第5章_频率法浙江工业大学国家精品课程自动控制原理

1、国国 家家 精精 品品 课课 程程自动控制原理自动控制原理 国家级精品教材：王万良国家级精品教材：王万良, ,自动控制原理自动控制原理, ,高等教育出版社高等教育出版社,2008,2008自动控制原理国家精品课程2自动控制原理自动控制原理国家精品课程网站国家精品课程网站 http:/ 读读 为什么要介绍本章为什么要介绍本章?时域分析法时域分析法是通过求解系统的微分方程来研究和分析系统的。当系统是通过求解系统的微分方程来研究和分析系统的。当系统是是高阶高阶系统时，系统的微分方程的求解是很系统时，系统的微分方程的求解是很困难困难的；另外，系统的时间的；另外，系统的时间响应没有明确反映出系统响应与系

2、统结构、参数之间的关系，一旦系统响应没有明确反映出系统响应与系统结构、参数之间的关系，一旦系统不能满足控制要求，就不能满足控制要求，就很难确定如何去调整系统的结构和参数很难确定如何去调整系统的结构和参数。频率法频率法是经典控制理论中分析和设计系统的主要方法，一定程度上克是经典控制理论中分析和设计系统的主要方法，一定程度上克服了时域分析法的不足。根据频率特性可以直观地分析系统的稳定性。服了时域分析法的不足。根据频率特性可以直观地分析系统的稳定性。系统的频率特性很容易和系统的结构、参数联系起来，因此可以系统的频率特性很容易和系统的结构、参数联系起来，因此可以根据系根据系统频率特性选择系统的结构和参

3、数，使之满足控制要求统频率特性选择系统的结构和参数，使之满足控制要求。系统的。系统的频率特频率特性还可以通过试验的方法测得性还可以通过试验的方法测得，这对于难于直接建立数学模型的系统具，这对于难于直接建立数学模型的系统具有重要的意义。有重要的意义。 自动控制原理国家精品课程4导导 读读本章主要讲什么内容本章主要讲什么内容?本章介绍频率特性的概念，然后着重介绍典型环节的伯德图、本章介绍频率特性的概念，然后着重介绍典型环节的伯德图、绘制控制系统伯德图的方法以及由最小相位系统伯德图确定传绘制控制系统伯德图的方法以及由最小相位系统伯德图确定传递函数的方法。着重介绍绘制控制系统奈氏图的方法以及奈氏递函数

4、的方法。着重介绍绘制控制系统奈氏图的方法以及奈氏稳定判据。介绍了幅值裕度和相角裕度的定义以及在奈氏图和稳定判据。介绍了幅值裕度和相角裕度的定义以及在奈氏图和伯德图上分析控制系统相对稳定性的方法。最后，简单介绍了伯德图上分析控制系统相对稳定性的方法。最后，简单介绍了运用运用MATLAB绘制系统伯德图、奈氏图，并确定系统的相角绘制系统伯德图、奈氏图，并确定系统的相角裕度和幅值裕度的方法。裕度和幅值裕度的方法。自动控制原理国家精品课程5系统模型间的关系系统模型间的关系自动控制原理国家精品课程65.1 频率特性频率特性5.2 典型环节频率特性的伯德图典型环节频率特性的伯德图5.3 控制系统开环频率特性

5、的伯德图控制系统开环频率特性的伯德图5.4 由伯德图确定传递函数由伯德图确定传递函数5.5 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据5.6 控制系统相对稳定性分析控制系统相对稳定性分析自动控制原理国家精品课程75.1 频率特性频率特性5.1.1 频率特性的定义频率特性的定义5.1.2 系统的频率响应系统的频率响应5.1.3 频率特性的几何表示频率特性的几何表示自动控制原理国家精品课程81 基本概念基本概念设系统结构如图， 首先，假定系统稳定！给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦，其响应为：给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦，其响应为： Ar=1 =0.5=1=2=2.5=4自动控制原理国家精

6、品课程9 结论： 给给稳定系统稳定系统输入一个正弦，其稳态输入一个正弦，其稳态输出输出是与输入是与输入 同频率同频率的正弦，幅值和相角随的正弦，幅值和相角随而改变。而改变。 40不稳！不考虑!自动控制原理国家精品课程10 几点认识：几点认识：（1 1）频率特性频率特性有明确的物理意义，可以用有明确的物理意义，可以用实验的手段实验的手段准准确地得到系统的确地得到系统的频率响应频率响应，当系统传递函数未知时，当系统传递函数未知时，可以通过测量频率响应来推导系统的传递函数；可以通过测量频率响应来推导系统的传递函数；（2 2）频率特性是在系统稳定的条件下分析稳态响应得到）频率特性是在系统稳定的条件下分

7、析稳态响应得到的，它与传递函数一样，也表征了系统的运动规律，的，它与传递函数一样，也表征了系统的运动规律，是系统频域分析的理论依据，但只是系统频域分析的理论依据，但只适应于线性定常系适应于线性定常系统统。（）频率特性正好是线性系统的傅立叶变换。（）频率特性正好是线性系统的傅立叶变换。自动控制原理国家精品课程11)()()(jRjYjGjssGjG)()(11)(TjjG)()()(jGjejGjG)()()(jGjGjG)(Im)(Re)(jGjjGjG 5.1.1 5.1.1 频率特性的定义频率特性的定义频率特性与传递函数存在下列简单的关系频率特性与传递函数存在下列简单的关系 ()U j()

