中考数学二次函数综合题及答案

1、中考数学二次函数综合题及答案一、二次函数1.新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏.某商店经销一种电子鞭炮，已知这种 电子鞭炮的成本价为每盒 80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y (盒)与销售单价x (元)有如下关系：y=- 2x+320 (80WXW160.设这种电子鞭炮每天的销售利润为 w元.(1)求w与X之间的函数关系式；(2)该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元？(3)该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润，又想卖得快.那么销售单价应定为多少元？【答案】(1) w= - 2x2+480x - 25600 ; (2)销售单

2、价定为120元时，每天销售利润最大， 最大销售利润3200元(3)销售单价应定为100元【解析】【分析】(1)用每件的利润 x 80乘以销售量即可得到每天的销售利润，即w x 80 y x 80 2x 320 ,然后化为一般式即可；一一 、一一一， ，2(2)把(1)中的解析式进行配万得到顶点式w 2 x 1203200,然后根据二次函数的最值问题求解；2(3)求w 2400所对应的自变量的值，即解万程 2 x 1203200 2400.然后检验即可.【详解】(1) w x 80 y x 80 2x 320 ,2x2 480x 25600,2w与x的函数关系式为：w 2x 480x 25600

3、;22(2) w 2x 480x 256002 x 1203200,Q 2 0,80 x 160,，当x 120时，w有最大值.w最大值为3200.答：销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元.2(3)当 w 2400时，2 x 1203200 2400.解得：X 100, X2140. 想卖得快，x2 140不符合题意，应舍去.答：销售单彳应定为 100元.2.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B (1, 0),与y轴交于点C (0, 3),其对称轴l为x= - 1 .(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；(2)若动点P在第二象限内的抛物线上，动点

4、N在对称轴l上.当PAa NA,且PA=NA时，求此时点 P的坐标； 当四边形PABC的面积最大时，求四边形 PABC面积的最大值及此时点 P的坐标.【答案】(1) y=- (x+1) 2+4,顶点坐标为(-1,4); (2)点P(- J2i,【解析】试题分析：(1)将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为X 1即可得到抛物线的解析式；PD=OA,从而得到方(2) 首先求得抛物线与 x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到 程求得x的值即可求得点 P的坐标； S四边形ABCP =SAOBC SMPD S梯形PDOC ,表不出来得到二次函数，求得最值即可.试题解析：(1) ,抛物线y ax

5、2 bx c与x轴交于点A和点B (1, 0),与y轴交于a 1b 2,，二次函数的c 3a b c 0点C (0, 3),其对称轴l为x 1, . c 3,解得上12a解析式为yx2 2x 3= (x 1)2 4,，顶点坐标为(-1,4)；(2)令 yx22x 3 0 ,解得x 3或 x 1 , 点 A ( - 3,0) ,B (1,0),作PD± x 轴于点D,点 P 在 y x22x 3 上，设点 P (x, x2 2x3),2-. PAI NA,且 PA=NAAPADAAND, . OA=PD,即 y x 2x 3 2 ,解得x=/2 1 (舍去)或 x=亚 1 ,，点 P

6、(四 1 , 2);1111=2ob?0c+2ad?pd+2(pd+oc)?od=2 3设 P(x, y),则 yx2 2x 3，= Si边形 abcp=Saobc smpd s梯形pdoc111+2 (3 x)y /y 3)( x)=当x=2时,154x2 2x 3)=Sg边形ABCP最大值75T当x=36= - (x23 口2时，y2)275-8，2x15.3=,此时P4考点：1.二次函数综合题；2.二次函数的最值；3.最值问题；4.压轴题.3.已知，抛物线 y=x2+2mx(m为常数且 廿0).(1)判断该抛物线与x轴的交点个数，并说明理由.(2)若点A (-n+5, 0) , B(n-

