《应用微积分》3.3高阶导数

1、主讲教师： 第第 3 章章 导数与微分导数与微分导数概念导数概念求导法则求导法则高阶导数高阶导数函数的微分函数的微分高阶导数的概念高阶导数的概念12高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则xysinxycosxxysin)cos()(可继续求导，可继续求导，-二阶导数二阶导数若若 )(xfy在在 x处可导，把处可导，把 )(xfy在在 x处的处的导数导数)(xfy 的二阶导数的二阶导数 y )( xf或或 22dxyd即即 )( yy)(22dxdydxddxyd相应地相应地 把把 )(xfy叫作函数叫作函数 )(xfy 的一阶的一阶导数导数,类似地类似地 二阶导数的导数叫做三阶导数二阶导数的导数

2、叫做三阶导数 一般地一般地 (n 1)阶导数的导数叫做阶导数的导数叫做n 阶导数阶导数 分别记作分别记作,y ,)4(y)(,ny或或 33dxyd44dxyd nndxyd或或 称为函数称为函数) )( xf记作记作定义定义3.11) 二阶导数的定义式：二阶导数的定义式： xxfxxfxfx)()(lim) )(02) 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。3) 函数函数 )(xf具有具有n 阶导数阶导数 也常说成也常说成)(xf为为n 阶可导。阶可导。处具有处具有n 阶导数阶导数 那么函数那么函数 4) 如函数如函数 )(xfy 在点在点 x)(xfy 在点在

3、点 x的某一邻域内必定具有一切低于的某一邻域内必定具有一切低于n 阶阶的导数。的导数。求高阶导数就是多次连续地求导数，仍可应用前面求高阶导数就是多次连续地求导数，仍可应用前面学过的求导学过的求导方法来计算高阶导数。方法来计算高阶导数。直接法直接法: : 由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数. .xy121xy 高阶导数求法高阶导数求法解解,ln xy 求 y 例例1求幂函数求幂函数 xy 的的n 阶导数阶导数 .1xy2) 1( xy3)2)(1( xy， 4)4()3)(2)(1(xy一般地：一般地： nnxny) 1()3)(2)(1()(即即 nnxnx) 1()

4、 3)(2)(1()()(【特别特别】当 n，即 nxy !)(nxn解解例例2 naxy ，则，则 !)()(naaxynn 一般一般 nnxaxaxaay2210则则 nnany!)(特别注意的是特别注意的是 0)()1(nnx 828321xxxy，求，求 )9()8(, yy 5 xy，求，求 )5(yn n阶导数。阶导数。 求函数求函数 xay 的的 aayxln， aayx2ln 一般地有：一般地有： xnxee)()() 0(ln)()(aaaanxnxaayx3ln xey2 求求 )5(y， xy2 ，求，求 )8(y【特别特别】解解例例3求求 xysin的的n 阶导数阶导数

5、 xysin， )2 sin(cosxxy)2 2sin()2 2 sin()2 cos( xxxy)2 3sin()2 2 2sin()2 2cos( xxxy)2 4sin()2 3cos()4(xxy 一般地有：一般地有： )2 sin()(nxyn即即 )2 sin()(sin)(nxxn用类似方法可得：用类似方法可得： )2 cos()(cos)(nxxn解解例例4更一般地：)2 sin()(sin)(nkxkkxnn)2 cos()(cos)(nkxkkxnn 求 xysin)4(y xy3cos求 )8(y求函数求函数 的的n 阶导数阶导数 xy11首先将函数写成幂函数形式，即首

6、先将函数写成幂函数形式，即 1)1 (11xxy2)1 (xy3)1 (21 xy4)1 (321 xy， 一般地有：一般地有： )(11nx1)1 (!) 1(nnxn解解例例5 xy21，求，求 )4(y， xy21 ，求，求 )5(y。 求求n n阶导数时阶导数时, ,求出求出1-31-3或或4 4阶后阶后, ,不要急于合并不要急于合并, ,分析结果的分析结果的规律性规律性, ,写出写出n n阶导数。阶导数。更一般地：更一般地： )(1nxa1)(!) 1(nnxan类似可求出：类似可求出： )(11nx1)1 (!nxn)(1nxa1)(!nxan熟记下列公式熟记下列公式, , 今后可