8、Y j()G j频率特性是复变频率特性是复变函数，频率函数，频率是是实变量。实变量。例例频率特性的定义：线性定常系统的输出量的傅氏变换与输入量的傅氏变换之比。频率特性的定义：线性定常系统的输出量的傅氏变换与输入量的傅氏变换之比。 指数形式指数形式 幅角形式幅角形式 代数形式代数形式1( )1G sTs自动控制原理国家精品课程12)()()(jGjGjG() G j() G j幅频特性幅频特性 相频特性相频特性 频率特性是复变函数，频率频率特性是复变函数，频率是实变量。是实变量。幅频特性幅频特性 相频特性相频特性 频率特性的频率特性的Bode Bode 图图 频率特性的频率特性的BodeBode

9、图图 自动控制原理国家精品课程13()BG jA12)(jG 频率特性的物理意义频率特性的物理意义频率特性的物理定义：频率特性的物理定义： 线性定常系统在正弦输入信号作用下，输出量的线性定常系统在正弦输入信号作用下，输出量的稳态分量的复相量稳态分量的复相量与与输入输入正弦信号的复相量正弦信号的复相量之比之比，称为频率特性。，称为频率特性。线性定常系统在正弦输入信号作用下：线性定常系统在正弦输入信号作用下：稳态输出的正弦信号幅值，与输入正弦信号的幅值之比，就是系统的稳态输出的正弦信号幅值，与输入正弦信号的幅值之比，就是系统的幅频幅频特性；特性；稳态输出的正弦信号相角，与输入正弦信号的相角之差，就

10、是系统的稳态输出的正弦信号相角，与输入正弦信号的相角之差，就是系统的相频相频特性。特性。1sin()At()G j2sin()Bt 系统的稳态输出系统的稳态输出对于对于稳定系统稳定系统可以采用可以采用实验实验的方法得到系统的的方法得到系统的频率特性频率特性，即在感兴趣的频，即在感兴趣的频率范围内，改变正弦输入信号的频率，测量系统稳态输出与输入的幅值比率范围内，改变正弦输入信号的频率，测量系统稳态输出与输入的幅值比和相角差，就可以得到系统的幅频特性和相频特性曲线。和相角差，就可以得到系统的幅频特性和相频特性曲线。 自动控制原理国家精品课程14设系统的传递函数为：( )G s1222( )( )(

11、 )( )()()()( )np sp sG sq sspspspR sAs( )( )( ) ( )( )( )p sY sG s R sR sq s1212( )nnbbbaaY ssjsjspspsp1212( )np tp tp tj tj tny taeaebeb eb e如果G(s)只有不同极点，则有：对于稳定系统(1,2, )ip in具有负实部(1,)ip tein 随时间增长而趋于零。 频率特性的物理意义的推导频率特性的物理意义的推导 自动控制原理国家精品课程15稳态响应为：( )j tj tssytaeae22()( )()2sjAAGjaG ssjsj 其中：22()(

12、)()2sjAAG jaG ssjsj()()()()()()( )22()()22()2() sin()j tj tssjtjtjtjtAGjAG jyteejjA G jA G jeejjeeA G jjA G jt 于是：自动控制原理国家精品课程16传递函数为：对分子多项式： 于是 共轭。 同样 共轭。所以， 共轭，即模相等，幅角相反。11101110(s)( )(s)mmmmnnnnb sbsb sbpG sqa sasa sa1110222121( )()() ,()()Re( ()Re( (),Im( ()Im( ()mmmmkkkkp sb sbsb sbjjjjpjp jpjp

13、 j (), ()pjp j(), ()qjq j(),()GjG j说明：自动控制原理国家精品课程17()G jTssG1)( )sin( )r tt( )sin(2 )r tt稳态输出稳态输出 012345678910-1-0.8-0.6-0.4-0.60.81( )sin( )r tt稳态输出稳态输出 012345678910-1-0.8-0.6-0.4-0.60.81( )sin(2 )r tt稳态输出稳态输出 自动控制原理国家精品课程18()BG jA12)(jG 5.1.2 5.1.2 系统的系统的频率响应频率响应对于线性定常系统，在正弦输入

14、信号作用下，对于线性定常系统，在正弦输入信号作用下，系统输出的系统输出的稳态分量稳态分量也是一个也是一个同频率同频率的正弦信号。的正弦信号。 1sin()At()G j2sin()Bt 系统的稳态输出系统的稳态输出自动控制原理国家精品课程19012345678910-1-0.8-0.6-0.4-0.60.81012345678910-1-0.8-0.6-0.4-0.60.81( )sin( )r tt( )sin(2 )r tt()G jTssG1)( )sin( )r tt( )sin(2 )r tt稳态输出稳态输出 稳态输出稳态输出 稳态输出稳态输出