7、1, 0)在该抛物线上，点 M为抛物线的顶点，求 4ABM的面 积.(3)若点(2, p), ( 3, g) , ( 4, r)均在该抛物线上，且 p<g<r,求m的取值范围.【答案】(1)抛物线与x轴有2个交点，理由见解析；(2) 4ABM的面积为8; ( 3) m 的取值范围m>-2.5【解析】【分析】(1)首先算出根的判别式 b2-4ac的值，根据偶数次哥的非负性，判断该值一定大于0,从而根据抛物线与x轴交点个数与根的判别式的关系即可得出结论；(2)根据抛物线的对称性及 A,B两点的坐标特点求出抛物线的对称轴直线为x=2.从而再根据抛物线对称轴直线公式建立方程，求解算出

8、m的值，进而求出抛物线的解析式，得出A,B,M三点的坐标，根据三角形的面积计算方法，即可算出答案；(3)方法一(图象法)：根据抛物线的对称轴直线及开口方向判断出当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件；当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件(如图2),从而列出不等式得出m的取值范围；当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-(-m)>-m-2即可(如图3),再列出不等式得出 m的取值范围，综上所述，求出 m的取值 范围；方法二(代数法)：将三点的横坐标分贝代入抛物线的解析式，用含 m的式子表示 出p,g,r,再代入p<g<r即可列出关于 m的不等式组，求解即

9、可。【详解】(1)解：抛物线与 x轴有2个交点。理由如下：mwo,b2-4ac = (2m) 2-4 x 1 X 0=2>0.，抛物线与X轴有2个交点(2)解：点 A (-n+5, 0) , B(n-1, 0)在抛物线上 n5 n 1 八，抛物线的对称轴 x= 22mn h - =2,即 m=-2 .2 1，抛物线的表达式为 y=x2-4x. 点 A (0, 0),点 B (4, 0)或点 A (4, 0),点 B (0, 0),点 M (2, -4) .ABM 的面积为 1 X 4 X 4=82(3)解：方法一(图象法)： 抛物线y=x2+2mx的对称轴为x=-m,开口向上。 当对称轴

10、在直线 x=3的右边时，显然不符合题目条件(如图 1)当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件(如图 2)(陀2)此时，-m<2,即 m>-2.当对称轴在直线 x=2和x=3之间时，满足 3- (-m)>-m-2即可(如图3)综上所述，m的取值范围m>-2.5方法二(代数法)：由已知得，p=4+4m, g=9+6m, r=16+8m .p<q<r, . . 4+4m<9+6m<16+8m,解得 m >-2.5.【点睛】二次函数的综合应用题。与X轴交点的情况当=b2-4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。当=b2-4ac=0时，

11、函数图像与x轴只有一个交点。A=b24ac<0时，抛物线与x轴没有交点。熟练运用顶点坐标(-B, 4ac、)2a 4a4.如图，二次函数 y=ax2+bx+c的图象交x轴于A (-2, 0) , B (1, 0),交y轴于C (0, 2)；(1)求二次函数的解析式；(2)连接AC,在直线AC上方的抛物线上是否存在点 N,使4NAC的面积最大，若存在,求出这个最大值及此时点 N的坐标，若不存在，说明理由.(3)若点M在x轴上，是否存在点 M,使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若 存在，直接写出点 M的坐标；若不存在，说明理由.(4)若P为抛物线上一点，过 P作PQ± BC

12、于Q,在y轴左侧的抛物线是否存在点 P使 CPQsBCO (点C与点B对应)，若存在，求出点 P的坐标，若不存在，说明理由.苗用图1备用图2【答案】(1)二次函数的解析式为：y=-x2-x+2; ; (2)最大值为1,此时N (-1, 2);(3) M 的坐标为(-1, 0)或(1±J5, 0)或(-3 , 0) ； ( 4)点 P 的坐标为：(-1,10922）或（(1)利用交点式求二次函数的解析式；(2)求直线AC的解析式，作辅助线 ND,根据抛物线的解析式表示 N的坐标，根据直线AC的解析式表示 D的坐标，表示 ND的长，利用铅直高度与水平宽度的积求三角形ANC的面积，根据二次

