巧解变动中的三力平衡问题

1、巧解变动中的三力平衡问题在中学阶段，力的平衡问题，多为三力平衡，按平衡条件，合力必为零，将三力首尾相联即围成一封闭三角形。一般来说，只要所给条件能满足解这个三角形的条件（如已知两边夹一角或两角夹一边）就能按解三角形的方法解出这力三角形中要求的物理量。常遇到一类变动中的三力平衡问题。一般是其中一个力大小和方向确定；另一个力的方向确定，大小可变；第三个力大小和方向均变化。要依据所给条件，确定后两力的变化规律。为了帮助学生们很好地理解，采用力三角形来解答，现举几例如下：例题1一个光滑的圆球搁在光滑的斜面和竖直的档板之间（图1），斜面和档板对圆球的弹力随斜面倾角变化而变化的范围是：a斜面弹力n1变化范

2、围是（mg，）b斜面弹力n1变化范围是（0，）c档板的弹力n2变化范围是（0， +）d档板的弹力n2变化范围是（mg， ）答：a、c解：圆球受三个力，其中重力的大小和方向均为确定的，档板对圆球的弹力n2的方向始终是水平的，亦为确定的。而斜面对圆球的作用力的大小和方向均在变化中，但不论如何变动，只要取一个确定的值，圆球就在三力作用下处于平衡状态，则此三力就组成一个封闭的三角形，如图2所示：由于090°，所以mgn1，0n2解出。例题2如图3所示,用两根绳子系住一重物,绳oa与天花板夹角不变,且45°,当用手拉住绳ob，使绳ob由水平慢慢转向ob过程中，ob绳所受拉力将a始终减

3、少 b始终增大c先增大后减少 d先减少后增大答：d解：重物受三个力，其中重力大小方向确定，oa方向不变，ob绳受力的大小方向变化。在变化过程中，重物所受三力平衡，可组成一个封闭三角形，现图示如下：从图中可很直观地得出结论。由于45°,+=90°所以45°,此时tob取得最小值。例题3如图4所示，一重球用细线悬于o点，一光滑斜面将重球支持于a点，现将斜面沿水平面向右慢慢移动，那么细线对重球的拉力t及斜面对重球的支持力n的变化情况是：at逐渐增大，n逐渐减小；bt逐渐减小，n逐渐增大；ct先变小后变大，n逐渐减小；dt逐渐增大，n先变大后变小。答：c解：重球受三个力：

4、重力的大小及方向均为确定，在重球由a运动到b的过程中，每一个位置上三力均围成一个封闭的三角形（图5）由于物体在水平面上滑动，则f=n，将f和n合成，得到合力f，由图知f与f的夹角：不管拉力t方向如何变化，f与水平方向的夹角不变，即f为一个方向不发生改变的变力这显然属于三力平衡中的动态平衡问题，由前面讨论知，当t与f互相垂直时，t有最小值，即当拉力与水平方向的夹角=90°-arc ctg=arctg时，使物体做匀速运动的拉力t最小例7、一质量为50kg的均匀圆柱体，放在台阶旁，台阶高度（r为柱体半径）。柱体最上方a处施一最小的力f，使柱体刚能开始以p轴向台阶上滚，求此最小力析：圆柱体不

5、能看作质点，选其为研究对象，分析其受力如图13（a）所示先将圆柱体在p点所受的支持力n和静摩擦力f合成，得到合力q，则圆柱体受mg、q、f三个力作用，这三个力必为共点力，且q、f二力的合力为定值，如图13（b）所示，显然当f与q垂直时，f有最小值，由题给条件知， oap=30°，则：fmin=t·sin30°=mg·sin30°=250n由以上两例可以发现，将多力问题转化为三力问题时，常先将同一接触面上的弹力和摩擦力合成，在求解时用的较多的分析思路是三力的动态平衡问题的分析思路，请读者再进一步加以体会（2）利用正交分解法分析求解当受力较多时，利