15、 自动控制原理国家精品课程20 5.1.3 5.1.3 频率特性的几何表示频率特性的几何表示)(Im)(Re)(jGjjGjG( )Re ()UG j( )Im ()VG j实频特性 虚频特性 )(Re)(jGU)(Im)(jGV以以为参变量，为横坐标，为纵坐标的频率特性图。例如，惯性环节TjjG11)(的奈氏图如图所示。 2)(11)(TjG)()(1TtgjG2)(11)(TU2)(1)(TTV 2211( )( )24UV 1 1 奈氏图（奈氏图（Nyquist Nyquist 图）图） 自动控制原理国家精品课程210ReG(j)ImG(j)1惯性环节惯性环节G(j)绘制极坐标图时，可以

16、计算出实部和虚部，也可以绘制极坐标图时，可以计算出实部和虚部，也可以分别算出幅值和相角：分别算出幅值和相角：2221()( )( )( )( )( )G jRXXtgR 22211()()11111()1()1()G jjRCj TjTTjTTT22221111 ()21 ()4TTT自动控制原理国家精品课程22 2 2 伯德图伯德图 （BodeBode图，图，由两幅图组成由两幅图组成） )(lg20jG)(jG。另一幅是对数相频特性图，横坐标是对数频率，纵坐标是相角。幅频特性幅频特性 相频特性相频特性 )(jG)(lg20jG)(jG一幅是对数幅频特性图，横坐标是对数频率，纵坐标是幅值的分贝

17、值，即。)(lg20jG自动控制原理国家精品课程23Bode图坐标介绍图坐标介绍0.1到1之间分为不等的9段自动控制原理国家精品课程24Bode图坐标介绍图坐标介绍 幅值相乘幅值相乘 = = 对数相加对数相加，便于叠加作图；，便于叠加作图；纵轴纵轴横轴横轴坐标特点坐标特点特点特点按按 lg 刻度，刻度，dec “十倍频程十倍频程”按按 标定，等距等比标定，等距等比“分贝分贝”dB)(lg20)( jGL 可在可在大范围大范围内表示内表示频率频率特性；特性； 利用利用实验实验数据容易数据容易确定确定 L( ), ,进而确定进而确定G(s)。自动控制原理国家精品课程25传递函数互为倒数情况下的频率

18、特性传递函数互为倒数情况下的频率特性传递函数互为倒数传递函数互为倒数, ,利用对称性简化作图：利用对称性简化作图： (1) (1)幅频幅频特性关于特性关于横轴对称横轴对称 (2)(2)相频相频特性关于特性关于横轴对称横轴对称 121( )( )G sGs111()1()2()()( )11()( )( )jjjGjAeGjeAeA12121( )20lg( )1( )20lg20lg( )( )( )( )( )LALALA 自动控制原理国家精品课程265.2 5.2 典型环节频率特性的伯德图典型环节频率特性的伯德图 1 1） 放大环节放大环节 KjG)( 相频图中，相位角-180就是180，

19、与上页所述对称性不矛盾。自动控制原理国家精品课程27典型环节频率特性的伯德图典型环节频率特性的伯德图2 2） 微分、积分环节微分、积分环节1()(1, 2,.)()lG jlj ( )20lg()20lg( )()2LG jlG jl 自动控制原理国家精品课程2840db0.1110w L-20db积分环节20db0.22200db-20db-40dbssG1)(ssG10)(ssG51)(自动控制原理国家精品课程2940db0.1110w L20db微分环节20db0.22200db-20db-40dbssG)( )10G ssssG1 . 0)(自动控制原理国家精品课程303 3） 惯性环

20、节惯性环节 1)1(G jj T221( )20lg()20lg 1( )()tanLG jTG jT 下图： T=1自动控制原理国家精品课程31问题 惯性环节的相频特性和幅频特性与T的关系？ 不同的T：幅频特性形状不变，转折频率不同相频特性形状不变，只是曲线向左或向右平移TjjG11)(自动控制原理国家精品课程3240db0.1110w L20db惯性环节20db0.22200db-20db-40db8db15 . 01)(ssG102.5( )40.251G sss22222.5( )20lg20lg2.520lg 10.250.251820lg 10.25Lj自动控制原理国家精品课程33

21、90 -90 -45 w 0惯性环节45 4 215 . 01)(ssG102.5( )40.251G sss自动控制原理国家精品课程34()1GjjT221( )20lg()20lg 1( )()tanLG jTG jT 4 4） 一阶微分环节（推导互为倒数的传递函数的特性）一阶微分环节（推导互为倒数的传递函数的特性） 自动控制原理国家精品课程3540db0.1110w L20db一阶微分环节20db0.22200db-20db-40db-8db15 . 0)( ssG?)( sG自动控制原理国家精品课程3690 -90 -45 w 0一阶微分环节45 4 2自动控制原理国家精品课程3722

22、22122( )20lg(1)(2)2( )tan1LTTTT 5 5） 振荡环节（振荡环节（极点为复数的情况）极点为复数的情况）22()()211()G jTjT j2 2才出现峰值。自动控制原理国家精品课程380ReG(j)ImG(j)1ABA:2212121rnrAB:1()2()90nonA 222( )2nnnG sss振荡环节G(j)=0=自动控制原理国家精品课程3940db0.1110w L-40db振荡环节20db1000db-20db-40db2120lg2112 0 lg221( )21G sss自动控制原理国家精品课程40180 -180 -90 w 0振荡环节90 1