13、函数的最值可得面积的最大值，并计算此时N的坐标；(3)分三种情况：当 B、G M为顶点的三角形是等腰三角形时，分别以三边为腰，画图形，求M的坐标即可；(4)存在两种情况： 如图4,点P1与点C关于抛物线的对称轴对称时符合条件;3 如图5,图3中的M ( , 0)时，MB=MC,设CM与抛物线父于点 P2,则 CP2Qsbco, P2为直线CM的抛物线的交点.【详解】(1) 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象交 x轴于 A (-2, 0) , B (1, 0), 设二次函数的解析式为： y=a (x+2) (x-1),把 C (0, 2)代入得：2=a (0+2) (0-1), a=-1,

14、y=- (x+2) (x-1) =-x2-x+2,，二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；AC于 D,设 N (n, -n2-n+2),2)代入得:把 A (-2, 0) 、 C (0,2k b= 0b= 2.k1解得： ，直线AC的解析式为:y=x+2,b= 2.D (n, n+2),1. ND= (-n2-n+2) - (n+2) =-n2-2n,-1 Saanc= x 2 x 2-2n=-n 2-2n=- (n+1) 2+1,2.当n=-1时，AANC的面积有最大值为 1,此时N (-1, 2), (3)存在，分三种情况：如图 2,当 BC=CM1 时，Mi (-1, 0); 如图2,

15、由勾股定理得：BC=j22 12 = V5，以B为圆心，以BC为半径画圆，交 x轴于M2、M3,则BC=BM2=BM3=J5 , 此时，M2(1-75, 0), M3(1+75, 0)； 如图3,作BC的中垂线，交 x轴于M4,连接CM4,则CM4=BM4,设 OM4=x,则 CM4=BM4=x+1,由勾股定理得：22+x2= (1+x) 2, 一 3解得：x=,2. M4在x轴的负半轴上，M4 (- , 0),2综上所述，当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，M的坐标为(-1, 0)或(1±5 0)或(-3, 0);2(4)存在两种情况： 如图4,过C作x轴的平行线交抛物线于

16、P1,过P1作P1QXBC,点Pi与点C关于抛物线的对称轴对称，Pi （-1, 2）,3 如图5,由（3）知：当M （-鼻，°）时，MB=MC,设CM与抛物线父于点 P2,34皿y x 2则 3,2y x x 2解得：P2 （-7, -）,3 9综上所述，点P的坐标为：（-1, 2）或（-7 , -10）.39【点睛】本题是二次函数的综合题，计算量大，考查了利用待定系数法求函数的解析式、利用函数 解析式求其交点坐标、三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，是一个不错 的二次函数与几何图形的综合题，采用了分类讨论的思想，第三问和第四问要考虑周全，5.如图，抛物线 y= - x2

17、+bx+c与x轴交于点 A和点B (3, 0),与y轴交于点C (0,3),点D是抛物线的顶点，过点 D作x轴的垂线，垂足为 E,连接DB.(1)求此抛物线的解析式及顶点 D的坐标；(2)点M是抛物线上的动点，设点 M的横坐标为 m. 当/ MBA= / BDE时，求点 M的坐标； 过点M作MN /x轴，与抛物线交于点 N, P为x轴上一点，连接 PM, PN,将4PMN 沿着MN翻折，得aMN,若四边形 MPNQ恰好为正方形，直接写出 m的值.普用囱【答案】(1) (1,4) ( 2)点M坐标(-(1)利用待定系数法即可解决问题;(2) 根据 tan / MBA= MG m 2m 3 tan

18、 Z BDE=-BE =-,由 /MBA=/BDE, BG 3 mDE 2构建方程即可解决问题； 因为点M、N关于抛物线的对称轴对称，四边形 MPNQ是正方形，推出点P是抛物线的对称轴与 x轴的交点，即 OP=1,易证GM=GP,即|- m2+2m+3|=|1-m| ,解方程即可解决问题(1)把点 B (3, 0) , C (0, 3)代入 y= - x2+bx+c,9 3b c 0 b 2得到,解得,c 3c 3，抛物线的解析式为 y= - x2+2x+3, y= - x2+2x- 1 + 1+3= - (x-1) 2+4,顶点D坐标(1 , 4);(2) 作 MGx 轴于 G,连接 BM,

