中考数学复习旋转专项易错题及答案

1、一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1.如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接PA, PB, PC.将 PAB绕点B顺时针旋转 90°到4 P'CB的位置.设AB的长为a, PB的长为b（b<a）,求 PAB旋转到 P'CB的过程中边PA所扫过区域（图 中阴影部分）的面积：若 PA=2, PB=4, Z APB=135°,求 PC 的长.11【答案】（1）S 用杉=%2&2）： （2）PC=6.【解析】试题分析：（1）依题意，将4 P'CB逆时针旋转90。可与 PAB重合，此时阴影部分面积二扇 形BAC的面积-扇形BPP，的面积

2、，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是90。，可据 此求出阴影部分的面积.（2）连接PP',根据旋转的性质可知：BP=BP',旋转角N PBP'=90°,则是等腰直角三 角形,Z BP'C=Z BPA=135°, Z PP'C=Z BP'C-Z BP,P=135°-45o=90°,可推出 PP'C 是直角三角 形，进而可根据勾股定理求出PC的长.试题解析：（1） 将 PAB绕点B顺时针旋转90。到4 PZCB的位置，/. PAB二 P'CB,Sa pab=Sa p,cb»nS

3、明彰二S 际秒bac-S 见6bpp；'（a2-b2）；（2）连接PP',根据旋转的性质可知：4APB之区CPB月南K1。SP BP=BP'=4, P'C=PA=2, Z PBP'=90°,/. a PBP'是等腰直角三角形，P,P2=PB2+P,B2=32：又，Z BPX=Z BPA=135%Z. Z PP'C=N BP'C-N BP/P=135o-45o=90% 即 PP'C 是直角三角形.PCK'P» + Pd=6.考点：1 .扇形面积的计算：2,正方形的性质：3,旋转的性质.2.如图1,

4、四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连接BG, DE.（1）猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，不必证明； 将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度a,得到如图2情形.请 你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断.（2）将原题中正方形改为矩形（如图3、4）,且AB=a, BC=b, CE=ka> CG=kb （a*b, k>0）,第（1）题中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图4为例简要说明理（3）在第（2）题图4中，连接DG、

5、BE,且"3, b=2, k=',求BE?+DG2的值.2【答案】（1）BG_LDE, BG=DE： BG±DE,证明见解析：（2） BG±DEf证明见解 析：（3） 16.25.【解析】分析：（1）根据正方形的性质，显然三角形BCG顺时针旋转90。即可得到三角形DCE, 从而判断两条直线之间的关系：结合正方形的性质，根据SAS仍然能够判定4BCG2 DCE,从而证明结论；（2）根据两条对应边的比相等，且夹角相等可以判定上述两个三角形相似，从而可以得到 （1）中的位置关系仍然成立：（3）连接BE、DG.根据勾股定理即可把BE2+DG?转换为两个矩形的长、宽

6、平方和.详解：（1）BGJ»DE, BG=DE；;四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，BC=DC, CG=CE, Z BCD=Z ECG=90Z. Z BCG=Z DCE,/. BG=DE, NCBG=NCDE,又；Z CBG+Z BHC=90°,. Z CDE+Z DHG=90°,；BG±DE.(2) VAB=a, BC=b, CE=ka, CG=kb,BC CG b IDC- CE *又' Z BCG=Z DCE,?. BCG- DCE,J Z CBG=Z CDE,又Z CBG+Z BHC=90°, Z CDE+Z DHG=90

7、%J BG±DE.(3)连接 BE、DG.根据题意,得 AB=3, BC=2, CE=L5, CG=1,BGJLDE, Z BCD=Z ECG=90°Z. BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG 2=9+4+2.25+1=16.25.点睛：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定 理.3.已知:在 ABC中，BC=a, AC=b,以AB为边作等边三角形ABD.探究下列问题:（1）如图1,当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3,且N ACB=60。，则CD=: （2）如图2,当点D与点C位于直线AB的同

8、侧时，a=b=6,且N ACB=90。，则CD=_； （3）如图3,当NACB变化，且点D与点C位于直线AB的两侧时，求CD的最大值及相应的N ACB的度数.【答案】（1） 3尸：（2） 3、否一3“2；）当/aCB=120。时，CD有最大值是a+b.【解析】【分析】（1）a=b=3,且NACB=60。， ABC是等边三角形，且CD是等边三角形的高线的2倍，据 此即可求解；（2） a=b=6,且NACB=90。， ABC是等腰直角三角形，且CD是边长是6的等边三角形的 高长与等腰直角三角形的斜边上的高的差：（3）以点D为中心，将 DBC逆时针旋转60。，则点B落在点A,点C落在点E.连接AE.