23、2自动控制原理国家精品课程41 二阶微分环节 频率特性与振荡环节的频率特性正好相反，转折频率、斜率等特征值也有相应的变化。 6 6）二阶微分环节）二阶微分环节 22()()21()G jTjT j2222122( )20lg(1)(2)2( )tan1LTTTT 自动控制原理国家精品课程4240db0.1110 L40db二阶微分环节20db1000db-20db-40db20lg2220lg212( )0.251G sss自动控制原理国家精品课程43180 -180 -90 0二阶微分环节90 1 2自动控制原理国家精品课程44 7 7） 滞后环节滞后环节 jejG)(lg( )20lg()

24、20lg10( )()10LG jG j 1ImjRe01为滞后时间为滞后时间 0)( )(L0Nyquist 图图 自动控制原理国家精品课程455.3 5.3 控制系统开环频率特性的伯德图控制系统开环频率特性的伯德图 根据根据典型环节典型环节的伯德图，容易绘制系统的的伯德图，容易绘制系统的开环频率特开环频率特性性的伯德图。的伯德图。 liisGsHsG1)()()(1()()111()()()()()liiillljGjj GjiiiiiiG jH jG jG jeG je11()()()()()()liiliiG jH jGjG jH jGj11111( )20lg()20lg()( )(

25、 )()( )llliiiiiilliiiiLGjGjLGj 右图e(t)到y(t)为开环自动控制原理国家精品课程46 设开环系统的传递函数为设开环系统的传递函数为 ：12( )( )( )( )nG sG s GsGs12()()()()nG jGjGjGj12()()()()12( )( )( )( )njjjjnAeAeAeAe 1212( )( )( )( )( )( )( )( )nnAAAA 模取对数模取对数 1212( )( )( )( )nnLLLL 相应的频率特性为：相应的频率特性为：于是有于是有自动控制原理国家精品课程47开环频率特性的伯德图开环频率特性的伯德图 开环频率特

26、性的对数幅频特性、相频特性开环频率特性的对数幅频特性、相频特性组成环节组成环节的数幅频特性、相频特性的数幅频特性、相频特性之和之和。 基本环节的基本环节的直线和折线渐近线直线和折线渐近线代替精确幅频特性。代替精确幅频特性。 必要时对折线渐近线修正必要时对折线渐近线修正 任一条任一条直线直线可看成可看成G(s)=k/sG(s)=k/sn n或者或者G(jG(j)=k/)=k/n n的幅频的幅频特性，因此人一段渐近线的方程为特性，因此人一段渐近线的方程为20lg|G(j20lg|G(j)|=-)|=-20nlg20nlg+20lgk+20lgk, ,即斜率为即斜率为-20nlg-20nlg。 平面

27、上几条折线相加仍为一条直线，斜率为可折线斜平面上几条折线相加仍为一条直线，斜率为可折线斜率之和。率之和。 自动控制原理国家精品课程48绘制伯德图的一般步骤绘制伯德图的一般步骤-a(1)(1)将传递函数写成将传递函数写成伯德标准型伯德标准型，确定开环传递系数和各转折频率，形如：，确定开环传递系数和各转折频率，形如：(2)(2)绘制对数坐标，并将绘制对数坐标，并将各个转折频率各个转折频率标注在坐标轴上。标注在坐标轴上。(3)(3)确定低频段确定低频段低频段：在低频段：在第一个转折频率第一个转折频率以前的频率以前的频率 对数幅频特性渐近线的低频段仅取决于对数幅频特性渐近线的低频段仅取决于比例、微分和

28、积分比例、微分和积分这几这几个环节（惯性，振荡环节，一阶和二阶微分环节低频渐近线都个环节（惯性，振荡环节，一阶和二阶微分环节低频渐近线都为为0 0） 型系统低频段型系统低频段近似为下式，如已知某频率的振幅则可求近似为下式，如已知某频率的振幅则可求K；特；特别在过别在过=1,L(1)=20lgK点，做斜率为点，做斜率为-20 dB/dec的直线的直线中频段：在和中频段：在和0dB/dec0dB/dec交点处的频率（交点处的频率（穿越频率穿越频率，开环截止频率），开环截止频率）附近的频段称为中频段附近的频段称为中频段高频段：高频段：最后一个转折频率最后一个转折频率以后的频段以后的频段1011(1)

29、(1)0.10.5ss221211nnssww( )20lg, (1)20lgKLLKniimiipsszsKsHsG11)()()()(自动控制原理国家精品课程49绘制伯德图的一般步骤绘制伯德图的一般步骤-b(4)(4)绘制开环绘制开环幅频幅频特性的特性的渐近线渐近线，将低频段延伸到，将低频段延伸到下一个转折频率下一个转折频率， 惯性环节：下降惯性环节：下降20dB/dec20dB/dec 一阶微分：增加一阶微分：增加20dB/dec20dB/dec 振荡环节：下降振荡环节：下降40dB/dec40dB/dec 二阶微分：增加二阶微分：增加40dB/dec40dB/dec(5)(5)在在转折