19、则 /MGB=9°0，设 M (m, - m2+2m+3),MG=| - m2+2m+3| , BG=3- m, .tan / MBA=MGBGm2 2m 353 m.DEx 轴，D (1, 4), . / DEB=90 DE=4, OE=1,- B (3, 0),BE=2,BE .tan / BDE=DE / MBA=Z BDE, m2 2m 3M在x轴上方时,2m 3解得m=-1或3 (舍弃)2.MM在x轴下方时,2m 2m 3解得m= - 3 或 m=3 (舍弃)，2，点 一1 73综上所述，满足条件的点 M坐标（-一，一）或（-一，2 42如图中，.MN/X轴, 点M、N关于

20、抛物线的对称轴对称， 四边形 MPNQ是正方形，点P是抛物线的对称轴与 x轴的交点，即 OP=1,易证 GM=GP,即 | - m2+2m+3|=|1 - m| ,当-m2+2m+3=1 - m 时，解得 m=3 历,2当一m2+2m+3=m 1 时，解得 m=1一近7 ，2 满足条件的m的值为3出7或1而.22【点睛】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学 会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中 考压轴题.6. （12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数,+以一4（。*°）的图象与x轴交于A （

21、-2, 0）、B （8, 0）两点，与y轴交于点B,其对称轴与 x轴交于点D.圜1备用图图2（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1,连结BC,在线段BC上是否存在点E,使得4CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点 E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2,若点P （m, n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m>0, n<0）,连结PB, PD, BD,求4BDP面积的最大值及此时点 P的坐标.r1 2 3【答案】（1） ' 4 2； （2） E的坐标为（8-2/，-'巧）、（0, 4）、11T289174) ; ( 3)衣,161F).【解析】试题

22、分析：(1)采用待定系数法求得二次函数的解析式;(2)先求得直线BC的解析式为 论即可求得；y = -),然后分三种情况讨(3)利用PBD的面积'二S器形一1%B。-£J*口即可求得.试题解析：(1) 二次函数尸二收*+占工-4的图象与(8, 0)两点，x 轴交于 A ( - 2, 0)、C(2)由二次函数a=43，该二次函数的解析式为13y二工炉-/-4_令 士可知对称轴 x=3,D (3, 0) , ,C(8, 0) , ，CD=5,13y t? -x - 4由二次函数4? 可知b(0, 4),设直线BC的解析式为 > =奴+力,1，直线BC的解析式为1 £

23、;ED2 = (m - 8)3 + (m - 4) = CD2 当 dc=ceM,1曾(m - B)2 + (-m - 4) = 5=8-2的，啊=© + ”5 (舍去)，.E胆-人石，卜内；2-当DC=DE时,D2 = (m-3+ (-m-4) =CD2(舍去)，.E (0, - 4);当EC=DE时, 54) .fm - &)2 + (-m - 4)=-3)2 + (4)11,解得m/ = 711,E (7综上，存在点E,使得4CDE为等腰三角形，所有符合条件的点E的坐标为(1154)(3)过点P作y轴的平行线交123 d一 #2 一一网一4 ,42x轴于点F,P点的横坐

24、标为 m, ，P点的纵坐标为:117-4)卜可的.3)一一亨乂 3 X + -产2 +£半 上£= o一巾4317 2 289(m ) +一屋2417当 m= 3 I时，4PBD的最大面积为2891724，.二点P的坐标为（K161考点：二次函数综合题.7 .如图，已知顶点为 C（0, 3）的抛物线y ax2 b（a 0）与x轴交于A, b两点，直线 y x m过顶点C和点b.（1）求m的值；（2）求函数y ax2 b（a 0）的解析式；MCB 15 ?若存在，求出点 M的坐标；若不存（3）抛物线上是否存在点M ,使得32-3;(3) M 的坐标为(3 £ , 6

25、)或(J3 , - 2).【解析】 【分析】（1）把 （2）把 分 【详解】（1）将C (0, - 3)代入直线y=x+m中解答即可;y= 0代入直线解析式得出点 B的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可; M在BC上方和下方两种情况进行解答即可.C (0, -3)代入 y=x+m,可得:m= - 3；(2)将y= 0代入y= x 3得:x= 3,所以点B的坐标为（3, 0）,将（0, - 3）、（3, 0）代入 y=ax2+b 中，可得:b 39a b 01 a - 解得： 3 ,b 3所以二次函数的解析式为：y -x2-3；3(3)存在，分以下两种情况:若M在B上方，设 MC交x轴于点

