中考数学压轴题汇编(含解题过程)

1、15、（ 2009年烟台市）26.（本题满分14分）2如图，抛物线 y ax bx 3与x轴交于 A B两点，与y轴交于 C点，且经过点（2，3a），对称轴是直线x 1，顶点是M .（1）求抛物线对应的函数表达式；（2） 经过C,M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P, A C, N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3） 设直线y x 3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E （不与B, D重 合），经过 A, B, E三点的圆交直线 BC于点F ,试判断 AEF的形状，并 说明理由；（4）当E是直线yx 3上任意一点时

2、,3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）x26.（本题满分14分）3a4a2b 3,解：(1)根据题意，得b1.2分解得a1,2ab2.抛物线对应的函数表达式为yx2 2x 3 .3分(2)存在.在y2 x2x 3中，令x0,得y 3 .令y0,得 x2 2x 30,X11,x23 .A1FPCxM（第 26题图）A( 1,0) , B(3,0) , C(0, 3).又 y （x 1）2 4 ,顶点 M（1,4）.分容易求得直线CM的表达式是y x 3.在y x 3中，令y 0，得x 3 .N( 3,0) , AN 2 .分2 在 y x 2x 3 中，令 y3，得 Xi 0, X2 2 .

3、CP 2, AN CP.Q AN / CP , 四边形ANCP为平行四边形，此时 P(2, 3) .分(3) AEF是等腰直角三角形.理由：在y x 3中，令x 0,得y 3，令y 0,得x 3 .直线y x 3与坐标轴的交点是 D(0,3) , B(3,0).OD OB, OBD 45°分又Q 点 C(0, 3) , OB OC . OBC 45° 10 分由图知 AEF ABF 45° AFE ABE 45°11 分EAF 90°且AE AF . AEF是等腰直角三角形. 12分(4) 当点E是直线y x 3上任意一点时，(3)中的结论成立

4、. 14分16、（ 2009年山东省日照）24.（本题满分10分）已知正方形 ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF丄BD交BC于F ,连接DF , G为DF中点，连接EG, CG .（1）求证：EG=CG;（2）将图中厶BEF绕B点逆时针旋转450,如图所示，取 DF中点G,连接EG , 。6.问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.（3）将图中厶BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）第24题图第24题图24（本题满分 10 分）解：（1）证明：在Rt FCD中,

5、 G为DF的中点， CG= FD . 1 分同理，在Rt DEF中，EG= FD . 2 分 CG=EG . 3分 4分EF 的延长线交于 N 点(2)( 1)中结论仍然成立，即 EG=CG . 证法一：连接AG，过G点作MN丄AD于M，与 在厶DAG与厶DCG中，/ AD=CD，/ ADG= / CDG , DG=DG , DAG DCG . AG=CG . 5分在厶DMG与厶FNG中，/ / DGM= / FGN , FG=DG，/ MDG= / NFG , DMG FNG . MG=NG在矩形 AENM 中，AM=EN . 6分在 Rt AMG 与 Rt ENG 中，/ AM=EN ,

6、MG=NG , AMG ENG . AG=EG . EG=CG . 8 分证法二：延长 CG 至 M, 使 MG=CG ，连接 MF , ME, EC, 4 分在厶DCG 与厶FMG中， / FG=DG，/ MGF= / CGD , MG=CG , DCG FMG . MF=CD，/ FMG = Z DCG .此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除本文档可自行编辑和修改内容，感谢您的支持 MF / CD / AB .在 Rt MFE 与 Rt CBE 中，/ MF=CB , EF=BE, MFE CBE .- . 6分/ MEC = Z MEF +Z FEC =Z CEB + Z CEF

7、 = 90°. 7 分 MEC为直角三角形./ MG = CG , EG= MC .-. 8分(3)( 1)中的结论仍然成立，即EG=CG .其他的结论还有：EG丄CG.10分17、( 2009年潍坊市)24.(本小题满分 12分)如图，在平面直角坐标系 xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点抛物线 y ax2 bx c与y轴交于点D，与直线y x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C .(1) 求抛物线的解析式；(2) 抛物线的对称轴交 x轴于点E，连结DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长.(3) 过点B作圆O的切线交DC的