30、频率处转折频率处进行适当进行适当修正修正 惯性和一阶惯性和一阶微分：在转折频率处微分：在转折频率处减少或增加减少或增加3dB/dec3dB/dec。 振荡和二阶振荡和二阶微分环节：根据公式微分环节：根据公式(6) 绘制各个环节的绘制各个环节的相频相频特性，特性，叠加叠加。maxmax211()20lg,20lg|221nLL自动控制原理国家精品课程50)1)(2 . 0()5 . 0(40)(2 ssssssG例例1 1 化化G(s)为为尾尾1标准型标准型 顺序列出转折频率顺序列出转折频率 确定基准线确定基准线 叠加作图叠加作图210010.5( )1 (1)0.2sG sssss 0.2 0

31、.2 惯性环节惯性环节0.5 0.5 一阶复合微分一阶复合微分1 1 振荡环节振荡环节(1,(1)20lg40)LK基准点基准点2020dB decv 斜率斜率一阶一阶惯性环节惯性环节 -20dB/dec复合微分复合微分 +20dB/dec二阶二阶振荡环节振荡环节 -40dB/dec复合微分复合微分 +40dB/dec0.20.2 惯性环节惯性环节 -20-200.50.5 一阶复合微分一阶复合微分 +20+2011 振荡环节振荡环节 -40-40最小转折频率之左最小转折频率之左的特性及其延长线的特性及其延长线绘制开环系统绘制开环系统Bode图的步骤图的步骤自动控制原理国家精品课程51 修正修

32、正 检查检查 两惯性环节转折频率很接近时两惯性环节转折频率很接近时 振荡环节振荡环节 (0.38, 0.8) 时时 L( ) 最右端曲线斜率最右端曲线斜率=-20(n-m) dB/dec 转折点数转折点数=(=(惯性惯性)+()+(一阶复合微分一阶复合微分)+()+(振荡振荡)+()+(二阶复合微分二阶复合微分) ) -90(n-m)(1,(1)20 lg40)LK基准点基准点2020dB decv 斜率斜率0.20.2 惯性环节惯性环节 -20-200.50.5 一阶复合微分一阶复合微分 +20+2011 振荡环节振荡环节 -40-40210010.5( )1 (1)0.2sG sssss

33、自动控制原理国家精品课程5240db0.1110w L例例: 开环传递函数开环传递函数20db1000db-20db-40db302-20-40-20-40低频段：4 0S5 .0 时为38db转折频率：0.5 2 30斜率： -40 -20 -401 .0 时为52db自动控制原理国家精品课程53例例5.3 绘制绘制 的对数曲线。的对数曲线。解：对数幅频：低频段：20/s 转折频率：1 5 10 斜率： -40 0 -40修正值： db14. 8L,59. 9,10, 2 . 0mrn 对数相频：相频特性的画法为：起点，终点，转折点。环节角度：0 1 5 10 o7 .78 o3 .84 1

34、tgo0o45 o90 o6 .22o8 .126 2 . 0tg21o0o90o180211004tg o0o3 . 2 o15 o90 o180 o90 o90 o90 o90 o90 s1开环对数曲线的计算开环对数曲线的计算222015( )1(1)110025sG sss ss22200015( )(1)(4100)sG ss sss自动控制原理国家精品课程541101000db20db40db-20db-40db5-90-180-114.7-93.7-137.5 L对数幅频：低频段：20/s 转折频率：1 5 10 斜率： -40 0 -40修正值： db14. 8L,59. 9,1

35、0, 2 . 0mrn 自动控制原理国家精品课程55例 已知系统的开环传递函数为要求绘制Bode图。 10(2)( )(1)(10)SG sSS1212( )1(1)110sG sss2( 0.51)()(1)( 0.11)jG jjj可视为四个典型环节串联。（手工绘图）自动控制原理国家精品课程56例 已知系统的频率特性函数为绘制Bode图。 按特征频率递增的顺序，可将各个典型环节依次排列如下可视为5个典型环节串联。（手工绘图） 250506 . 015 . 011 . 015jjjjjjG2111510.110.510.65050jjjjj 自动控制原理国家精品课程57500(2)( )(

36、)(10)(50)sG s H sss例例 系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为 自动控制原理国家精品课程58例例5.3 5.3 系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为 )1004)(2()5(2000)()(2ssssssHsG10-1100101102-270-225-180-135-90Phase (deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)-60-40-200204060Magnitude (dB)自动控制原理国家精品课程59 例例5.4 5.4 系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为 22)10)(1 . 0()2 . 0(1000)()(ssss

37、sHsG-200-150-100-50050100150Magnitude (dB)Bode DiagramFrequency (rad/sec)10-210-1100101102103-360-315-270-225-180Phase (deg)自动控制原理国家精品课程60 例例 系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为 自动控制原理国家精品课程61例例 含极点为复数的情况含极点为复数的情况 自动控制原理国家精品课程625.4 5.4 由伯德图确定传递函数由伯德图确定传递函数5.4.1 5.4.1 最小与非最小相位系统的概念最小与非最小相位系统的概念5.4.2 5.4.2 由伯德图确定传递函