6、用合成法需要几次合成才能得出结论，分析起来较繁琐最常见的多力平衡问题就是直接建立正交坐标系，在分析物体受力后，利用正交分析法求解例8、如图14为一遵从胡克定律的弹性轻绳，其一端固定于天花板上的o点，另一端与静止在动摩擦因数恒定的水平地面上的滑块a相连当绳处在竖直位置时，滑块a对地面有压力作用b为紧挨绳的一光滑水平小钉，它到天花板的距离bo等于弹性绳的自然长度现用一水平力f作用于a，使它向右作直线运动在运动过程中，作用于a的摩擦力a、逐渐增大 b、逐渐减小c、保持不变 d、条件不足，无法判断析：取物体a为研究对象，分析a受力如图15，并沿水平和竖直方向建立正交坐标系 由于物体向右做直线运动，则y

7、轴方向上受力平衡，即：t·sinn=mg依题意，绳的拉力t=kx，x为弹性绳的形变量，则地面对物体的支持力与a物体在b正下方时地面对物体的支持力相同也就是说，在物体向右运动过程中，地面对物体的支持力不变，由滑动摩擦力公式知，正确答案为c解决物理问题的关键在于有正确的分析思路和解题步骤上面我们虽然分成几种情况来讨论平衡问题，但不难发现，突破障碍后，其解题的思路和步骤是完全一样的这就要求我们，在学习物理的平衡知识时，首先要建立一个解题的基本模式，即解题基本步骤及几种常见题型的特点，则无论在何处遇到此类问题，都能够迅速唤起基本模式，通过原型启发，迅速重视相关知识，从而顺利地解决问题解平衡问

8、题是这样，解决其它问题也是这样，如果我们坚持这样去做，就会达到会学、要学、乐学的高境界静力学中四类极值问题的求解最（大或小）值问题是中学物理习题中常见的题型之一，这类题型渗透在中学物理的各个部分，技巧性强，解法颇多。深入探究最值问题的解答，能有效地提高运用数学知识解决问题的能力，培养灵活性和敏捷性。1不等式法：例1 无限长直电杆立于地面，与地面之间的摩擦力足够大。如图1示，用长为l的绳拉电杆，若所用拉力t恒定时，绳栓在电线杆的何处最容易拉倒？分析与解：设绳线栓在离地h高处，则拉力t的力矩最大时，最容易拉倒电杆，如图1，cos=h/l，则t的力矩观察此式，t、l一定，因h2+（l2-h2）=l2

9、是一常数，故当h2=l2-h2评点：解此类问题，首先根据力的平衡列出方程，然后观察方程特征，发掘其隐含条件，若a0，b0,ab=常数,则当a=b时，ab积最大。这里运用了不等式的一个重要性质（ab）/22.三角函数法：例2 重量为g的物体在水平而上作匀速运动，设物体与地面之间如图2示。分析与解：物体受共点力作用而平衡，由平衡条件得：水平方向： fcos=n竖直方向： nfsin=g解得 f=g（cossin）为使f最小，只需cossin最大，因为 （cos+sin）=（cossin+cossin）/sin =sin（+）/sin而=ctg-1，故当=30°时，f最小，最小值为fmin

10、=gsing2。评点：求解此类问题的一般思路是先根据物理规律求出待求量的表达式，再根据三角函数的有界性：|sin|1或|cos|1求最值。3极限推理法：例3 如图3，用力f推质量为m的物体，物体与地面间的摩擦因数为，求外力f与水平方向交角最小为多大时，无论外力f多么大均不能使物体前进？分析与解：物体受共点力作用，当不动时必满足：fcos（mgfsin）化简得：f（cso-sin）mg。因为无论f多大，上式均成立，则当f时，不等式也成立，此时取最小值0因此最小角满足方程cos0-sin0=0，tg0=1/，0=arctg1/。评点：此类题通过对关系式的推理分析、=0时f无论多大物体都不能被推动，

11、因而f时所满足的角便是最小值。这是一种极限推理分析的方法。4矢量三角图示法例5 一重为g的光滑球放在倾角为的斜面上，被一挡板pq挡住，q处为固定转轴，如图4示，挡板可以逐渐放平，何时球对挡板的压力最小。分析与解：小球受重力、斜面的支持力和挡板支持力三个共点力作用而平衡。由挡板对球支持力的动态变化，可作力矢量三角形。如图5所示，由图知当挡板逐渐放平的过程中，斜面对球的支持力n1一直逐渐减小，而挡板对球的支持力n2将先减小后增大，故当挡板与斜面垂直时球对挡板压力最小。评点：质点在三个共点力作用下而平衡，各力之间的动态变化的规律，由力矢量三角形可直观地作出判断。这是处理此类平衡问题常用的一种方法。共

