中考数学压轴题解题技巧解说

1、中考数学压轴题解题技巧解说数学压轴题是初中数学中覆盖知识面最广，综合性最强的题型。综合近年来各地中考的实际情况，压 轴题多以函数和几何综合题的形式出现。压轴题考查知识点多，条件也相当隐蔽，这就要求学生有较强的 理解问题、分析问题、解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识 和创新能力，当然，还必须具有强大的心理素质。下面谈谈中考数学压轴题的解题技巧。如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD勺三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8, 8).抛物线y=ax大部分压轴题都是几何图形和代数函数图形相结合，在动点的运动中存在一些特殊情况下的边长、面 积、边边关系、面积

2、和边的关系等。特殊情况是指动点在变化过程中引起图形变化发生质的变化，如由三 角形变成四边形，由四边形变成五边形，这时一定要注意分类讨论+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式; 动点P从点A出发.沿线段 AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动.速度均为每秒 1个单位长度，运动时间为 t秒.过点P作PEI AB交AC于点E.过点E作EF丄AD于点F,交抛物线于点 G.当t为何值时,线段EG最长?连接EQ在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得厶Q4?请直接写出相应的 tCEQ是等腰三角形解：(1)点A的坐标为(4, 8)将 A (4 , 8)、C

3、 (8,0)两点坐标分别代入y=ax2+bx8=16a+4b< 0=64a+8b1解得a=,b=42抛物线的解析式为:y=- 1 x2+4x2PE bc(2)在 Rt APE和 Rt ABC中，tan / PAE= =,即AP AB AP 8PE 41 1 PE=AP=t.2 2PB=8-t .14+t , 8-t ).211点G的纵坐标为：-一(4+ t )221 2 1 2 EG=- t +8-(8-t) =- t +t.8 81/ - V 0,当t=4时，线段EG最长为2.8共有三个时刻点E的坐标为(2+4(4+ 11) =- 1 t2+8.811分=40, t3=氏 动点题肯定是

4、图形题，图形题是中考试重点，分值在100分以上（满分150.包括统计和概率） 2 知识的储备：熟练掌握所有相关图形的性质。a、三角形（等腰、直角三角形）b、平行四边形（矩形、菱形、正方形）c、圆d、函数（一次函数，正比例函数，反比例函数，二次函数） 坐标系中的四大金刚： 两个一次函数平行，K值相等； 两个一次函数互相垂直，K值互为负倒数。任意两点的中点坐标公式；任意两点间距离公式。函数图形与x, y坐标轴的交点连线的夹角也常常用到，所以要小心；有些特殊点会形成特殊角，这一点也要特别注意。 做题思路，有三种。1、把几何图形放到坐标系中看看数据的变化。2、把坐标系中的图形提出坐标系看看图形的变化。

5、3、把图形最难理解的部分提炼出来重点分析（即去掉无用的图形线段）。.132.5压轴题的做题技巧如下:1、对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识，根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止“捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的 上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检 查一遍。2、解数学压轴题做一问是一问。第一问对绝大多数同学来说，不是问题；如果第一小问不会解，切 匸 t ' 1 fa-w r " 1 * r * r r t r * 忌不可轻易放弃第二小问。过程会多少写多

6、少，因为数学解答题是按步骤给分的，写上去的东西必须要规 范，字迹要工整，布局要合理；过程会写多少写多少，但是不要说废话，计算中尽量回避非必求成分；尽 量多用几何知识，少用代数计算，尽量用三角函数，少在直角三角形中使用相似三角形的性质。3、解数学压轴题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要 全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特

7、征 的关系，确定解题的思路和方法当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐 蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。压轴题解题技巧题型分类解说一、对称翻折平移旋转1.(南宁)如图12,把抛物线y x2 (虚线部分)向右平移 1个单位长度，再向上平移 1个单位长度，得到抛物线h，抛物线12与抛物线h关于y轴对称点A、0、B分别是抛物线h、I2与X轴的交点，D、C分别是抛物线h、I2的顶点，线段CD交y轴于点E.(1) 分别写出抛物线h与I2的解析式;(2) 设P是抛物线h上与D、0两点不重合的任意一点，Q点是P点关于y轴的对称点，试判断以 P、Q、 C、 D为

8、顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由12(3)在抛物线h上是否存在点M，使得S ABmS四边形A0ED，如果存在，求出 M点的坐标，如果不存在，请说明理由22.（福建宁德）如图，已知抛物线 C： y a x 25的顶点为P,与x轴相交于A B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1.（1 ）求P点坐标及a的值；（4分）（2） 如图（1），抛物线C2与抛物线C关于x轴对称，将抛物线 C2向右平移，平移后的抛物线记为 C，C3的顶点为M当点P、M关于点B成中心对称时，求 C3的解析式；（4分）（3） 如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点Q旋转180°后得到抛物线