38、数由伯德图确定传递函数5.4.3 5.4.3 频率特性的实验确定方法频率特性的实验确定方法自动控制原理国家精品课程635.4.1 5.4.1 最小相位系统与非最小相位系统的概念最小相位系统与非最小相位系统的概念 如果系统的传递函数在如果系统的传递函数在右半右半S S平面上没有极点和零点平面上没有极点和零点，而且而且不包含滞后环节不包含滞后环节，则称，则称为为最小相位系统最小相位系统，否则，称，否则，称为为非最小相位系统非最小相位系统。最小相位：含比例，积分，微分，最小相位：含比例，积分，微分，惯性，振荡，一阶微分，二阶微惯性，振荡，一阶微分，二阶微分分非最小相位：不稳定环节，滞后非最小相位：不

39、稳定环节，滞后环节环节自动控制原理国家精品课程645.4.2 5.4.2 由伯德图确定传递函数由伯德图确定传递函数 对于对于最小相位系统最小相位系统，幅频特性和相频特性是单值对应的，因，幅频特性和相频特性是单值对应的，因此，根据系统的对数此，根据系统的对数幅频特性幅频特性就可以就可以写出写出系统的系统的传递函数传递函数或或者频率特性者频率特性。 例例 某最小相位系统的对数幅频特性的渐近线如图所示，确某最小相位系统的对数幅频特性的渐近线如图所示，确定该系统的传递函数。定该系统的传递函数。 221()20lg4.440.32(1)( )111120.4101010(1)(12.5 )(10.060

40、.01)nLKsG ssssssssss自动控制原理国家精品课程65例例 某最小相位系统的对数幅频特性的渐近线如图某最小相位系统的对数幅频特性的渐近线如图所示，确定该系统的传递函数。所示，确定该系统的传递函数。222211(1 0.1 )10( )(1 5 )110.2KsKsG sssss自动控制原理国家精品课程66例例 由由Bode图确定开环传递函数。图确定开环传递函数。40db-20db-40db012( ); 20lg40,1001111KG sKKss21自动控制原理国家精品课程675.4.3 5.4.3 频率特性的实验确定法频率特性的实验确定法 自动控制原理国家精品课程685.5

41、5.5 奈奎斯特奈奎斯特(Nyquist)(Nyquist)稳定判据稳定判据5.5.1 5.5.1 幅角原理幅角原理5.5.2 5.5.2 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据5.5.3 5.5.3 举例举例自动控制原理国家精品课程69 F(s) F(s)为为单值单值复变函数，在复变函数，在s s平面上若有不经过任何平面上若有不经过任何F(s)F(s)零极点的封零极点的封闭曲线闭曲线s包围包围F(s)F(s)的的z z个零点和个零点和p p个极点个极点， F = = F( F(s) )，当当s s顺时针沿顺时针沿s 一周，一周，F(s)F(s)顺时针顺时针绕绕F F平面原点平面原点的圈数的圈数N

42、N为：为：N Nz zp p 。5.5 5.5 奈奎斯特奈奎斯特(Nyquist)(Nyquist)稳定判据稳定判据 以系统的开环以系统的开环幅相频率特性曲线（幅相频率特性曲线（Nyquist曲线）曲线）判别判别系统的系统的稳定性稳定性。奈奎斯特稳定判据的数学基础是复变函数理。奈奎斯特稳定判据的数学基础是复变函数理论中的幅角原理。论中的幅角原理。 5.5.1 5.5.1 幅角原理幅角原理 幅角原理：幅角原理：ss自动控制原理国家精品课程70 1.S1.S平面上的围线映射平面上的围线映射 当复自变量当复自变量s s沿沿S S平面上的闭合曲线或平面上的闭合曲线或闭合轨迹运动时，函数闭合轨迹运动时，

43、函数F(s)F(s)会将它映射会将它映射为像平面上的闭合曲线。为像平面上的闭合曲线。 我们关心这种对应的闭合曲线之间的我们关心这种对应的闭合曲线之间的关系。关系。 自动控制原理国家精品课程71s F s s s js s平面平面 F F sR sXF(s)F(s)平面平面一般地：自动控制原理国家精品课程72 例5.5.1 F(s)=2s+1Sjw01j-j-1juv0j2-j2-13顺时针方向定义为闭合曲线的正方向闭合曲线正方向右侧区域为包围区域即：顺时针，向右看。自动控制原理国家精品课程73例5.5.2: F(s)=s/(s+2) 自动控制原理国家精品课程74例 5.5.3：F(s)=s/(

44、s+1/2) 自动控制原理国家精品课程75 2 2、CauchyCauchy定理（相角定理）定理（相角定理） 如果闭合曲线如果闭合曲线 s s以顺时针方向为正方向，以顺时针方向为正方向，在在s s平面上包围了平面上包围了F(s)F(s)的的Z Z个零点和个零点和P P个极点，个极点，但不经过任何一个零点和极点，那么对应的但不经过任何一个零点和极点，那么对应的映射曲线映射曲线 F F也以顺时针方向为正向，且在也以顺时针方向为正向，且在F(s)F(s)平面上包围原点平面上包围原点N=Z-PN=Z-P周周。自动控制原理国家精品课程76例5.5.4: F(s)=s/(s+2) N=Z-P=1-0=1

