是显著了，你就可以在这样的P值水平上拒绝原假设2.传统的显著性水平，如1%、5%、10%等等，已经被人们普

10、遍接受为“拒绝原假设足够证据”的标准，我们大概可以说：10%代表有“一些证据一些证据”不利于原假设；5%代表有“适度证据适度证据”不利于原假设；1%代表有“很强证据很强证据”不利于原假设6.2 6.2 一个总体参数的检验一个总体参数的检验6.2.1 6.2.1 总体均值的检验总体均值的检验6.2.2 6.2.2 总体成数的检验总体成数的检验6.2.3 6.2.3 总体方差的检验总体方差的检验一个总体参数的检验一个总体参数的检验z 检验检验(单尾和双尾单尾和双尾) t 检验检验(单尾和双尾单尾和双尾)z 检验检验(单尾和双尾单尾和双尾) 2 2 检验检验(单尾和双尾单尾和双尾)均值均值总体参数总

11、体参数比例比例方差方差总体总体均值的检验均值的检验总体均值的检验总体均值的检验( (作出判断作出判断) ) 是否已是否已知知样本容量样本容量n 是否已是否已知知 t 检验检验z 检验检验z 检验检验 z 检验检验总体总体均值的检验均值的检验( (大样本大样本) )总体均值的检验总体均值的检验 ( (大样本大样本) )1.1.假定条件假定条件正态总体或非正态总体大样本(n30)2. 2. 使用使用z z检验统计量检验统计量 2 已知： 2 未知：总体均值的检验总体均值的检验( ( 2 已知已知) )( (例题分析例题分析) )【例】一种罐装饮料采用自动生产【例】一种罐装饮料采用自动生产线生产，每

12、罐的容量是线生产，每罐的容量是255ml255ml，标准差为标准差为5ml5ml。为检验每罐容量是。为检验每罐容量是否符合要求，质检人员在某天生否符合要求，质检人员在某天生产的饮料中随机抽取了产的饮料中随机抽取了4040罐进行罐进行检 验 ， 测 得 每 罐 平 均 容 量 为检 验 ， 测 得 每 罐 平 均 容 量 为255.8ml255.8ml。取显著性水平。取显著性水平 =0.05 =0.05 ，检验该天生产的饮料容量是否符检验该天生产的饮料容量是否符合标准要求？合标准要求？总体均值的检验总体均值的检验( ( 2 2 已知已知) )( (例题分析例题分析) ) H0 ： = 255 H

13、1 ： 255 = 0.05 n = 40 临界值临界值(c):总体均值的检验总体均值的检验( ( 2 未知未知) )( (例题分析例题分析) )【例】【例】一种机床加工的零件尺寸绝对平均误差为1.35mm。生产厂家现采用一种新的机床进行加工以期进一步降低误差。为检验新机床加工的零件平均误差与旧机床相比是否有显著降低，从某天生产的零件中随机抽取50个进行检验。利用这些样本数据，检验新机床加工的零件尺寸的平均误差与旧机床相 比 是 否 有 显 著 降 低 ？ (=0.01) 50个零件尺寸的误差数据个零件尺寸的误差数据 (mm)1.261.191.310.971.811.130.961.061.

14、000.940.981.101.121.031.161.121.120.951.021.131.230.741.500.500.590.991.451.241.012.031.981.970.911.221.061.111.541.081.101.641.702.371.381.601.261.171.121.230.820.86总体均值的检验总体均值的检验( ( 2 未知未知) )( (例题分析例题分析) ) H0 ： 1.35 H1 ： 5200 = 0.05 n = 36 临界值临界值(c):总体均值的检验总体均值的检验( (z z检验检验) ) ( (P P 值的图示值的图示) )总体

15、均值的检验总体均值的检验 ( (大大样本检验方法的总结样本检验方法的总结) )假设假设双侧检验双侧检验左侧检验左侧检验右侧检验右侧检验假设形式假设形式H0 ： =0H1 ： 0H0 ： 0H1 ： 0统计量统计量 已知 未知拒绝域拒绝域P值决策值决策拒绝H00 xzn0 xzsn2/zz zzzzP总体总体均值的检验均值的检验( (小样本小样本) )总体均值的检验总体均值的检验 ( (小样本小样本) )1.1. 假定条件假定条件总体服从正态分布小样本(n 30)2.2.检验统计量检验统计量 2 已知： 2 未知：总体均值的检验总体均值的检验 ( (小小样本检验方法的总结样本检验方法的总结) )