26、D,则/ ODC= 45 +15° =60°,.OD=OC?tan30君,设 DC为 y=kx-3,代入(J3 , 0),可得：k 73 ,y3x 3联立两个方程可得：1,yx2 33/口xi 0 x2 3.3解得：，2,yi3y2 6所以 Mi (373, 6);若M在B下方，设 MC交x轴于点E, 则/ OEC= 45 -15 = 30°,333，.OE= OC?tan60 =3 而， 设EC为y=kx- 3,代入(3 J3 0)可得：k联立两个方程可得:1 2y 3xXi 0 x,3解得：1, 2,yi 3 y22所以 M2( J3 , - 2).综上所述M

27、的坐标为(3 J3 , 6)或(J3 , - 2). 【点睛】此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键.28 .如图，已知直线 y kx 6与抛物线y ax bx c相交于A, B两点，且点A (1,(1)求抛物线的解析式;P,使POB与4POC全等？若存(2)在(1)中抛物线的第二象限图象上是否存在一点在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点Q是y轴上一点，且 4ABQ为直角三角形，求点 Q的坐标。【答案】解：(1) y x2 2x 3; (2)存在，P巫,匹-1) ; (3) Q点坐标 22为(0,)或(0,)或(0, 1)或(0, 3). 22

28、【解析】【分析】(1)已知点A坐标可确定直线 AB的解析式，进一步能求出点 B的坐标.点A是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B的坐标，依据待定系数法可解(2)首先由抛物线的解析式求出点C的坐标，在POB和4POC中，已知的条件是公共边OP,若OB与OC不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB等于OC,那么还要满足的条件为：/POC=/ POB,各自去掉一个直角后容易发现，点P正好在第二象限的角平分线上，联立直线 y=-x与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点 P在第二象限的限定条件.(3)分别以A、B、Q为直角顶点，分类进行讨论，找出相关的相似

29、三角形，依据对应线 段成比例进行求解即可.解：(1)把 A (1, - 4)代入 y = kx 6,得 k= 2,y= 2x 6,令y=0,解得：x=3,.B的坐标是(3,0).,A为顶点,，设抛物线的解析为 y= a (x-1) 2-4,把 B (3, 0)代入得：4a-4=0,解得a= 1,.y= ( x- 1) 2-4=x2- 2x- 3.(2)存在. OB=OC= 3, op= op,当 / POB= / POC时，PO® POQ此时PO平分第二象限，即 PO的解析式为y=-x.设 P (m, - m),则-m=m2 - 2m-3,解得 m= l-13 (m =1+"

30、;3 >0,舍)，22, P (5,(3)2如图,ADODDQiDB2当 /QAB= 90 °时，DAQsDOB,5 DQ1- 5,即 =一产,DQ1 =,63 52OQ1 =,即 Q1 (0,-); 如图，当 /Q2BA= 90° 时， BOQ2C/3 DOB,OBOQ23OQ2,即-,ODOB633 -3、OQ2=,即 Q2 (0,1);4 2 如图，当/AQ3B=90°时，作 AELy轴于E,则BOQ3s4Q3EAOB OQ33 OQ33,即3Q3EAE 4 OQ31 OQ32 - 4OQ3+3= 0, OQ3= 1 或 3,即 Q3 （0, - 1）

31、 , Q4 （0, - 3）.综上，Q点坐标为（0,-工）或（0, 3）或（0, - 1）或（0, - 3） 22问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形9.阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴 夹角平分线的直线，叫该点的特征线”.例如，点M (1, 3)的特征线有：x=1, y=3,OABC点B在第一象限，A、C分别在1 ,、2x轴和y轴上，抛物线 y (x m) n经过B C两点，顶点D在正万形内部. 4(1)直接写出点D (m, n)所有的特征线；(2)若点D有一条特征线是y=x+1,求此抛物线的解析式；(3)点P是AB边上除点A外的任意一点，连