9、 CE,当点E、A、C在一条直线上时，CD有最大值，CD=CE=a+b.【详解】（1） / a=b=3,且NACB=60°, ABC是等边三角形，3、尸/. OC= 2 ,/. CD=38： 3历-3A/2；（3）以点D为中心，将 DBC逆时针旋转60。，则点B落在点A,点C落在点E.连接AE, CE,C：.CD=ED, Z CDE=60°, AE=CB=a, CDE为等边三角形, CE=CD.当点E、A、C不在一条直线上时，有 CD=CE<AE+AC=a+b；当点E、A、C在一条直线上时，CD 有最大值，CD=CE=a+b；只有当N ACB=120°时，Z

10、 CAE=180°, 即A、C、E在一条直线上，此时AE最大 /. Z ACB=120°,因此当N ACB=120°时，CD有最大值是a+b.【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，以及轴对称的性质，正确理解CD有最大值的条件, 是解题的关键.4.（1）观察猜想如图，在 ABC中,Z BAC=90°, AB=AC,点D是BC的中点.以点D为顶点作正方形DEFG,使点A, C分别在DG和DE上，连接AE, BG,则线段BG和AE的数量关系是 拓展探究将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0。，小于或等于360。），如图2,则中的结论是

11、否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请 说明理由.解决问题若BC=DE=2,在的旋转过程中，当AE为最大值时，直接写出AF的值.连接AD. ; ABC是等腰三直角角形，NBAC=90。，点D是BC的中点.Z ADB=90% 且 BD=AD.Z BDG = Z ADB-Z ADG = 90°-Z ADG = Z ADE, DG = DE.: & BDG合 ADE, BG=AE7分(3)由(2)知，BG=AE,故当BG最大时，AE也最大.正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270。时，BG最大，如图.若 BC = DE = 2,则 AD = 1, EF = 2.在 RtA

12、 AEF 中，AF2=AE2+EF2=(AD + DE)2+EF2=(l+2)2+22=13.af=jy【解析】解：(1) BG=AE.(2)成立.如图，连接AD.ABC是等腰三直角角形，NBAC=90。，点D是BC的中点.NADB=90°,且BD=AD.Z BDG = Z ADB-Z ADG = 90°-N ADG = Z ADE, DG = DE. BDG合 & ADE, /. BG=AE.(3)由(2)知，BG=AE,故当BG最大时，AE也最大.Z+X+X+K因为正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，G点运动的图形是以点D为圆心，DG为半径的 圆，故当正方形DE

13、FG旋转到G点位于BC的延长线上(即正方形DEFG绕点D逆时针方向 旋转270。)时，BG最大，如图.若 BC = DE = 2,则 AD = 1, EF = 2.在 RtA AEF 中，AF2=AE2+EF2=(AD+DE)2+EF2=(1+2)2+22=13.AF=JJ即在正方形DEFG旋转过程中，当AE为最大值时，AF=JIJ.A5.在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点。（0.0）,点4（5,0）,点5（0,3）.以点 4为中心，顺时针旋转矩形AO3C,得到矩形AOEF，点。，3, C的对应点分别为 D，E, F.（I）如图，当点。落在BC边上时，求点。的坐标：（口）如图，当点0

14、落在线段座上时，AO与BC交于点.求证 AADB g AAO8 ；求点的坐标.（川）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为KQE的面积，求S的取值范围（直接 写出结果即可）.7【答案】（I）点。的坐标为（1,3）.（n）证明见解析；点”的坐标为（丁,3）.（m）30-3后ms m 30 + 3g4_ _4,【解析】分析：（I）根据旋转的性质得AD=AO=5,设CD=x,在直角三角形ACD中运用勾股定理可CD的值，从而可确定D点坐标；（）根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可；由知的。= NBAO,再根据矩形的性质得NCB4 = NQ43 .从而ZBAD = ZCBA,故BH=AH,在RSACH

15、中，运用勾股定理可求得AH的值，进而求得答案：(m) 3。-3 国 <s<30 +3g4 4详解：(I) .点4(5,0),点3(0,3),OA = 5， OB = 3.v四边形AOBC是矩形，AC = OB = 3, BC = OA = 5, ZOBC = ZC = 90°.,1矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到的，/. AD = AO = 5.在 RhAOC 中，有 AO?=AC2+oc2,1 DC = AD-AC1 =,5232 =4.BD = BCDC = 1.点。的坐标为(1,3).(n)由四边形AOEF"是矩形，得NADE = 90。.又点。在线段

16、跳:上，得NAOB = 90。.由(I)知，AD = AO,又 =ZAOB = 90° ,RmADBRmAOB.由 aADB经aAOB,得 ZBAD = 4AO.又在矩形408C中，OA/BC,ZCBA = ZOABABAD = Z.CBABH = AH.设BH=1,则A" = /, HC = BCBH=5t.在 RlaAHC 中,有人2=4。2+。2,1 *7 7r=32+(5-1.解得f =. BH= .点H的坐标为(彳,3).(ID) 3。-3.<5<3。+ 3后44点睛：本大题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理以及旋转变换的性质等知 识，灵活运用

17、勾股定理求解是解决本题的关键.6.在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点0：在RSPMN中，Z MPN = 90°.(1)如图1，若点P与点0重合且PMJ_AD、PN_LAB,分别交AD、AB于点E、F,请直 接写出PE与PF的数量关系：(2)将图1中的RS PMN绕点0顺时针旋转角度a (T<a<45。).如图2,在旋转过程中(1)中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说 明理由：如图2,在旋转过程中，当ND0M = 15。时，连接EF,若正方形的边长为2,请直接写出 线段EF的长；如图3,旋转后，若R3 PMN的顶点P在线段0B上移动(不与点0、B重合)