16、假设假设双侧检验双侧检验左侧检验左侧检验右侧检验右侧检验假设形式假设形式H0 ： =0H1 ： 0H0 ： 0H1 ： 0统计量统计量 已知 未知拒绝域拒绝域P值决策值决策拒绝H0nxz0nsxt0) 1(2/ntt) 1( ntt) 1( nttP总体均值的检验总体均值的检验 ( (例题分析例题分析) )【例】一种汽车配件的平均长度要求为【例】一种汽车配件的平均长度要求为12cm12cm，高于或，高于或低于该标准均被认为是不合格的。汽车生产企业在低于该标准均被认为是不合格的。汽车生产企业在购进配件时，通常是经过招标，然后对中标的配件购进配件时，通常是经过招标，然后对中标的配件提供商提供的样品

17、进行检验，以决定是否购进。现提供商提供的样品进行检验，以决定是否购进。现对一个配件提供商提供的对一个配件提供商提供的1010个样本进行了检验。假个样本进行了检验。假定该供货商生产的配件长度服从正态分布，在定该供货商生产的配件长度服从正态分布，在0.050.05的显著性水平下，检验该供货商提供的配件是否符的显著性水平下，检验该供货商提供的配件是否符合要求？合要求？ 10个零件尺寸的长度个零件尺寸的长度 (cm)12.210.812.011.811.912.411.312.212.012.3总体均值的检验总体均值的检验 ( (例题分析例题分析) ) H0 ： =12 H1 ： 12 = 0.05

18、df = 10 - 1= 9 临界值临界值(c):总体成数的检验总体成数的检验总体比例检验总体比例检验1.假定条件假定条件总体服从二项分布可用正态分布来近似(大样本)2.2. 检验的检验的 z z 统计量统计量总体比例的检验总体比例的检验 ( (检验方法的总结检验方法的总结) )假设假设双侧检验双侧检验左侧检验左侧检验右侧检验右侧检验假设形式假设形式H0： p = p0H1： p p 0H0 ： p p 0H1 ： p p 0统计量统计量拒绝域拒绝域P值决策值决策拒绝H0P2/zz 000(1) /Ppzppnzzzz总体比例的检验总体比例的检验 ( (例题分析例题分析) ) 【例】一种以休闲

19、和娱乐为主题的杂志，声称其读者群中有80%为女性。为验证这一说法是否属实，某研究部门抽取了由200人组成的一个随机样本，发现有146个女性经常阅读该杂 志 。 分 别 取 显 著 性 水 平 =0.05和=0.01 ，检验该杂志读者群中女性的比例是否为80%？它们的P值各是多少？总体比例的检验总体比例的检验 ( (例题分析例题分析) ) H0 ：p = 80% H1 ：p 80% = 0.05 n = 200 临界值临界值(c):总体比例的检验总体比例的检验 ( (例题分析例题分析) ) H0 ： = 80% H1 ： 80% = 0.01 n = 200 临界值临界值(c):总体方差的检验总

20、体方差的检验( 2 检验检验)总体方差的检验总体方差的检验 ( ( 2检验检验) ) 1.检验一个总体的方差或标准差检验一个总体的方差或标准差2.假设总体近似服从正态分布假设总体近似服从正态分布3.使用使用 2分布分布4.检验统计量检验统计量总体方差的检验总体方差的检验 ( (检验方法的总结检验方法的总结) )假设假设双侧检验双侧检验左侧检验左侧检验右侧检验右侧检验假设形式假设形式H0 ： 2= 02H1： 2 0H0 ： 2 02 H1 ： 2 02统计量统计量拒绝域拒绝域P值决策值决策 拒绝H0P2022) 1(sn ) 1(2212n) 1(222n22(1)n221(1)n总体方差的检

21、验总体方差的检验( (例题分析例题分析) ) 【例】啤酒生产企业采用自动生产线灌【例】啤酒生产企业采用自动生产线灌装啤酒，每瓶的装填量为装啤酒，每瓶的装填量为640ml640ml，但由于，但由于受某些不可控因素的影响，每瓶的装填受某些不可控因素的影响，每瓶的装填量会有差异。此时，不仅每瓶的平均装量会有差异。此时，不仅每瓶的平均装填量很重要，装填量的方差同样很重要。填量很重要，装填量的方差同样很重要。如果方差很大，会出现装填量太多或太如果方差很大，会出现装填量太多或太少的情况，这样要么生产企业不划算，少的情况，这样要么生产企业不划算，要么消费者不满意。假定生产标准规定要么消费者不满意。假定生产标