9、C.抛物线 C4的顶点为N,与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P N、F为顶点的三角形是直角三 角形时，求点 Q的坐标.（5分）B(X2, 0)两点，且xi> X2，与y轴交于点C(0 , 4)，其二、动态：动点、动线3.(辽宁锦州)如图，抛物线与 x轴交于A(xi, 0)、 中Xi、X2是方程x2 2x 8 = 0的两个根.(1) 求这条抛物线的解析式；(2) 点P是线段 AB上的动点，过点 P作 PE/ AC交BC于点E,连接CP当厶CPE 的面积最大时，求点 P的坐标；(3) 探究：若点Q是抛物线对称轴上的点， 是否存在这样的点 Q使厶QBC成为等腰三 角形？若存在

10、，请直接写出所有符合条件的 点Q的坐标；若不存在，请说明理由.4.(山东青岛) 已知：如图，在 Rt ACB中，/ C= 90°, AC= 4cm, BC= 3cm,点P由B出发沿BA方向 向点A匀速运动，速度为1cm/s;点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s ;连接PQ若设 运动的时间为t ( s) (Ov tv 2),解答下列问题：(1) 当t为何值时，PQ/ BC?(2) 设厶AQP的面积为y ( cm2),求y与t之间的函数关系式；(3) 是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值; 若不存在，说明理由；(4

11、) 如图，连接 PC并把 PQC沿QC翻折，得到四边形 PQP C,那么是否存在某一时刻 t，使四边形 PQP C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由.图CCDAQ5.(吉林省)如图所示，菱形 ABCD勺边长为6厘米，/ B= 60°.从初始时刻开始，点 P、Q同时从A点 出发，点P以1厘米/秒的速度沿 A-C- B的方向运动，点 Q以2厘米/秒的速度沿 A- BtC-D的方向运 动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动设 P、Q运动的时间为x秒时， APQA ABCH叠部 分的面积为y平方厘米(这里规定：点和线段是面积为 0的三角形)，解答下列问题：(1)

12、点R Q从出发到相遇所用时间是 秒；(2) 点只Q从开始运动到停止的过程中，当APQ是等边三角形时x的值是秒；(3) 求y与x之间的函数关系式.6.(浙江嘉兴)如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN 4 , MA 1 , MB 1 .以A为中心顺时针旋转设 AB x .点M以B为中心逆时针旋转点 N,使M N两点重合成一点 C构成 ABC(1) 求x的取值范围；(2) 若厶ABC为直角三角形，求 x的值;(3) 探究： ABC勺最大面积？三、圆7.(青海) 如图10,已知点A (3, 0),以A为圆心作OA与Y轴切于原点，与x轴的另一个交点为 B, 过B作OA的切线I.(1) 以直线I为对称

13、轴的抛物线过点 A及点C ( 0, 9),求此抛物线的解析式；(2) 抛物线与x轴的另一个交点为 D,过D作OA的切线DE E为切点，求此切线长；(3) 点F是切线DE上的一个动点，当厶BFD与EAD相似时，求出 BF的长.& (天水)如图1,在平面直角坐标系 xOy,二次函数y = ax2 + bx + c(a> 0)的图象顶点为D,与y轴交于点C,与x轴交于点A B,点A在原点的左侧，点B 的坐标为(3 , 0), OE3= OC tan / ACQ(1) 求这个二次函数的解析式；(2) 若平行于x轴的直线与该抛物线交于点M N且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆的半径长度；

14、(3) 如图2，若点G2 , y)是该抛物线上一点，点 P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时， AGP勺面积最大？求此时点 P的坐标和厶AGP勺最大面积.9. （湖南张家界） 在平面直角坐标系中，已知 A 4, 0） , B（1 , 0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴 于点C,过点C作圆的切线交x轴于点D.（1）求点C的坐标和过 A，B, C三点的抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3） 设平行于x轴的直线交抛物线于 E, F两点，问：是否存在以线段 EF为直径的圆，恰好与x轴相切？ 若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由.yCAO410. (潍坊市)如图，在

15、平面直角坐标系 xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点抛物线 y ax2 bx c与y轴交于点D，与直线y x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C .(1) 求抛物线的解析式；(2) 抛物线的对称轴交 x轴于点E，连结DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长.(3) 过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由.四、比例比值取值范围11. (怀化)图9是二次函数y (x m)2 k的图象，其顶点坐标为 M(1,-4).(1) 求出图象与x轴的交点A,B的坐标；5(2) 在二次函数的图象上是否存在点P,使S pa