8、延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由.24.(本小题满分12分)解：(1) Q圆心O在坐标原点，圆 O的半径为1,点 A、B、C、D 的坐标分别为 A( 1,0、 B(0, 1)、C(1,0、D(0,Q抛物线与直线y x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C ,M ( 1, 1)、N(1,1).Q点D、M、N在抛物线上,将 D(01)、M( 1, 1)、N(1,1)的坐标代入2y ax bx c，得:解之，得：b 11aFDb cc 14.55EFFDDE10(3 )点P在抛物线上.设过D、C点的直线为：y kx b ,将点C(1,0> D(01)的坐标代入y k

9、x b，得：k1, b 1,直线DC为：y x 1 .过点B作圆O的切线BP与x轴平行，P点的纵坐标为y 1 ,将y 1代入y x 1，得：x 2.11分P点的坐标为(2, 1),当x2 时，yx2x 122 2 1 1 ,所以，P点在抛物线yx2x 1 上. 12分说明：解答题各小题中只给出了1种解法，其它解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应的分数.18、( 2009年山东临沂市)26 .(本小题满分13分)如图，抛物线经过 A(4,0), B(1,0), C(0,2)三点.(1 )求出抛物线的解析式；(2) P是抛物线上一动点，过 P作PM X轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A, P,

10、 M为顶点的三角形与 OAC相似？若存在，请求出符合条件的点 P的坐标；若不存在， 请说明理由；(3) 在直线AC上方的抛物线上有一点 D,使得 DCA的面积最大，求出点D的坐标.10分此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除本文档可自行编辑和修改内容，感谢您的支持26.解:1) Q该抛物线过点C(0, 2),可设该抛物线的解析式为y ax2 bx 2 .将 A(4,0), B(1, 0)代入,16a 4b 2 0, a b 2 0.解得此抛物线的解析式为y-x2 -x 2.2 2(2)存在.(3 分)(4分)如图，设P点的横坐标为m,1 25则P点的纵坐标为 m m2,2 2当1 m 4

11、时，AM 4 m , PM又 Q COAPMA1 2 5 o m m 2 .2 290°y'(第 26题图)当AMPMA0-时,OC 1 APM ACO,1 25即 4 m 2 m m 22 2解得 mi 2, m- 4 （舍去），P（2,）. （6 分）AM OC 115当-时， APM sCAO，即 2（4 m）- m2 -m 2 .PMOA 222解得g 4 , m2-（均不合题意，舍去）当 1 m 4 时，P（2 ,，） .（7 分）类似地可求出当 m 4时，P（5，2） .（8分） 当 m 1 时，P（ 3，14）.综上所述，符合条件的点P为（2 ,，）或（5，2）

12、或（3，14） . （9分）（3）如图，设D点的横坐标为t（0 t1丄25丄ctt 2224），则D点的纵坐标为此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除本文档可自行编辑和修改内容，感谢您的支持过D作y轴的平行线交AC于E （10 分）1E点的坐标为t,t22DE1t25t 21t 2丄t22t222211 22Sa DAC-t2t4t 4t（t22由题意可求得直线 AC的解析式为y 1x 2 2当t 2时， DAC面积最大.（11 分）2）2 4 （13 分）19、(2009年山东省济宁市)26.(12分)在平面直角坐标中，边长为 2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上

13、，点O在原点.现将正方形 OABC绕O点顺时针旋转，当 A点第一次落在直线y x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y x于点M , BC边交x轴于点N(如图).(1) 求边OA在旋转过程中所扫过的面积；(2) 旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；(3) 设 MBN的周长为p，在旋转正方形 OABC 的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论 .26. (1)解： A点第一次落在直线 y x上时停止旋转, OA旋转了 45°. OA在旋转过程中所扫过的面积为45-360(2)解： MN / AC ,BMNBAC 45 , BNM BCA45 .BMNBNM .

