《第2章正投影的基本原理》

1、一、投影的形成与分类一、投影的形成与分类 1.1.投影的形成投影的形成 (1)(1)中心投影法：中心投影法： 平行投影法：平行投影法： 斜投影斜投影 正投影正投影二、二、正投影的基本特性正投影的基本特性 1.1.一般性一般性 (1)(1)平行性平行性 ABCD，ab cd AB CD=ab cd =k(2)(2)从属性与定比性从属性与定比性 C属于属于AB， c属于属于ab，AC CB=ac cb (3)(3)类似性类似性 平面的投影平面的投影r与实形与实形R成类似成类似 特殊性特殊性 积聚性积聚性 平面平面ABCABC 直线直线 EFEF 垂直于投影面垂直于投影面真形性真形性 平面平面ABC

2、ABC 直线直线 EFEF 平行于投影面平行于投影面一、一、 建立三面投影体系的必要性建立三面投影体系的必要性 单一平面的投影单一平面的投影不能建立投影与立体不能建立投影与立体的一一对应关系。的一一对应关系。 两个投影面体系能建立投影与立体的一一对应两个投影面体系能建立投影与立体的一一对应关系。关系。 两个投影面体系不能建立投影与立体的一一对应两个投影面体系不能建立投影与立体的一一对应关系。关系。二、二、三投影面体系的建立及三面投影的展开三投影面体系的建立及三面投影的展开V 面不动，面不动，H 面往下旋转面往下旋转9090，W 面往右旋转面往右旋转9090三投影面的展开：三投影面的展开：三视图

3、的投影规律：三视图的投影规律：长对正、宽相等、高平齐长对正、宽相等、高平齐三视图的投影与立体的方位关系：三视图的投影与立体的方位关系：例题例题1 1：根据立体图及主视图、俯视图，画出左视图。：根据立体图及主视图、俯视图，画出左视图。例题例题1 1：根据立体图及主视图、俯视图，画出左视图。根据立体图及主视图、俯视图，画出左视图。2.3 2.3 点的点的投影投影A一、点的三面投影一、点的三面投影点的投影规律：点的投影规律： 点的三面投影符合长对正、宽相等、高平齐的规律。点的三面投影符合长对正、宽相等、高平齐的规律。二、两点之间的相对位置二、两点之间的相对位置A A 点在点在B B 点的左方、后方、

4、下方点的左方、后方、下方例题例题2 2：已知：已知A A点的投影，点的投影，B B点在点在A A前方前方1010毫米，右方毫米，右方1212 毫米，上方毫米，上方8 8毫米。求作毫米。求作B B点的三面投影。点的三面投影。三、重影点三、重影点A A 点在点在B B 的正上方的正上方2.4 2.4 直线的投影直线的投影一、特殊位置直线一、特殊位置直线1 1. .投影面的垂直线投影面的垂直线 正垂线正垂线 正垂线的投影特性：正垂线的投影特性： 直线的正面投影积聚为点直线的正面投影积聚为点, ,在另外二投影面上的投影垂直于在另外二投影面上的投影垂直于相应的坐标轴并反映实长。相应的坐标轴并反映实长。铅

5、垂线铅垂线 铅垂线的投影特性：铅垂线的投影特性： 直线的水平投影积聚为点直线的水平投影积聚为点, ,在另外二投影面上的投影垂直于在另外二投影面上的投影垂直于相应的坐标轴并反映实长。相应的坐标轴并反映实长。侧垂线侧垂线 侧垂线的投影特性：侧垂线的投影特性： 直线的侧面投影积聚为点直线的侧面投影积聚为点, ,在另外二投影面上的投影垂直于在另外二投影面上的投影垂直于相应的坐标轴并反映实长。相应的坐标轴并反映实长。2 2. .投影面的平行线投影面的平行线 正平线正平线 正平线的投影特性：正平线的投影特性： 直线的正面投影反映实长和夹角直线的正面投影反映实长和夹角、, ,在另外二投影面在另外二投影面上的

6、投影平行于相应的坐标轴。上的投影平行于相应的坐标轴。水平线水平线 水平线的投影特性：水平线的投影特性： 直线的水平投影反映实长和夹角直线的水平投影反映实长和夹角、, ,在另外二投影面在另外二投影面上的投影平行于相应的坐标轴。上的投影平行于相应的坐标轴。侧平线侧平线 侧平线的投影特性：侧平线的投影特性： 直线的侧面投影反映实长和夹角直线的侧面投影反映实长和夹角、, ,在另外二投影面在另外二投影面上的投影平行于相应的坐标轴。上的投影平行于相应的坐标轴。二、一般位置直线二、一般位置直线一般位置直线的投影特性：一般位置直线的投影特性： 一般位置直线在三个投影面上的投影都不反映实长和夹角。一般位置直线在