22、准规定每瓶装填量的标准差不应超过和不应低每瓶装填量的标准差不应超过和不应低于于4ml4ml。企业质检部门抽取了。企业质检部门抽取了1010瓶啤酒进瓶啤酒进行检验，得到的样本标准差为行检验，得到的样本标准差为s s=3.8ml=3.8ml。试以试以0.100.10的显著性水平检验装填量的标的显著性水平检验装填量的标准差是否符合要求？准差是否符合要求？BEERBEERBEERBEERBEER总体方差的检验总体方差的检验( (例题分析例题分析) ) H0 ： 2 = 42 H1 ： 2 42 = 0.10 df = 10 - 1 = 9 临界值临界值(s):1.定义：它泛指参数假设检验以外的各种检验

23、。2.特点:(1)非参数检验不依赖于总体分布。(2)非参数假设检验适用于较低的计量水平，如等级、顺序的计量等。 (3)常常用于参数以外的检验，如随机变量是否服从某种规律、某种分布的拟合优度检验，数据是否随机的游程检验等。第三节第三节 非参数检验非参数检验1.如何探讨数据规律2总体分布的检验 显示数据规律性的方法：频数分布表，能否了解数据来自某一分布或与某一理论分布相一致的程度如何？2-检 验卡方检验的假设为：抽样数据来自于一个特殊的分布（如正态分布）0H：抽样数据不是来自于这个特殊的分布1H2.利用 进行检验的步骤：2,(1,2,)iuim1 先将观测到的数据分类，假设分成m区间，每个区间中的

24、频数为 2 按照理论分布， 各类的频数应为(1,2,)iienP im：根据理论分布，观测发生在第i类的概率。iP第三步：计算统计量221()miiiiuee 如果理论分布的参数是预先给定的（已知的），则 统计量服从自由度为m-1的 分布。若理论分布的参数是未知的，需要用样本观测值来估计时， 统计量服从自由度为m-r-1的 分布，其中r为需要估计的参数的个数。222222a第四步：根据显著性水平a查 分布表求相应的 临界值22a 时，拒绝原假设，说明样本观测并非来自该理论分布。【例】某百货公司的电器部下半年各月洗衣机 的销售数量如下： 该电器部经理想了解洗衣机的销售数量是否在各月是均匀分布的，

25、也就是说各月中销售数量的差别可以归结为随机原因，这样可以为以后的进货提供依据。要求以a=0.05 的显著性水平进行检验。解：本例中的观测值以月为组，共分为m=6组，每 月的销售台数即为观测的频数 ，观测的总次数为n=150。现欲检验是否服从（离散的）均匀分布，即每月的销售量是否为iv15025(),6iienP台1,1,66iPi为此，设0H1H：洗衣机销售量服从均匀分布；：并不服从均匀分布；计算 统计量的值：22621222222()(2725)(1825)(1525)(2425)25252525(3625)(3025)122525iiiiuee ，说明下半年各月销售量与均匀分布有差别，这些

26、差别尚不能完全归结为随机原因。0H所以拒绝 在本例的情况下， 统计量的自由度为m-1=6-1=5。20.05(5)11.072,1211.07由于2符号检验(最简单的检验） 该方法是建立在以正、负号表示样本数据与假设参数值差异关系基础上的，因此称之为符号检验。(一)中位数的符号检验 中位数检验 : ： =A 样本每个数据都减去A，只记录其差数的符号。n+与n-分别是正、负符号的个数，当原假设为真是时 ，n+与n-应该很接近；若两者相差太远，就有理由拒绝原假设。 0HeM 例：设有20个工人，他们一天生产的产品件数，抽样结果如下： 168，163，160，172，162，168，152，153，

27、167，165，164，142，173，166，160，165，171，186，167，170。 试以=0.10的检验水平，判定总体中位数是否是160。 解：第一步：作出假设。 ： =160， ： 160 由备选假设知，这个检验是双侧的。 第二步：计数。 对样本数据，大于160的记下“+”，小于160的记下“-”，等于160的，予以剔除(以0记之)，结果如下： + + 0 + + + - - + + + - + + 0 + + + + + 计数以上“+”的个数是n+=15,“-”的个数n-=3，剔除数据2个。最后有效的样本个数为 n=n+n-=18 。0HeM1HeM 第三步：确定拒绝域。 显