16、b S MAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请4说明理由；(3) 将二次函数的图象在 x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线 y x b(b 1)与此图象有两个公共点时，b的取值范围12.(湖南长沙)如图，在平面直角坐标系中，矩形OAB的两边分别在x轴和y轴上，OA 8 2 cm, 0C=8cm, 现有两动点P、Q分别从O C同时出发，P在线段0A上沿0A方向以每秒 J2 cm的速度匀速运动，Q 在线段CC上沿CC方向以每秒1 cm的速度匀速运动.设运动时间为t秒.(1) 用t的式子表示 OPQ勺面积S;(2) 求证：四边形

17、OPB的面积是一个定值，并求出这个定值;(3)当厶OPQfA PABD QPB相似时，抛物线 y lx2 bx c经过B P两点，过线段 BP上一动点 M4作y轴的平行线交抛物线于 N,当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPB(分成两部分的面积之比.13.（成都）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y ax2 bx c与x轴交于A B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（3,0），若将经过 A C两点的直线y kx b沿y轴向下平移 3 个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线x 2 .（1）求直线 AC及抛物线的函数表达式；（2） 如果P是线段AC上一点，设 AB

18、P、BPC的面积分别为S abp、S bpc，且Sabp：SBpc 2:3 , 求点P的坐标；（3） 设e Q的半径为I，圆心Q在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在e Q与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心 Q的坐标；若不存在，请说明理由.并探究：若设OQ的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当r取何值时，O Q与两坐轴同时相切？五、探究型14.(内江)如图，抛物线y mx 2mx 3m m 0与x轴交于a、b两点，与y轴交于 c点.(1) 请求出抛物线顶点 M的坐标(用含 m的代数式表示)，A、B两点的坐标；(2) 经探究可知， BCM与厶ABC的面积比不变，试求出这个比值；15.（重庆潼南

19、）如图,已知抛物线y - x2 bx c与y轴相交于C,与x轴相交于A、B,点A的坐标2为（2，0）,点C的坐标为（0, -1）.（1）求抛物线的解析式；（2） 点E是线段AC上一动点，过点 E作DEI x轴于点D,连结DC当厶DCE的面积最大时，求点 D 的坐标；（3） 在直线BC上是否存在一点 卩，使厶ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明 理由16.(福建龙岩)如图，抛物线y ax2 5ax 4经过 ABC的三个顶点，已知 BC / x轴，点A在x轴 上，点C在y轴上，且AC BC .(1) 求抛物线的对称轴;(2) 写出A, B，C三点的坐标并求抛物线的解析式;若存在

20、,(3) 探究：若点P是抛物线对称轴上且在 x轴下方的动点，是否存在 PAB是等腰三角形.求出所有符合条件的点 P坐标；不存在，请说明理由.17. (广西钦州)如图，已知抛物线 y = 3 x2 + bx + c与坐标轴交于 A B、C三点，A点的坐标为(一41，0)，过点C的直线y =x-3与x轴交于点Q,点P是线段BC上的一个动点，过P作PHL OB于4t点 H.若 PB= 5t，且 Ov t v 1 .(1 )填空：点 C的坐标是_ _, b=_ _, c= _ _；(2) 求线段QH勺长(用含t的式子表示)；(3) 依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H Q为顶点的三角形与 COQ目

21、似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由.18. (重庆市)已知：如图，在平面直角坐标系 xOy中，矩形OABC勺边OA在 y轴的正半轴上，0C在x轴 的正半轴上， 0A 2, 0C= 3.过原点 0作/ AOC勺平分线交 AB于点D,连接DC过点D作DEL DC交0A 于点E.(1) 求过点E、D C的抛物线的解析式；(2) 将/ EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点 F,另一边与线段 0C交于点G.如 果DF与(1)中的抛物线交于另一点 M点M的横坐标为6，那么EF= 2GC是否成立？若成立，请给予证5明；若不成立，请说明理由；(3) 对于(2)中的点G在位于

22、第一象限内的该抛物线上是否存在点Q使得直线GQ与AB的交点P与点C G构成的 PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.0)、B两点，与y轴相交于点 C(0 , y相等，连结AC BCBA BC边运动，其中一个点到达BMN沿 MN翻折，B点恰好落在ACQ为顶点的三角形与 ABC相似？219.(湖南长沙)如图，抛物线y= ax + bx+ c(a 0)与x轴交于 A 3,2,3 ).当x= 4和x= 2时，二次函数 y= ax + bx+ c( a* 0)的函数值(1) 求实数a, b, c的值；(2) 若点M N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为t秒时，连结 MN将厶边上的P处，求t的值及点P的坐标；(3) 在(2)的条件下，抛物线