7、三个投影面上的投影都不反映实长和夹角。三、直线与点、两直线的相对位置三、直线与点、两直线的相对位置1. 1. 直线与点的相对位置直线与点的相对位置直线上点的投影必定在直线的投影上。直线上点的投影必定在直线的投影上。点点K K 不在直线不在直线EF EF 上。上。例题例题3 3：判别点：判别点K 是否在直线是否在直线EF 上。上。2.2.两直线的相对位置两直线的相对位置(1)(1)两直线平行两直线平行 由正投影的基本特性可知：空间两直线若相互平行，则其由正投影的基本特性可知：空间两直线若相互平行，则其同面投影必相互平行。反之，若两条直线的各组同面投影相同面投影必相互平行。反之，若两条直线的各组同

8、面投影相互平行，则两直线在空间必相互平行互平行，则两直线在空间必相互平行 。(2)(2)两直线相交两直线相交 若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且其交点的若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且其交点的投影必符合空间点的投影规律（交点是两直线的共有点，其投影必符合空间点的投影规律（交点是两直线的共有点，其投影的连线垂直投影轴）。反之亦然。投影的连线垂直投影轴）。反之亦然。(3)(3)两直线交叉两直线交叉 两直线在空间既不平行又不相交时，即为交叉。交叉两两直线在空间既不平行又不相交时，即为交叉。交叉两直线的某一投影可能平行，但不可能所有投影都相互平行；直线的某一投影可能平行，但不可能所有投影

9、都相互平行；也可能各组投影都相交，但各组同面投影的交点不符合点的也可能各组投影都相交，但各组同面投影的交点不符合点的投影规律。投影规律。(4)(4)两直线垂直两直线垂直 两相交直线空间垂直（即为直角）。且其中有一条直线为该投影面的平行线，则两直线在两相交直线空间垂直（即为直角）。且其中有一条直线为该投影面的平行线，则两直线在该投影面上的投影必相互垂直（即为直角）。此投影特性也称为直角投影定理。该投影面上的投影必相互垂直（即为直角）。此投影特性也称为直角投影定理。 反之，若相交两直线在某一投影面上的投影相互垂直，且其中一条直线为该投影面的平行反之，若相交两直线在某一投影面上的投影相互垂直，且其中

10、一条直线为该投影面的平行线，则两直线在空间必定相互垂直。同样，这条性质也适用两直线交叉垂直线，则两直线在空间必定相互垂直。同样，这条性质也适用两直线交叉垂直 。AB垂直垂直BC例题例题4 4：作直线：作直线MN MN 与直线与直线ABAB、CD CD 和和EF EF 相交并和直线相交并和直线 CDCD垂直，交点为垂直，交点为M M、K K、N N。2.5 2.5 平面的投影平面的投影 A A 面是投影面的平行面，面是投影面的平行面，B B 面是投影面的垂直面，面是投影面的垂直面，C C 面是面是一般位置平面一般位置平面一、特殊位置平面一、特殊位置平面1 1. .投影面的垂直面投影面的垂直面 正

11、垂面正垂面 正垂面的投影特性：正垂面的投影特性： 平面的正面投影积聚为一直线。在另外二投影面上的投影平面的正面投影积聚为一直线。在另外二投影面上的投影反映类似形。反映类似形。铅垂面铅垂面 铅垂面的投影特性：铅垂面的投影特性： 平面的水平投影积聚为一直线。在另外二投影面上的投平面的水平投影积聚为一直线。在另外二投影面上的投影反映类似形。影反映类似形。侧垂面侧垂面 侧垂面的投影特性：侧垂面的投影特性： 平面的侧面投影积聚为一直线。在另外二投影面上的投平面的侧面投影积聚为一直线。在另外二投影面上的投影反映类似形。影反映类似形。2 2. .投影面的平行面投影面的平行面 正平面正平面 正平面的投影特性：