45、s s j1 10 0-1-1-j-jj j自动控制原理国家精品课程77 1212szszF sspsp 2121pspszszssF 自动控制原理国家精品课程78Z=0P=1N=Z-P=0-1=-1 自动控制原理国家精品课程79Z=3P=1N=Z-P=3-1=2 自动控制原理国家精品课程805.5.2 5.5.2 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据 实际上就是实际上就是判别判别系统有没有系统有没有极点在极点在复平面的复平面的右半面右半面。为。为了应用幅角原理分析系统稳定性，需要进行下列几项工作。了应用幅角原理分析系统稳定性，需要进行下列几项工作。 1 1） 取取 )()(1)(sHsGsF 2

46、 2） 选择选择s包围整个右半包围整个右半S S 平面平面 当当G(s)G(s)与与H(s)H(s)没有零极点对消时没有零极点对消时,F(s),F(s)的零点就是系统的的零点就是系统的全部闭环极点全部闭环极点或特征根，或特征根， F(s)F(s)的极点就是系统的开环极点；的极点就是系统的开环极点； 10lim Relim Re10()()( )( )lim0jjRRmmnssnmj n mmnn mRnj n mb sb sbG s H sa sa sabnmbaea Renm 自动控制原理国家精品课程82 022r， jres jvvrreserKsHsGjr0limlim)()(0 自动控

47、制原理国家精品课程83奈奎斯特稳定判据：设系统有奈奎斯特稳定判据：设系统有P个个开环极点在右半开环极点在右半S平面平面,当当 从从 变到变到 时，若奈氏曲线绕时，若奈氏曲线绕 平面的（平面的（-1，j0）点）点N圈（参考方向为顺时针），则系统有圈（参考方向为顺时针），则系统有 个个闭闭环极点在右半环极点在右半S平面平面。当。当Z=0时，奈氏曲线逆时针绕时，奈氏曲线逆时针绕 平面的（平面的（-1，j0）点）点P圈，系统稳定。当奈氏曲线圈，系统稳定。当奈氏曲线穿过（穿过（-1，j0）点时，系统临界稳定。）点时，系统临界稳定。奈奎斯特稳定判据的步骤：奈奎斯特稳定判据的步骤：1）确定）确定P 2）画奈

48、氏曲线）画奈氏曲线 的映射；的映射； 的映射；的映射；奈氏曲线与实轴的交点；奈氏曲线与实轴的交点；奈氏路径中小半圆的映射。奈氏路径中小半圆的映射。 3）确定）确定N 4）确定）确定 )()(jHjGPNZ)()(jHjGPNZ0)()(jHjG0图 4.7 正 、 负 穿 越-1正 穿 越负 穿 越自动控制原理国家精品课程840KP) 0(21/1TT2121TTTTKNyquist曲线与虚轴的交点：曲线与虚轴的交点： 0)(PnTTTTK2122110)1 (2121)(TTTTKQn由于含有两个惯性环节，当由于含有两个惯性环节，当ojG1800)(若包含若包含 n n 个惯性环节，则有个惯

49、性环节，则有,()090oGjn ) 1)(1()(21sTsTKsG闭环系统的开环传递函数为闭环系统的开环传递函数为 绘制系统的开环绘制系统的开环Nyquist图。图。 例例5.80KP) 0 (2n3n4n5.5.3 5.5.3 举例举例 自动控制原理国家精品课程85若包含若包含 n n 个惯性环节，个惯性环节，m m个一阶微分环节，个一阶微分环节，则有则有onmjG90)()(当开环传递函数包含有微分环节时，幅相曲线会当开环传递函数包含有微分环节时，幅相曲线会出现凹凸，幅值和相位不再是单调变化的。出现凹凸，幅值和相位不再是单调变化的。0KP) 0 (1, 3mn) 1)(1)(1() 1

50、()(4321sTsTsTsTKsG( 0)0 ,()0 (1 3)900180oooG jKG j 绘制系统的开环绘制系统的开环Nyquist图。图。 例例5.10自动控制原理国家精品课程860ImjRe0 xVx)()()1)(1)(1 ()(1)1)(1)(1 ()()(22322222113322122232222213213321jQPTTTTTTTTTKjTTTTTTTTTKjGoojGjG3600)(,90)0(起点与终点：起点与终点： 0幅相曲线的渐近线是横坐标为幅相曲线的渐近线是横坐标为平行与虚轴的直线平行与虚轴的直线 xV 0)()0(321TTTKVPx124( )(1)

51、(1)(1)KG ss T sT sT s绘制系统的开环绘制系统的开环Nyquist图。图。 例例自动控制原理国家精品课程87oojGjG3600)(,180)0(起点与终点：起点与终点： 0ImjRe00ImjRe0当包含一阶微分环节，这时的幅当包含一阶微分环节，这时的幅相曲线也可能出现凹凸。相曲线也可能出现凹凸。) 1)(1)(1() 1()(42123sTsTsTssTKsGoojGjG3600)(,180)0(起点与终点：起点与终点： 212( )(1)(1)KG ss TsT s绘制系统的开环绘制系统的开环Nyquist图。图。 例例绘制系统的开环绘制系统的开环Nyquist图。图。