12、点力作用下物体的平衡典型例题例1质量为m的物体，用水平细绳ab拉住，静止在倾角为的固定斜面上，求物体对斜面压力的大小，如图1（甲）。分析 本题主要考察，物体受力分析与平衡条件，物体在斜面上受力如图1乙，以作用点为原点建立直角坐标系，据平衡条件f0，即找准边角关系，列方程求解。解解法一：以物体m为研究对象建立图1乙所示坐标系，由平衡条件得： tcos-mgsin0 （1）n-tsin-mgcoo0 （2）联立式（1）（2）解得 nmgcos据牛顿第三定律可知，物体对斜面压力的大小为nmgcos解法二：以物体为研究对象，建立如图2所示坐标系，据物体受共点力的平衡条件知：ncos-mg=0 nmgc

13、oc同理 n=mgcos说明（1）由上面解法可知：虽然两种情况下建立坐标系的方法不同，但结果相同，因此，如何建立坐标系与解答的结果无关，从两种解法繁简不同，可以得到启示：处理物体受力，巧建坐标系可简化运算，而巧建坐标系的原则是在坐标系上分解的力越少越佳。（2）用正交分解法解共点力平衡时解题步骤：选好研究对象正确受力分析合理巧建坐标系根据平衡条件（3）不管用哪种解法，找准力线之间的角度关系是正确解题的前提，角度一错全盘皆错，这是非常可惜的。（4）由本题我们还可得到共点力作用平衡时的力图特点，题目中物体受重力g，斜面支持n，水平细绳拉力t三个共点力作用而平衡，这三个力必然构成如图3所示的封闭三角形

14、力图。这一点在解物理题时有时很方便。例2如图1所示，挡板ab和竖直墙之间夹有小球，球的质量为m，问当挡板与竖直墙壁之间夹角缓慢增加时，ab板及墙对球压力如何变化。分析本题考察当角连续变化时，小球平衡问题，此题可以用正交分解法。选定某特定状态，然后，通过角变化情况，分析压力变化，我们用上题中第四条结论解答此题。解由图2知，g，n2（挡板对球作用力），n1墙壁对球作用力，构成一个封闭三角形，且封闭三角形在变化，当增加到时，由三角形边角关系知n1，n2。说明 封闭三角形解法对平面共点三力平衡的定性讨论，简捷直观。本题是一种动态变化题目，这种题目在求解时，还可用一种极限法判断，如把ab板与竖直墙壁夹角

15、增到90°时，可知n1=0，过程中n1一直减小，n2=mg，n2也一直在减小。例3如图1所示，用一个三角支架悬挂重物，已知ab杆所受的最大压力为2000n，ac绳所受最大拉力为1000n，=30°，为不使支架断裂，求悬挂物的重力应满足的条件？分析悬绳a点受到竖直向下的拉力fg，这个拉力将压紧水平杆ab并拉引绳索ac，所以应把拉力f沿ab、ca两方向分解，设两分力为f1、f2，画出的平行四边形如图2所示。解由图2可知：因为ab、ac能承受的最大作用力之比为当悬挂物重力增加时，对ac绳的拉力将先达到最大值，所以为不使三角架断裂，计算中应以ac绳中拉力达最大值为依据，即取f2=f

16、2m=1000n，于是得悬挂物的重力应满足的条件为gmf2sin30°500n，说明也可取a点为研究对象，由a点受力，用共点平衡条件求解。a点受三个力：悬挂物的拉力f=g，杆的推力fb，绳的拉力fc，如图4所示。根据共点力平衡条件，由fcsin=g，fccos=fb，即得共点力平衡条件可以适用于多个力同时作用的情况，具有更普遍的意义。例4如图1所示，细绳co与竖直方向成30°角，a、b两物体用跨过滑轮的细绳相连，已知物体b所受到的重力为100n，地面对物体b的支持力为80n，试求（1）物体a所受到的重力；（2）物体b与地面间的摩擦力；（3）细绳co受到的拉力。分析此题是在共