12、正平面的投影特性： 平面的正面投影反映实形。在另外二投影面上的投影积聚平面的正面投影反映实形。在另外二投影面上的投影积聚为平行于相应坐标轴的直线。为平行于相应坐标轴的直线。水平面水平面 水平面的投影特性：水平面的投影特性： 平面的水平投影反映实形。在另外二投影面上的投影积聚平面的水平投影反映实形。在另外二投影面上的投影积聚为平行于相应坐标轴的直线。为平行于相应坐标轴的直线。侧平面侧平面 侧平面的投影特性：侧平面的投影特性： 平面的侧面投影反映实形。在另外二投影面上的投影积聚平面的侧面投影反映实形。在另外二投影面上的投影积聚为平行于相应坐标轴的直线。为平行于相应坐标轴的直线。一般位置平面一般位置

13、平面 一般位置平面的投影特性：一般位置平面的投影特性： 一般位置平面在各个投影面上的投影都是类似形。一般位置平面在各个投影面上的投影都是类似形。例题例题5 5：点：点K K 在平面在平面ABC ABC 上并且已知上并且已知K K的正面投影的正面投影k k， 试作出试作出K K点的水平投影点的水平投影k k 。例题例题6 6：在平面：在平面ABC 上作出属于平面内的一条水平线和一条正上作出属于平面内的一条水平线和一条正 平线平线。2.6 2.6 直线与平面以及两平面的相对位直线与平面以及两平面的相对位置置一、平行问题一、平行问题1.1.直线与平面平行直线与平面平行 几何定理：若直线几何定理：若直

14、线(EF)(EF)平行于平面平行于平面(ABC)(ABC)上的某一条直线上的某一条直线(BD)(BD)，则该直线，则该直线(EF)(EF)与平面与平面(ABC)(ABC)平行。平行。 2.2.平面与平面平行平面与平面平行 几何定理：若一平面的两条相交直线几何定理：若一平面的两条相交直线(AB(AB、CD)CD)对应平行于对应平行于另一平面上的两条相交直线（另一平面上的两条相交直线（DEDE、EFEF），则两平面平行。），则两平面平行。 (1) (1)在水平投影中先求直线在水平投影中先求直线EFEF与平面与平面ABCABC的交点的交点k k，由，由k k返回返回到到e ef f 上求出上求出k

15、k 。 (2) (2)由水平投影可确定由水平投影可确定EKEK在前，平面在前，平面ABCABC在后，所以正面投在后，所以正面投影中影中e ek k为可见，另一段为不可见。为可见，另一段为不可见。 二、相交问题二、相交问题1.1.直线与平面相交直线与平面相交 (2) (2)在正面投影中连在正面投影中连b bg g求出求出k k。 (3) (3)由重影点由重影点的正面投影的正面投影1 1( (2 2 ) )求出水平投影分别是求出水平投影分别是1 1在平面在平面ABCABC上，上，在直线在直线EFEF上。即平面在前，直线在后，上。即平面在前，直线在后，k k 到到1 1( (2 2 ) )为虚线。为

16、虚线。 (1) (1)过过e(fe(f) )点，作辅助线点，作辅助线bgbg，交，交acac于于g g。例题例题7 7：求直线：求直线EFEF与平面与平面ABC ABC 的交点的交点。 (2) (2)在正面投影中求在正面投影中求m mn n与与e ef f 交点交点k k。返回。返回H H面投影，求面投影，求出出k k。 (3)(3)水平投影中的可见性作如下判别：由交叉直线水平投影中的可见性作如下判别：由交叉直线EFEF与与BCBC的重影点的重影点判别可见性。判别可见性。在直线在直线EFEF上，靠上方，上，靠上方，在在直线直线BCBC上，靠下方。故直线段上，靠下方。故直线段ekek可见。可见。

17、 (4)(4)由正面投影的可见性判别方法得由正面投影的可见性判别方法得e ek k可见。可见。 (1) (1)在水平投影中过在水平投影中过efef作铅垂面作铅垂面RHRH，求出，求出RHRH与平面与平面ABCABC的的交线交线MN(mMN(mn n，mnmn,),)。例题例题8 8：求直线：求直线EFEF与平面与平面ABC ABC 的交点的交点。 ( (3)3)可见性由观察法来完成。平面可见性由观察法来完成。平面ABCABC与平面与平面EFHGEFHG在水平在水平投影的前后来判别。在投影的前后来判别。在mnmn的右侧平面的右侧平面ABCABC在前，在在前，在mnmn左侧平面左侧平面EFHGEF