14、 BM BN.又 BABC , AMCN .又 OAOC, OAMOCN , OAM OCN .AOMCON . 1AOM (9045.2旋转过程中，当 MN和AC平行时，正方形 OABC旋转的度数为45(3) 答：p值无变化.证明：延长BA交y轴于E点，贝U AOE 450AOM ,CON 900 45°AOM 45°AOM , AOECON .又 OA OC , OAE 180° 90° 90°OCN . OAE OCN . OE ON ,AE CN .p MN BN BMAM CN BN BM AB BC 4.在旋转正方形12分又MOEM

15、ON45°,OMOM , OMEOMN . MNMEAM AE MNAMCN ,20、( 2009年四川遂宁市)25.如图，二次函数的图象经过点D(0, 7 .3)，且顶点C的横9坐标为4，该图象在x轴上截得的线段 AB的长为6.求二次函数的解析式；在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小，求出点P的坐标；在抛物线上是否存在点 Q,使厶QABW ABCt目似？如果存在， 求出点Q的坐标；如果 不存在，请说明理由.25.设二次函数的解析式为:2y=a(x-h) +k顶点C的横坐标为4,且过点（0, 7 .3）9 y=a（x-4） +k7 . 3 16a k 9又对称轴为直线x=4

16、，图象在x轴上截得的线段长为6 A(1 , 0) , B(7 , 0) 0=9a+kf由解得an3 , k= 39二次函数的解析式为：y=（x-4）2 39点 A B关于直线x=4对称 PA=PB PA+PD=PB+P® DB当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值 DB与对称轴的交点即为所求点 P设直线x=4与x轴交于点M/ PM/ OD / BPM2 BDO 又/ PBMM DBO BPM BDO7/3 3 厂 PM BM .9. 3PM DO BO73点P的坐标为(4 , 3 )3由知点C(4 ,3),又 AM=3, 在 Rt AMC中,cot / ACM= ,3/ ACM=6

17、0,t AC=BC./ ACB=120 当点Q在x轴上方时，过 Q作QNL x轴于N如果 AB=BQ 由厶 ABSA ABQ有BQ=6 / ABQ=120,则/ QBN=60 QN=3 3 , BN=3 , ON=10 ,此时点Q(10 , 3 3),如果AB=AQ由对称性知 Q(-2 , 3 3) 当点Q在x轴下方时， QAB就是厶ACB此时点Q的坐标是(4，_ 3 )，经检验，点(10，3 3)与(-2，3 3)都在抛物线上综上所述，存在这样的点Q使厶QABA ABC点Q的坐标为(10 , 3 3)或(-2 , 3 3)或(4,3).21、(2009年四川南充市)21.如图9,已知正比例函

18、数和反比例函数的图象都经过点A(3 ,3).(1) 求正比例函数和反比例函数的解析式；(2) 把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B(6 , m),求m的值和这个一次函 数的解析式；(3) 第(2)问中的一次函数的图象与X轴、y轴分别交于 C、D,求过A、B、D三点的 二次函数的解析式；(4) 在第(3)问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E ,使四边形OECD的面积Si与2四边形OABD的面积S满足：S -S ?若存在，求点 E的坐标；若不存在，请说明理由.21.解：(1)设正比例函数的解析式为y kix(ki0),因为y k1x的图象过点 A(3,3)，所以 3 3ki，解得 k

19、i这个正比例函数的解析式为y x . (1分)设反比例函数的解析式为y k2(k20).x因为y 邑的图象过点A(3,3)，所以x3 kj2，解得 k2 9 .39这个反比例函数的解析式为y . (2分)x9(2)因为点B(6, m)在y 的图象上，所以x9 33m，则点 B 6, . (3 分)6 22设一次函数解析式为 y k3x b(k30).因为y k3x b的图象是由y x平移得到的,所以k31，即y x b .3又因为y x b的图象过点B 6,23 ，所以23 96 b，解得b229一次函数的解析式为 y x . (4分)299(3) 因为y x 的图象交y轴于点D，所以D的坐标

20、为 0,.22设二次函数的解析式为 y ax2 bx c(a 0).39因为y ax2 bx c的图象过点A(3,3)、B 6,、和D 0,229a3b3,所以36a6b（5分）解得12 ,4,92.这个二次函数的解析式为4x（6分）（4） Q yI交x轴于点C,点C的坐标是如图所示,1545 18814假设存在点E（x°, y°）fs814272Q四边形CDOE的顶点E只能在x轴上方,y。19 919a。22 22819Y0.84819273yy08422SSocdSa oceQ E(x°, y°)在二次函数的图象上,4x09解得x02或x06 .3当