32、接 OP,将4OAP沿着OP折叠，点A落在点A的位置，当点A在平行于坐标轴的 D点的特征线上时，满足(2)中条件的抛物线向下平 移多少距离，其顶点落在 OP上？12【答案】(1) x=m, y=n, y=x+n- m, y=-x+m+n; (2) y - (x 2)3; (3)抛物4线向下平移9 2安 或23距离,其顶点落在 OP上. 312【解析】试题分析：(1)根据特征线直接求出点D的特征线；(2)由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标，从而求出抛物线解析式；(2)分平行于x轴和y轴两种情况，由折叠的性质计算即可.试题解析：解：(1) ,一点D (m, n),，点D (m, n)的

33、特征线是 x=m, y=n, y=x+n- m, y=- x+m+n;(2)点D有一条特征线是y=x+1,，n-m=1,，n=m+1.，.抛物线解析式为1 ,、21 ,、2y (x m) n ,y -(x m) m 1 ,二,四边形OABC是正万形，且 D点为正万 441 _2形的对称轴，D (m, n) , B (2m, 2m) , . y (2m m) n 2m ,将 n=m+1 带 4入得到m=2, n=3;1 ,八、2 八.D (2, 3) , 抛物线解析式为 y (x 2)2 3.4(3)如图，当点A在平行于y轴的D点的特征线时:Q/ AOP=/ AOP=30°,2.3.3

34、根据题意可得， D (2, 3) , ，OA' OA=4, OM=2, ./AOM=60°,OM 2 3423 9.MN = = 乂，抛物线需要向下平移的距离=3 2<3-= 333如图，当点A'在平彳T于x轴的D点的特征线时，设 A' (p, 3),则OA' OA=4, OE=3, EA'也232=V7, -AF=4-",设 P (4,c)(c>0),在RtA'FP中，(4-J7) 2+(3-c) 2=c2, 216 4", P (4, 16 4")，直线 OP 解析式为y=4 而x, N (

35、2, 8 2"),，抛物线需要向下平移的距离 =3- 338 2 7 1 2 .7 =33综上所述：抛物线向下平移 9 2J3或1 2" 距离，其顶点落在 OP上.33点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，解答本题的关键 是用正方形的性质求出点 D的坐标.10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= - x2+bx+c经过点A (- 1, 0)和点C (0,4),交x轴正半轴于点B,连接AC,点E是线段OB上一动点(不与点 O, B重合)，以得到线段OE为边在x轴上方作正方形 OEFG连接FB,将线段FB绕点F逆时针旋转90°, FP,过点

36、P作PH/y轴，PH交抛物线于点 H,设点E (a, 0) .(1)求抛物线的解析式.(2)若4AOC与4FEB相似，求a的值.(3)当PH= 2时，求点P的坐标.【答案】(1) y=- x2+3x+4； (2) a= 16或4; (3)点 P 的坐标为(2, 4)55或(世纥4).2【解析】【详解】(1)点 C (0, 4),则 c=4,二次函数表达式为： y = - x2+bx+4,将点A的坐标代入上式得：0= - 1 - b+4,解得：b = 3,故抛物线的表达式为：y= - x2+3x+4;AO 1(2) tan Z ACO=,CO 4 AOC 与 AFEB 相似，贝 U / FBE=

37、 / ACO 或/CAO,即：tan / FEB= 1 或 4,4.四边形OEFG为正方形，则FE= OE= a,EB= 4- a,则-a 1 或-a 4 ,4 a 44 a(1,4) m16 八 4斛得：a= 一或一；55(3)令 y= - x2+3x+4= 0,解得：x= 4 或-1,故点 B (4, 0); / PFN+/ BFN= 90 °, / FPN+/ PFN= 90 ； / FPNU / NFB, . GN / x 轴，Z FPN= / NFB= / FBE / PNF= / BEF= 90 °, FP= FB,.-.PNFABEF （AAS）,.FN=FE