17、点力作用下的物体平衡问题， 据平衡条件fx=0，fy=0，分别取物体b和定滑轮为研究对象，进行受力情况分析，建立方程。解如图2所示，选取直角坐标系。据平衡条件得f-t1sin=0，nt1cos-mbg=0。对于定滑轮的轴心o点有t1sin-t2sin30°=0，t2cos30°-t1cos-mag=0。 因为t1=mag，得=60°，解方程组得（1）t1=40n，物体a所受到的重力为40n；（2）物体b与地面间的摩擦力ft1sin=40sin60°34.6n；（3）细绳co受到的拉力说明在本题中，我们选取定滑轮的轴心为研究对象，并认定t1与mag作用在这

18、点上，即构成共点力，使问题得以简化。例5如图1所示，在质量为1kg的重物上系着一条长30cm的细绳，细绳的另一端连着圆环，圆环套在水平的棒上可以滑动，环与棒间的静摩擦因数为0.75，另有一条细绳，在其一端跨过定滑轮，定滑轮固定在距离圆环0.5m的地方。当细绳的端点挂上重物g，而圆环将要开始滑动时，试问（1）长为30cm的细绳的张力是多少？（2）圆环将要开始滑动时，重物g的质量是多少？（3）角多大？分析选取圆环作为研究对象，分析圆环的受力情况：圆环受到重力、细绳的张力t、杆对圆环的支持力n、摩擦力f的作用。解因为圆环将要开始滑动，所以，可以判定本题是在共点力作用下物体的平衡问题。由牛顿第二定律给

19、出的平衡条件fx=0，fy=0，建立方程有n-tcos=0，n-tsin0。 设想：过o作oa的垂线与杆交于b点，由ao=30cm，tg=， 得bo的长为40cm。在直角三角形中，由三角形的边长条件得ab=50cm，但据题述条件ab=50cm，故b点与滑轮的固定处b点重合，即得=90°。（1）如图2所示选取坐标轴，根据平衡条件有gcos+tsin-mg=0，tcos-gsin=0。解得 t8n，（2）圆环将要滑动时，得mggtctg，mg=0.6kg。（3）前已证明为直角。例6如图1所示，质量为m5kg的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数求当物体做匀速直线运动时，牵引力f的

20、最小值和方向角。分析本题考察物体受力分析：由于求摩擦力f时，n受f制约，而求f最小值，即转化为在物理问题中应用数学方法解决的实际问题。我们可以先通过物体受力分析。据平衡条件，找出f与关系。进一步应用数学知识求解极值。解 作出物体m受力分析如图2，由平衡条件。fx=fcos-n=0 （1）fy=fsin+n-g=0 （2）由 cos（-）=1 即 =0时 =30°，=30°说明 本题中我们应用了数学上极值方法，来求解物理实际问题，这是在高考中考察的一项重要能力。在以后解题中我们还会遇到用如：几何法、三角形法等数学方法解物理问题，所以，在我们学习物理时，逐步渗透数学思想，对解决

21、物理问题是很方便的。但要注意，求解结果和物理事实的统一性。例7如图1，a、b两物体质量相等，b用细绳拉着，绳与倾角的斜面平行。a与b，a与斜面间的动摩擦因数相同，若a沿斜面匀速下滑，求动摩擦因数的值。分析 本题主要考察受力分析及物体平衡条件。选择a为研究对象，分析物体a受力，应用正交分解法。据平衡条件求解。解取a为研究对象，画出a受力如图2，建立如图所示坐标系。据物体平衡条件fx=mgsin-f1-f2=0 （1）fyn1-nb-mgcos=0 （2）其中 f1=n1 （3）f2=nb （4）由b受力知 nbmgcos （5）联立上面式（1）（2）（3）（4）（5）得说明（1）本题在进行受力分