7、以利用这些公式间接地今后可以利用这些公式间接地求一些函数的高阶导数。求一些函数的高阶导数。(1) (1) (2) (2) (3) (3) (4) (4) (5) (5) )0(ln)()(aaaanxnx，特别：，特别： xnxee)()()2 sin()(sin)(nkxkkxnn)2 cos()(cos)(nkxkkxnn)(1nxa1)(!) 1(nnxan)(1nxa1)(!nxan若函数若函数 )(xuu 及及 )(xvv 都在点都在点x 处具有处具有n 阶导数阶导数 )()(xvxu也在点也在点x 处具有处具有n 阶导数阶导数 且且 (1) (2) )()()()()()(nnnx

8、vxuxvxu)()(c)c (nnuu则函数则函数 利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式, 通过求导法则通过求导法则,变量代换等变量代换等 方法方法, 求出求出n阶导数。阶导数。 间接法求导法间接法求导法: 已知已知 2312xxy，求，求 )(ny1121xxy11)() 1(1)2(1!) 1(nnnnxxny求下列函数的求下列函数的n 阶导数阶导数 xxy11xy1解解例例6设设 yexy2， 求求 22dxyd两边求导：两边求导： 2yeyy整理得整理得 yey12再求导：再求导： 22dxyd2)1 (2yyeye解解例例7已知已知 , 144yxyx求求 y 在点在点 的

9、值。的值。 ) 1 , 0(两边求导：两边求导： 04433yyyxyx代入代入 0 x1y得：得： 4110yxy两边再求导：两边再求导： 04)(122123222 yyyyyxyx代入代入 0 x， 1y， 4110yxy，得：，得： 16110 yxy 设设 yxey1，求，求 022xdxyd 0sinyyx，求，求 22dxyd解解例例8设参数方程设参数方程 ttytxarctan)1ln(2，求，求 22dxyd212ttdtdx， 2221111tttdtdy2121222tttttxydxdyttttttdxdtdtdxdyddxdxdyddxyd4112121)()(322

10、2解解例例9求由下列参数方程所确定的函数的二阶导数：求由下列参数方程所确定的函数的二阶导数： 摆线摆线 )cos1 ()sin(tayttax tytx122如果如果 的导函数的导函数 )(xfy )( xf在区间上连续，则称在区间上连续，则称 )(xfy 连续可导，连续可导， 不难理解，连续可导必可导，但是未必二阶可导。不难理解，连续可导必可导，但是未必二阶可导。Mxf)(Axfx)(lim)()(lim0 xfxfx)( )()(lim0000 xfxxxfxfxx)( )( lim0 xfxfx)( )( )( lim0000 xfxxxfxfxx有有界界收收敛敛连连续续可可导导连连续续

11、可可导导二二阶阶可可导导回忆有界、收敛、连续、可导、连续可导以及回忆有界、收敛、连续、可导、连续可导以及高阶导数的概高阶导数的概 念，诸概念之间的关系逐渐增强，念，诸概念之间的关系逐渐增强，可图示为可图示为(1) (1) 逐阶求导法逐阶求导法(2) (2) 间接法间接法 利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式高阶导数的求法高阶导数的求法)0(ln)()(aaaanxnx，特别：，特别： xnxee)()()2 sin()(sin)(nkxkkxnn)2 cos()(cos)(nkxkkxnn)(1nxa1)(!) 1(nnxan)(1nxa1)(!nxan1. 1. 已知已知 xxy44cossin, , 求求 )(ny2222)(cos)(sinxxy）（xx22cossin）（xx22cossin22cos1x22cos1xx2cosn2)22cos( nxxy1211)()1 (!) 1(2nnnxny2. 求下列函数的求下列函数的n 阶导数。阶导数。xxy11) 1 (解解解解备备 用用 题题xxxy11123,)1 (!1)(nxnynnxxy1)2(3解解1求下列函数的二阶导数求下列函数的二阶导数 2xeyxxxyarcsin21122xeyx2cos42xxyxxxyarctan2111ln41(1) xy3sinln(1)(2) (3)(4)(5) (6)