38、= a, PN= EB= 4-a, 点 P （2a, 4）,点 H （2a, - 4a2+6a+4）, .PH=2,即：4a2+6a+4-4=|2| ,解得：a= 1或1或3 J17或3 57 （舍去），244故：点P的坐标为（2, 4）或（1, 4）或（3+"17 , 4）.2【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，其中（2）、（ 3）,要注意分类求解，避免遗漏.11.如图，已知 A ( - 2, 0) , B (4, 0),抛物线 y=ax2+bx- 1过A、B两点，并与过 A点的直线y=- -x- 1交于点c. 2(1)求抛物线解析式及对称轴；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点

39、P,使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；(3)点M为y轴右侧抛物线上一点，过点 M作直线AC的垂线，垂足为 N.问：是否存 在这样的点N,使以点M、N、C为顶点的三角形与 4AOC相似，若存在，求出点 N的坐 标，若不存在，请说明理由.121【答案】(1)抛物线斛析式为：y=-x - x 1 ,抛物线对称轴为直线 x=1； (2)存在P 84 1 八点坐标为(1,-鼻)；(3) N点坐标为(4, - 3)或(2, - 1)【解析】分析：(1)由待定系数法求解即可；N坐标，表示点M坐标代(2)将四边形周长最小转化为PC+PO最小即可；(3)利用相似三角形对应

40、点进行分类讨论，构造图形.设出点入抛物线解析式即可.详解：(1)把 A (-2, 0) , B (4, 0)代入抛物线 y=ax2+bx-1,得0= 4a 2b 10= 16a 4b 11 a 解得 81b= 一4，抛物线解析式为：y=1x2- 1 x-1841b 4 彳一抛物线对称轴为直线 x=T = 12a 2 18(2)存在使四边形ACPO的周长最小，只需 PC+POM小，取点C (0, -1)关于直线x=1的对称点C' (2, -1),连C'内直线x=1的交点即为P 点.设过点C'、。直线解析式为：y=kx1 . k=-2 .y=- 1x2，1则P点坐标为(1,

41、- 一)2(3)当AOgMNC 时，如图，延长 MN交y轴于点D,过点N作NE，y轴于点ED： / ACO=/ NCD, / AOC=/ CND=90/ CDN=Z CAO由相似，/CAO=/ CMN/ CDN=/ CMN. MN ±ACM、D关于AN对称，则N为DM中点设点N坐标为(a, - 1 a-1)2由 EDNs OACED=2a点 D 坐标为(0, -5a-l )2N为DM中点，点M坐标为(2a, 3 a-1 )2把M代入y=1 x2-1 x-1 ,解得84a=4则N点坐标为(4, -3)当AOACNM 时，/ CAO=Z NCM.CM/AB则点C关于直线x=1的对称点C即

42、为点N由(2) N (2, -1) .N点坐标为(4, -3)或(2, -1)点睛：本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似.解答时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想.一 2一 一 一.12 .已知：二次函数 y x 4x 3a 2(a为常数).(1)请写出该二次函数图象的三条性质；(2)在同一直角坐标系中，若t二次函数的图象在x 4的部分与一次函数 y 2x 1的图象有两个交点，求a的取值范围.5【答案】(1)见解析；(2)5 a 2 .3【解析】【分析】(1)可从开口方向、对称轴、最值等角度来研究即可；(2)先由二次函数的图象与一次函数y 2x 1

43、的图象有两个交点，即关于 x的一元二次方程x2 6x 3a 3 0有两个不相等的实数根，由此可得 a 2 ,再根据二次函数的图象在x 4的部分与一次函数 y 2x 1的图象有两个交点，也就是说二次函数wx26x3a3的图象与x轴x 4的部分有两个交点，画出函数wx26x3a3的图象，结合图象，可知当 x 4时，x2 6x3a 3 0 ,将x=4代入求得a的取值范围，由此即可求得答案【详解】(1)图象开口向上； 图象的对称轴为直线 x 2;当x 2时，y随x的增大而增大；当x 2时，y随x的增大而减小；当x 2时，函数有最小值；(2),二次函数的图象与一次函数y 2x 1的图象有两个交点,.22