22、析时，要注意a与斜面c的接触力n1和f1，a与物体b的接触力n2和f2，一定注意，n1和n2的取值。（2）本题可以变化为若a沿斜面加速下滑，或沿斜面减速下滑。应满足关系？则加速时 mgsinn1+nb（3）摩擦力公式fn，有时因物体只受水平作用力，f=n=mg，但当物体受力变化以后， n就不一定等于mg了，如图3的两个情形。所以切记：公式一定要写成n。对n求解不要想当然，应据题设进行实际分析而得。【例8】如图1所示，支杆bc一端用铰链固定于b，另一端连接滑轮c，重物p上系一轻绳经c固定于墙上a点。若杆bc、滑轮c及绳子的质量、摩擦均不计，将绳端a点沿墙稍向下移，再使之平衡时，绳的拉力和bc杆受

23、到的压力如何变化？误解一滑轮c点受杆bc的支持力f、绳ac的拉力t和绳cp的拉力q（其中q大小等于g），如图2所示。由平衡条件可得fg·sin， tg·cos当绳的a点下移后，增大，所以f增大，而t减小。误解二滑轮c点受到杆bc支持力f，绳ac的拉力t和绳cp的拉力q（其中q的大小等于g），如图3，t与f的合力与q等值反向。当 a点下移后，t与竖直方向的夹角要增大，滑轮c也要下降，使bc与墙间的夹角增大，但因这两力的合力始终与q等值反向，所以这两个分力均要增大。正确解答滑轮c点受到f、t、q三力作用而平衡，三力组成封闭三角形，如图4，注意到同一条绳上各处张力都相同，则有t=

24、q=g，以杆受到压力增大，而绳子拉力仍不变，大小为g。错因分析与解题指导当不计绳子的质量时，绳子各处张力都相等，两个误解都未认识这个事实。另外，误解一自设t与 f垂直作为讨论依据并将它扩展到一般情况，是毫无道理的。误解二则臆断a点下移时，滑轮c也要下降，bc与墙间的夹角增大，与事实不符。值得一提的是：本题bc杆对滑轮c点的作用力是沿着杆子的，而这是有条件的，仅当bc杆重力不计且只受两个力作用而平衡时，上述结论才成立。1明确研究对象，对它进行受力分析，画出受力图；2根据平衡条件列方程；3统一单位，代入数字、解方程、求答案。由题讲话由题讲话，促使学生积极思维，获得更加全面的知识，加深对物理现象和规

25、律的理解。现举一、二例加以说明。如图1，oa是一根横梁，一端安在轴o上，另一端用钢索ab拉着，在b处安装一小滑轮，可以改变钢索的长度，oboa，在a端挂一重物g。（横梁重不计）试求钢索ba的拉力？学生不感到困难。根据m=0，解得：这时教师向学生发问：若将钢索ba加长（即缓慢下放），钢索的拉力f如何变化？学生根据上面的结果自然会想到，角将逐渐变小，力f必将逐渐增大。当角趋近于零时，f将变得无限大！？f逐渐变大，与感性认识不太相符；无限大，显然不符合实际情况，感到疑惑不解。毛病出在哪里呢？让学生去思索结症在哪里。教师可以启发学生，在缓慢下放的过程中，角变小，但f的力臂也随着变小，（注意表达式lsi

26、n不变），尤其g的力臂也在变小，不再是oa的长，显然图1不能反映一般的情况，应该重新作图分析，如图2。为说明解题的方法是多种的，可以用共点力平衡法去解。根据正弦定理：可见，下放时，角逐渐变小，力f1逐渐变大。这个结果与上面的“一致”。应该指出表达式（2）在形式上与表达式（1）显然不同，但（2）却包括了（1）式的结果。再看，若角趋近零时，力f1又如何？学生自然会得出，f1趋近2g？！又会感到不解。在学生的思维里，应为f1=g或f1=g/2才有理。这时教师可以让学生求一下f2=？计算结果f2=g。又看到在下放的过程中f2却始终不变，也是出乎意料。这两个意外的结果有助于揭开谜底。这时应指出在这个三角架装置中，oa必须是杆，不能用绳来代替，它起着支撑的作用。通过计算已知，在下放的过程中，oa杆的支撑力始终不变，为g。所以当角趋近于零时，力f1将趋近gg=2g。必须指出趋近于零，并不是等于零。若等于零后，那么钢索的拉力f1就是不定的了，已经越过本题所讨论的范围。还可以让学生研究一下逐渐上拉时的变化情况化？此题属共点力平衡问题，一般