21、xo 6时，点E 6, 与点B重合，这时CDOE不是四边形，故 X) 6舍去,2(8 分)点E的坐标为2，|_ . . 222、( 2009年四川凉山州)26.如图，已知抛物线 y x bx c经过A(1,0) , B(0,2)两 点，顶点为D .(1) 求抛物线的解析式；(2 )将厶OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将抛物线沿 y轴平移后 经过点C，求平移后所得图象的函数关系式；(3)设(2)中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B，顶点为D1，若点N在平移后的抛物线上，且满足 NBB!的面积是 NDD1面积的2倍，求点N的坐标.10分此文档部分内容来源于网络，如有侵

22、权请告知删除本文档可自行编辑和修改内容，感谢您的支持(2) QA(1,0) , B(0,2),OA 1, OB 226.解：(1)已知抛物线yx2 bxc 经过 A(1,0,B(0,2),0 1 b cb3解得2 0 0 cc2所求抛物线的解析式为yx2 3x2 分可得旋转后C点的坐标为(31) ITb b5 - 423 一 2X3其对称轴为x .2-B图当x 3时，由y x 3x 2得y 2 ,可知抛物线y x2 3x 2过点（3,2）将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C .平移后的抛物线解析式为：y x2 3x 1 22（3） Q点N在y x 3x 1上，可设N点坐标为（x°

23、, x° 3x° 1）将y x2 3x 1配方得y3当o &时，如图,QNBBt 2SaNDD.Q x012 此时 Xo 3xo 11N点的坐标为（1, 1）3当Xo时，如图21 13同理可得丄1 x021x0-2 22xo 32此时 x0 3x011点N的坐标为（31）.综上，点N的坐标为（1, 1）或（31）.23、（ 2009年武汉市）25.（本题满分12分）如图，抛物线 y ax2 bx 4a经过A（ 1,0）、C（0,4）两点，与x轴交于另一点 B .（1）求抛物线的解析式；（2） 已知点D（m, m 1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的

24、坐标;(3)标.在（2）的条件下，连接 BD ,点P为抛物线上一点，且DBP 45° ,求点P的坐25.解：（1）Q抛物线2ax bx 4a 经过 A(x4a4a 0,4.解得ab1,3.抛物线的解析式为x2 3x 4.(2) Q 点 D(m, m1）在抛物线上,2小m 3m即 m2 2m 30,Q点D在第一象限,点D的坐标为(3,4).CBA 45° .由（1）知 OA OB,设点D关于直线BC的对称点为点E .QC(0,4),CD /AB , 且 CD 3,ECBDCB45。，E点在y轴上，且CE CD 3.OE 1,E(0,).由(1)有:OB OC 4,OBC 45

25、°,QDBP45。，CBDPBA.QC(0,4,D (3,4),CD /OB 且 CD 3DCECBO 45°,即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0, 1）.（3）方法一：作PF丄AB于F , DE丄BC于E .DECE322 .QOBOC4,BC,BEtanPBFtanCBDDE3BE5设PF3t ,则BF5t ,OF5t 4,BC CEP(5t 4,3t).Q P点在抛物线上,3t ( 5t 4)23( 5t4)t 0 （舍去）或t2225，2 66.5 25D作DH丄x轴于H .过Q点作QG丄DH于G .Q PBD45 ° QD DB .QDGBDH90&

26、#176;又 DQGQDG90° ,DQGBDH . QDGDBH,QGDH4 ,DG BH由（2）知D(3,),Q( 13)Q B(4,0),直线BP的解析式为y312x55解方程组2y x33x 4,12得x4,x25yx55 ,y10;y26625.方法二：过点 D作BD的垂线交直线 PB于点Q，过点1 .66点P的坐标为x2.5 25此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除本文档可自行编辑和修改内容，感谢您的支持24、（ 2009年鄂州市）27.如图所示，将矩形 OABC沿AE折叠，使点 O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形 CFGH，延长BC至M，使CM =| CF