44、x 4x 3a 2 2x 1 ,即 x 6x 3a 3 0,36 4(3a 3)12a 24 0,解得 a 2,二次函数的图象在，二次函数w x2x 4的部分与一次函数 y 2x 1的图象有两个交点,6x 3a 3的图象与x轴x 4的部分有两个交点，画出二次函数w x2 6x 3a 3的图象，结合图象,，当 x 4时，x2 6x 3a 3 3a 5 0 ,得 a，当二次函数的图象在 x 4的部分与一次函数 y 2x 1的图象有两个交点时,，一，5a的取值范围为一a 2 .3【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及了二次函数的性质，二次函数图象与一次函数图象的 交点问题，二次函数的图象与 x轴交

45、点问题，正确进行分析并运用数形结合思想、灵活运 用相关知识是解题的关键.13 .如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B (4, 0)、C (8, 0)、D(8, 8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发.沿线段 AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终 点D运动.速度均为每秒 1个单位长度，运动时间为 t秒.过点P作PH AB交AC于点E 过点E作EF，AD于点F,交抛物线于点 G.当t为何值时，线段 EG最长？连接EQ.在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得4CEQ是等腰三角形？青直接写出

46、相应的t值.【答案】 点A的坐标为(4, 8)将A (4,8)、C (8, 0)两点坐标分别代入 y=ax2+bx得 8=16a+4b 0=64a+8b解得 a=- - ,b=4抛物线的解析式为:y=- x2+4xPE BC PE(2) 在 RtA APE和 RtABC中，tan / PAE=即AP AB ' AP 1 1 _ .PE=- AP=- t. PB=8-t. 771，点E的坐标为(4+-t, 8-t).22. 点 G 的纵坐标为：-(4+ t) 2+4(4+ t) =- t2+8.222£c2EG=- t2+8-(8-t)£=-.t2+t.-mV0, .

47、当t=4时，线段EG最长为2.共有三个时刻:【解析】I, t2=2t3鸟.3132 .5(1)根据题意即可得到点 A的坐标，再由A、C两点坐标根据待定系数法即可求得抛物线 的解析式；(2) 在RtAAPE和RtABC中，由tan / PAE即可表示出点 E的坐标，从而得到点 G 的坐标，EG的长等于点G的纵坐标减去点 E的纵坐标，得到一个函数关系式，根据函数关 系式的特征即可求得结果； 考虑腰和底，分情况讨论.14.如图，已知二次函数 y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A (1, 0) , B (3, 0) 点C.(1)求这个二次函数的表达式；(2)点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求 4

48、BCP面积的最大值；(3)直线x=m分别交直线BC和抛物线于点 M, N,当 BMN是等腰三角形时,27y=x2 4x+3;( 2) Sa bcp最大=一8是等腰三角形时，m的值为，2, - J2, 1, 2.【解析】分析：(1)根据待定系数法，可得函数解析式；(2)根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得 长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；(3)根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案.详解：(1)将A (1, 0) , B (3, 0)代入函数解析式，得直接写出当 4BMNPE的a b 3= 0解得a= 1b= 4

49、这个二次函数的表达式是 y=x2-4x+3；(2)当 x=0 时，y=3,即点 C (0, 3),设BC的表达式为y=kx+b,将点B (3, 0)点C (0, 3)代入函数解析式，得3k b= 0b= 0解这个方程组，得k= 1b= 3直线BC的解析是为y=-x+3, 过点P作PE/ y轴9a 3b 3= 0X.Sa bcp=S bpe+Scpe= 1 (-t2+3t)23dtm 2+巴228.-3<0,2当t=3时，Sabcp最大27(3) M (m, -m+3) , N (m, MN=m2-3m, BM=72|m-3| , 当 MN=BM 时，m 2-3m= 22 m 2-3m=- y2 (m-3),解得8m2-4m+3)(m-3),解得 m= 22，m=- J2当 BN=MN 时，/ NBM=Z BMN=45 , m2-4m+3=0,解得 m=1 或 m=3 (舍) 当 BM=BN 时，ZBMN=Z BNM=45 , -(m2-4m+3) =-m+3,解得 m=2 或 m=3 (舍)，当ABMN是等腰三角形时，m的值为J2, -J2, 1, 2.点睛：本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和