18、HG在前。在前。 ( (4)4)在图中可看出可见性在两平面的相交区域，虚线和实在图中可看出可见性在两平面的相交区域，虚线和实线是交替变化的。线是交替变化的。 2.2.平面与平面相交平面与平面相交例题例题9 9：求平面：求平面ABC与平面与平面EFHG 的交线。的交线。 ( (1)1)由铅垂面的积聚性，在水平投影中求出平面由铅垂面的积聚性，在水平投影中求出平面ABCABC与平与平面面EFHGEFHG的交线的交线mnmn。 ( (2)2)由由m m得到正面投影得到正面投影mm， 由由n n得到正面投影得到正面投影nn。 三、垂直问题三、垂直问题1.1.直线与平面垂直直线与平面垂直 一条直线垂直于平

19、面内的两条相交直线。该直线与平面一条直线垂直于平面内的两条相交直线。该直线与平面垂直。垂直。2.2.平面与平面垂直平面与平面垂直 若一平面包含另一平面的垂线，则两平面垂直。若一平面包含另一平面的垂线，则两平面垂直。2.7 2.7 换面法换面法 换面法就是变换投影面法。在工程实际中为解决几何换面法就是变换投影面法。在工程实际中为解决几何元素的定位和度量问题，将几何元素由一般位置通过变换元素的定位和度量问题，将几何元素由一般位置通过变换投影面法转换为特殊位置，以达到解决问题的目的。如在投影面法转换为特殊位置，以达到解决问题的目的。如在新的投影面上能得到直线新的投影面上能得到直线ABAB的实长和平面

20、的实长和平面ABCABC的实形。的实形。一、换面法中确定新投影面的原则一、换面法中确定新投影面的原则 新投影面必须垂直于原投影面体系中一个不变的投影面。新投影面必须垂直于原投影面体系中一个不变的投影面。 新投影面必须使空间几何元素对其投影有利于定位和度量。新投影面必须使空间几何元素对其投影有利于定位和度量。二、换面法中点投影的变换规律二、换面法中点投影的变换规律点的投影变换规律：点的投影变换规律： 点的新投影与不变的旧投影的连线垂直于新的投影轴。点的新投影与不变的旧投影的连线垂直于新的投影轴。 点的新投影到新投影轴的距离等于被替换的旧投影到旧点的新投影到新投影轴的距离等于被替换的旧投影到旧投影

21、轴的距离。投影轴的距离。1 1. .点的一次换面点的一次换面 作新投影面作新投影面H H1 1垂直于垂直于V V面，用以代替面，用以代替H H面，就形成面，就形成V V/ /H H1 1体系。体系。其中其中V V面为不变的投影面，面为不变的投影面，H H为旧投影面。由点的投影规律：为旧投影面。由点的投影规律：a aa a1 1O O1 1X X1 1，aaaaX Xa a1 1a aX1X1 确定确定a a1 1投影。投影。 2 2. .点的二次换面点的二次换面2点的第一次换面：点的第一次换面：aa1X1，a aX = a1 aX1；点的第二次换面：点的第二次换面：a1a2X2 ；aaX1=a

22、2aX2。 三、四个基本问题三、四个基本问题1 1. .将一般位置直线变换成投影面的平行线将一般位置直线变换成投影面的平行线 变换变换V V面，面，ABAB在在V V1 1 /H /H 面中是正平线。由点的一次换面面中是正平线。由点的一次换面得到得到a a1 1b b1 1。a a1 1b b1 1是直线是直线ABAB的实长。的实长。a a1 1b b1 1与与X X1 1的夹角为直线的夹角为直线 ABAB与与H H 面的夹角面的夹角。 2 2. .将一般位置直线变换成投影面的垂直线将一般位置直线变换成投影面的垂直线2 将一般位置直线变换成投影面的垂直线，换一次面是不行的。将一般位置直线变换成

23、投影面的垂直线，换一次面是不行的。H H2 2与原投影面与原投影面V V、H H 均不垂直。均不垂直。 将一般位置直线变换成投影面的垂直线必须二次换面。变换将一般位置直线变换成投影面的垂直线必须二次换面。变换V V 面，面，AB AB 在在V V1 1 / /H H 面中是正平线。由点的换面得到面中是正平线。由点的换面得到a a1 1b b1 1。再变换。再变换 H H 面，面，AB AB 在在V V1 1 / /H H2 2 面中是铅垂线。面中是铅垂线。由点的换面得到由点的换面得到a a2 2( (b b2 2) )。 3 3. .将一般位置平面变换成投影面的垂直面将一般位置平面变换成投影面的垂直面 先在平面先在平面EFG EFG 内任取一条投影面内任取一条投影面H H 面的平行线，如水平线面的平行线，如水平线 E E1 1。再变换。再变换V V