27、 EO |,再以 CM、CO为边作矩形CMNO(1) 试比较EO、EC的大小，并说明理由S四边形CFGH(2) 令m，请问m是否为定值？若是，请求出 m的值；若不是，请说明理由S四边形CNMN ；12(3) 在(2)的条件下，若 CO = 1, CE= , Q为AE上一点且QF =，抛物线y = mx2+bx+c33经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式.在的条件下，若抛物线 y= mx2+bx+c与线段AB交于点P,试问在直线 BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与 AEF相似？若存在，请求直线 KP与y轴的交点T的坐标？若不存在，请说明理由。27、( 1) EO >EC

28、,理由如下：由折叠知，EO=EF，在Rt EFC中，EF为斜边，二EF> EC, 故EO> EC2分(2) m为定值T S 四边形 cfgh=CF2=ef2 EC2=eO2 EC2=(EO+EC)(EO EC)=CO (EO EC)S四边形cmno =CM CO=|CE E0| CO=(EO EC) CO.S四边形CFGH彳m1S四边形CMNO121 2(3) C0=1, CE -, QF EF=E0= 1QF333 31 cos/ FEC=FEC=60 ° ,2180 60- FEA600EA,EA0 3022 EFQ为等边三角形， EQ31作 QI 丄 EO 于 I,

29、 EI= EQ2Q点坐标为.IO= I.j'31抛物线 y=mx2+bx+c 过点 C(0, 1), Q(, ) , m=13 3可求得 b . 3 , c=1(4)由(3), AO 3EO 332221当 x 时，y (-”； 3) $. 3 - 31 v AB抛物线解析式为y x2、3x 13333 P点坐标为(2 2,1) 8分331 2- BP= 1AO3322 34 38 3BK3 时，BKK点坐标为（,1）或（,1）22.39993322 34 “ 3八BK3 时，BK K点坐标为(,1)或(0,1)10分2.323333故直线KP与y轴交点T的坐标为57(0, ?或(0,

30、-)或(0,3313)或(0,1)312分方法1:若厶PBK与厶AEF相似，而厶AEF AEO ,则分情 况如下：方法2:若厶BPK与厶AEF相似，由（3）得：/ BPK=30。或60°,过P作PR丄y轴于R,则/ RTP=60。或 30°233 2当/ RTP=30。时，RT3当/ RTP=60。时，222RT3-33751-£（0,3）, T2（0, -）, T3（0, -）, T4（0,1） 12分33325、（ 2009年湖北省黄石市）24、（本题满分9分）如图甲，在 ABC中，/ ACB为锐角，点 D为射线BC上一动点，连结 AD，以AD 为一边且在AD

31、的右侧作正方形 ADEF。解答下列问题：（1）如果AB=AC，/ BAC=90 °，当点 D在线段BC上时（与点 B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为。当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果 AB工AC，/ BAC工90°点D在线段 BC上运动。试探究：当 ABC满足一个什么条件时， CF丄BC （点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由。（画图不写作法）（3）若 AC=4 . 2，BC=3，在（2）的条件下，设正方形 ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值。24、解：（1 CF 丄

32、 BD，CF=BD成立，理由如下：/ FAD= / BAC=90 °/ BAD= / CAF又 BA=CAAD=AF BAD CAF CF=BD / ACF= / ACB=45/ BCF=90 ° CF丄 BD（2）当/ ACB=45 °时可得 CF丄BC，理由如下：如图：过点A作AC的垂线与CB所在直线交于 G贝ACB=45 ° AG=AC/ AGC= / ACG=45/ AG=ACAD=AF （ 1 分） GAD CAF （ SAS）ACF= / AGD=45 °/ GCF= / GCA+ / ACF=90 ° CF丄 BC（3）如图：作AQBC于Q / ACB=45 ° AC=4 . 2-CQ=AQ=4 / PCD= / ADP=90（1 分）/ ADQ+ / CDP= / CDP+ / CPD=90. PC = CDDQ = AQ设 CD 为 x ( Ov x