28、著水平= 0.10，由于进行双侧检验，拒绝域分布在两边，每侧概率/2=0.05，查二项分布临界值表，得到拒绝域的临界值是13。 第四步：选择n+、n-较大者，再与临界值比较。 结果是1513。 第五步：判断。 由于上一步的比较结果可知，样本落入拒绝域，所以拒绝原假设，认为样本数据不能证明总体中位数等于160件。n = 6、p = 0.5时的二项分布以及正态近似 (二)两总体一致性的符号检验 设从两个总体中分别抽出一个容量相等的样本，然后将两样本的数据进行一一配对，得到一组配对值。再将各对配对值相减，记录下差数的符号，计算出“+”的个数n+与“-”的个数n-。如果两个样本的总体差异不显著，配对值

29、之差的正负号出现的概率各是1/2，则n+与n-应当非常接近；如果n+、n-相差太大的话，说明两总体存在显著差异。例子见书上的。 三、秩和检验 秩和检验也称Wilcoxon-Man-Whitney检验。该检验方法可用于检验两个独立的样本是否来自同一个总体，或判断总体间是否存在显著性的差异。它和符号检验最主要的区别是，符号检验只考虑样本间差数的符号，而秩和检验还要考虑差数的顺序，比符号检验利用数据信息更加充分，因此，检验功效就更强。 秩和检验原理：1、设分别从两个未知的总体独立、随机地抽取容量为n1和n2的样本，把样本容量较小的总体称为总体。如果两样本容量相等，就把任意一个总体称作总体，另一个总体

30、称作总体，这里不妨设n1n2。2、现将两个样本混合起来，并按数据的大小，从小到大排列编号，每个数值的编号就是它的秩次。如果混合样本中有若干个相同的数值，则把它们的秩次进行简单算术平均，用此平均值作为这些数值的秩次，计算来自总体的n1个数据在混合样本中的秩次之和，记为T。3、显然T最小的可能值是: T1=1+2+3+n1=n1(n1+1)/2 ； 最大的可能值是 T2=(n2+1)+(n2+2)+(n2+n1)=n1(n2+1)+(n2+n1)/2。 如果两个总体分布无显著差异，则T值不应太大或太小，等于中间值(T1+T2)/2；如果总体分布于总体的右边，T将接近其最大值T2；如果总体位于总体的

31、左边，T将接近于它的最小值T1。因此，我们可以用秩和T作为检验的统计量。4、第一种方法，当n1和n2都不超过10时，查“秩和检验表”确定临界值； 第二种方法，当n1和n2都超过10时，秩和T服从正态分布： 先对T进行标准化变换，再利用标准正态分布表，确定检验的临界值。 11212121 / 2,1 /12TN nnnn nnn 练习：有A、B两家厂商供应同一种商品，两家商品价格与性能一致，但使用寿命是否一致有待检验。今分别从两家生产产品中抽出样本，测定产品使用寿命(见下表，单位：小时)： 试以0.05的显著性水平，检验两厂商产品寿命是否有差异？ 解：第一步：作出假设。 H0：MA=MB，H1：

32、 原假设是两厂商生产的产品没有差异，平均寿命相同，备选假设是平均寿命不相同，是双侧检验。ABMM 第二步：求秩和。 将样本混合、排列： 以上数据下面划横线的为B厂商产品寿命。B厂商产品样本容量小，看做总体，n1=5。A厂商产品是总体，n2=6。总体的秩和 T=2.5+4.5+6.5+6.5+9.5=29.5。 第三步：确定拒绝域。 显著水平=0.05，进行双侧检验，查“秩和检验表”，n1=5，n2=6，得临界值T1()=20，T2( )=40。 第四步：比较秩和与临界值大小。 结果是：2029.540，即 T1() T T2( ) 。 第五步：判断。 样本落入接受域，所以接受原假设，样本数据证明A、B两厂商产品的寿命也是一致的。 游程检验亦称连贯检验或串检验，是一种随机性检验方法，应用范围很广。例如：奖劵的购买是否随机，期货价格的变换是否随机，一个机械流程中产品误差的出现是否存在规律等等。若事件的发生并非随机，而是有规律可循，则可作出相应的对策。四、四、 游程检验游程检验 关于随机