52、 例例自动控制原理国家精品课程880ImjRe0型3型2型1型自动控制原理国家精品课程89已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 ) 1)(1()()(21sTsTKsHsG用奈氏判据判别系统稳定性。用奈氏判据判别系统稳定性。 ) 1)(1()()(21TjTjKjHjGKjHjG)()(lim00)()(lim0jHjG0)()(limjHjG)()(limjHjG Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-20246810-6-4-20246System: sysReal: 10Imag: 0Frequency (rad/sec): -2e-0

53、15System: sysReal: 6.71Imag: -5Frequency (rad/sec): 0.0657System: sysReal: 8.5Imag: -3.76Frequency (rad/sec): 0.0398System: sysReal: 1.61Imag: -4.57Frequency (rad/sec): 0.197System: sysReal: 4.17Imag: -5.42Frequency (rad/sec): 0.11System: sysPhase Margin (deg): 59.3Delay Margin (sec): 1.32At frequen

54、cy (rad/sec): 0.782Closed Loop Stable? Yes1210,1,10KTT例例自动控制原理国家精品课程90Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-20246810-6-4-20246System: sysReal: 10Imag: 0Frequency (rad/sec): -2e-015System: sysReal: 6.71Imag: -5Frequency (rad/sec): 0.0657System: sysReal: 8.5Imag: -3.76Frequency (rad/sec): 0.0398Syste

55、m: sysReal: 1.61Imag: -4.57Frequency (rad/sec): 0.197System: sysReal: 4.17Imag: -5.42Frequency (rad/sec): 0.11System: sysPhase Margin (deg): 59.3Delay Margin (sec): 1.32At frequency (rad/sec): 0.782Closed Loop Stable? Yes) 1)(1()()(21sTsTKsHsG1210,1,10KTT自动控制原理国家精品课程91Nyquist DiagramReal AxisImagina

56、ry Axis-1-0.8-0.6-0.4-0.6-4-3-2-101234局部放大自动控制原理国家精品课程92例例5.9 5.9 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 ) 1)(1()()(21sTsTsKsHsG用奈氏判据判别系统稳定性。用奈氏判据判别系统稳定性。 ) 1)(1()()(21TjTjjKjHjG)()(lim0jHjG2)()(lim0jHjG0)()(limjHjG23)()(limjHjG )()1() 1()()1 ()()()(221222122122212221221TTTTTTKjTTTTTTKjHjG0)()()(ImVjHjG

57、01212TT211TT212121)1(TTTKTTTU自动控制原理国家精品课程93 例例5.10 5.10 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 ) 1() 1()()(2TsssKsHsG用奈氏判据判别系统稳定性。用奈氏判据判别系统稳定性。 T 下面分两种情况讨论。下面分两种情况讨论。 （1 1） 0lim()()wG jw Hjw 0lim()()wGjw Hjw lim()()0wG jw Hjw T（2 2） 0lim()()wG jw Hjw 0lim()()wGjw Hjw lim()()0wG jw Hjwlim()()wGjw Hjw lim()()wGjw H

58、jw T（3 3） 2()()kG jw Hjww()()G jw Hjw 自动控制原理国家精品课程94 TTT自动控制原理国家精品课程95 例例 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 用奈氏判据判别系统稳定性。用奈氏判据判别系统稳定性。 自动控制原理国家精品课程96 例例 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 用奈氏判据判别系统稳定性。用奈氏判据判别系统稳定性。 自动控制原理国家精品课程97 例例 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 用奈氏判据判别系统稳定性。用奈氏判据判别系统稳定性。 自动控制原理国家精品课程98例5.11 3( ) ( )(1)KG

59、s H ss s0lim()()wG jw Hjw 03lim()()2wG jw H jw lim()()0wG jw H jwlim()()2wGjw Hjw 自动控制原理国家精品课程99例例12 非最小相位系统非最小相位系统 (3)( )( )(1)K sG s H ss s0lim () ()wG jw H jw03lim() ()2wG jw H jw lim()()0wG jw H jwlim()()2wG jw H jw 自动控制原理国家精品课程100 自动控制原理国家精品课程1015.6 5.6 控制系统相对稳定性分析控制系统相对稳定性分析稳定裕度稳定裕度 （从（从Nyquis

60、t 图分析）图分析） 自动控制原理国家精品课程102稳定裕度稳定裕度 （从（从Bode 图分析）图分析） 自动控制原理国家精品课程103 位于临界点附近的开环幅相曲线（奈氏曲线），对系统的稳定性影响最大 奈氏曲线越接近临界点（-1，j0)点，系统稳定性越差 相对稳定性度量：奈氏曲线与临界点的距离自动控制原理国家精品课程104 相位穿越频率：使开环频率特性的相角为-180度，即 增益穿越频率或截止频率：使开环频率特性的幅值为1或0dB的频率， 即 或相位裕度定义：幅值裕度定义： 或() ()ggG jw H jw()()1ccG jwHjw20lg() ()0ccG jw H jw0180()