18、，当 BD = 3BP时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明：当BD二m-BP时，请直接写出 PE与PF的数量关系.2收【答案】(1) PE=PF； (2)成立，理由参见解析：3 :PE=2PF,理由参见解 析：PE= (m-1) PF.【解析】试题分析：(1)可利用角平分线性质定理得到PE=PF； (2)成立，可用角边角定理判定AOaaDOE,从而得到PE=PF；要想求出EF的长，关键要求出OE的长，由N D0M=15。可得N AEO=45 + 15=60。，作OHJLAD于H,若正方形的边长为2,则OH=1, 1 732 平可算出EHK丁，JOE；1, EOF是等腰直角三角形，.JE

19、F即可求出：构建相 似三角形，过P点作PHJLAB, PK±AD ,垂足为H、K,则四边形AHPK为矩形， PHB和 PKD都是等腰直角三角形，是相似的，BD = 3BP, .可算出HP:PK的值，然后通过 FHP4 PKE得到PE与PF的关系.由前面的思路可得出当BD=m-BP时，BD:PD= (m- 1)： 1, /. PE:PF= (m-1) ： 1,从而确定PE与PF的数量关系.试题解析:(1) ,四边形ABCD是正方形，.NOAF=NOAE=459,又 PMJLAD、PN±AB, /. PE=PF： (2)成立，PE仍等于PF,二四边形ABCD是正方形，/. Z

20、OAF=Z ODE=452, OA=OD,又丁 N AOF 和D DOE 都是N AOE 的余角,Z AOF=Z DOE, /. AOa DOE (ASA) , /. OE=OF,即 PE=PF；作 OH J«AD 于 H, 由/口01/1=15。可得/庆£0=45 + 15=609, Z HOE=30°,若正方形的边长为2,则OH=1,在RS HEO中，可算出EH=X?3=，.oe=3，; a EOF是等腰直角三角形， 2<3 2.EF=JOE=3x 3 = 3；构建相似三角形，过P点作PHJ_AB, PK_LAD,垂足为H、K,则四边形 AHPK 为矩形

21、，., N PHB=N PKD=90°N PBH=N PDK=45°,PH _ BPPH _ BP 2 PHB- PKD,. FK DP , BD=3BP, .aK DP = 2 ,Z HPF+Z FPK=90°Z KPE+Z FPK=90%. N HPF=N KPE, X'." Z PHF=Z PKE=90°, PF PH j_:, & PHF 4 PKE, ?. PE 产K = 2 ,即 pe="2PF” ；当 BD二m-BP 时，BD:PD= (m-1)：1, PHF- PKE, PE:PF=BD:PD= (m-

22、1) ： 1, PE= (m-1) -PF.考点：1.正方形性质：2.三角形相似的判定；3.旋转性质；4.探索线段的数量关系规 律.7.在正方形ABCD中，M是BC边上一点，且点M不与B、C重合，点P在射线AM上，将 线段AP绕点A顺时针旋转90。得到线段AQ,连接BP, DQ.（1）依题意补全图1:（2）连接DP,若点P, Q, D恰好在同一条直线上，求证：DP2+DQ2=2AB2； 若点P, Q, C恰好在同一条直线上，则BP与AB的数量关系为：【答案】（1）详见解析：（2）详见解析：BP=AB.【解析】【分析】（1）根据要求画出图形即可；（2）连接BD,如图2,只要证明 AD8 ABP,

23、 N DPB=90。即可解决问题；,由推出结论：BP=AB,如图3中，连接AC,延长CD到N,使得DN=CD,连接AN, QN AD8 ABP, AN8 & ACP,推出 DQ=PB, Z AQN=Z APC=45%AQP=45°,N NQC=90。，由 CD二DN,可得 DQ=CD=DN=AB；【详解】1 线段AP绕点A顺时针旋转90。得到线段AQ,AQ=AP, Z QAP=90°,四边形ABCD是正方形， .AD=AB, N DAB=90°,Z 1=Z 2. . AD8 ABP,，DQ=BP, Z Q=Z 3,/ 在 RtA QAP 中，Z Q+N Q

24、PA=90°, , Z BPD=Z 3+Z QPA=90°,在 RtA BPD 中，DP2+BP2=BD2, 又：DQ=BP, BD2=2AB2,/. DP2+DQZ=2AB2.解：结论：BP=AB.理由：如图3中，连接AC,延长CD到N,使得DN=CD,连接AN, QN. ADg 4 ABP, ANQ ACP,/. DQ=PB, Z AQN=Z APC=45 Z AQP=45% , Z NQC=90",; CD二DN, . DQ=CD=DN=AB, , PB=AB.【点睛】本题考查正方形的性质，旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助 线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴8.已知NAOB=90。，在N AOB的平分