数理金融第八章二叉树模型与美式期权的风险管理

1、copyrightlinhui, department of finance, nanjing university1金融风险理论与模型金融风险理论与模型第第5章章 二叉树模型与美式期权的二叉树模型与美式期权的风险管理风险管理25.1 概述概述 二叉树期权定价（二叉树期权定价（binomial option pricing model）由）由cox,ross,rubinstein等人提出等人提出 为期权定价模型为为期权定价模型为b-s模型提供一种比较简模型提供一种比较简单和直观的方法单和直观的方法 二叉树模型已经成为建立复杂期权（美式二叉树模型已经成为建立复杂期权（美式期权和奇异期权）定价模型

2、的基本手段期权和奇异期权）定价模型的基本手段 对于所有不能给出解析式的期权，都可以对于所有不能给出解析式的期权，都可以通过二叉树模型给出。通过二叉树模型给出。3a simple binomial model a stock price is currently $20 in three months it will be either $22 or $18stock price = $22stock price = $18stock price = $204stock price = $22option price = $1stock price = $18option price = $0s

3、tock price = $20option price=?a 3-month call option on the stock has a strike price of 21. 5 consider the portfolio:long d d sharesshort 1 call optionportfolio is riskless when 22d d 1 = 18d d or d d = 0.2522 d d 118d dsetting up a riskless portfoliod股股票股股票1份期权份期权=无风险证券无风险证券1份期权份期权= d d股股股股票票-无风险证券无

4、风险证券65.2 单期二叉树期权定价模型单期二叉树期权定价模型 考虑一个买权在当前时刻考虑一个买权在当前时刻t，下期，下期t=t到期，中间到期，中间只有只有1期，期，=t-t 假设该买权的标的股票是假设该买权的标的股票是1个服从二项分布的随机个服从二项分布的随机变量。当前股票价格为变量。当前股票价格为st=s是已知的，到期股票价是已知的，到期股票价格为格为st，且满足且满足,1, (),1 , () 1uuttddttssuss up ssqssdss dp ssq 其中，其中，u为上涨因子，为上涨因子，d为下跌因子为下跌因子7st=su=usst=sd=dsstq1-q问题：问题：如何确定该

5、期权在当前时刻如何确定该期权在当前时刻t的价值的价值ct？设想：设想：构造如下投资组合，以无风险利率构造如下投资组合，以无风险利率r借入资金借入资金b（相当于无风险债券空头），并且在股票市场上购入（相当于无风险债券空头），并且在股票市场上购入n股股票（股票多头）。股股票（股票多头）。目的目的：在买权到期日，上述投资组合的价值特征与买：在买权到期日，上述投资组合的价值特征与买权完全相同。权完全相同。8 在当前时刻在当前时刻t，已知股票的价格为，已知股票的价格为s，构造上述组合的成本，构造上述组合的成本为为tnsbnsb 在到期时刻在到期时刻t，若希望该组合的价值，若希望该组合的价值v与买权的价值

6、完全与买权的价值完全相同则必须满足相同则必须满足 uuruddrdvnsbecvnsbec 且 由上两式得到由上两式得到()/()()/() ()/()()/ ()/()udududduududrddrudrnccssccud sbs cs cssenscedcucud e 由此得到的组合由此得到的组合 称为合成期权（称为合成期权（synthetic option），），由无套利定价原则，在当前时刻由无套利定价原则，在当前时刻t买权的价值为买权的价值为nsb()()(1)(1)()(1)(1)tudududurdrrurdrrrurdrrrurdrudrcnsbccdcucccdc euc e

7、sud sud eudcdec ueeduec ec eudududededc ec epcp c eududredherepud，10例子例子 假设有假设有1个股票买权合约，到期日为个股票买权合约，到期日为1年，执行价格为年，执行价格为112美元，股票当前的价格为美元，股票当前的价格为100美元，无风险利率为美元，无风险利率为8（连续复利折算为单利）。在到期日股票的价格有两种（连续复利折算为单利）。在到期日股票的价格有两种可能：可能：180美元或者美元或者60美元，求期权的价值？美元，求期权的价值？st=su=us180st=sd=ds=60stq1-qct？ct=cu=max(0, su-

8、112)=68ct=cd=max(0, sd-112)=011()/() (680)/(18060)0.57()()/ (0.57 600)/1.0831.48()ududddrnccssbnsce股元1.08 100600.418060rrdudede sspudss(1)25.18(udrtcpcp ce美元)12dicussion: risk-neutral probability1.p is risk-neutral probability for all securities 。 stocks expected relative return is (1) (1)udrrrspsp

9、sededyuesudud0(1)/udrcsypcp cceyoptions expected relative return is so，p is a variable which make riskful stock and call options expected return are both only riskless interest rate.for the above reason, we call p “risk neutral probability”.13dicussion: risk-neutral probability2.在风险中性世界中，主观概率在风险中性世界

10、中，主观概率q没有出现。没有出现。虽然个人对虽然个人对q的信念是不同的，但是在期权的定价过的信念是不同的，但是在期权的定价过程中并没有涉及到程中并没有涉及到q，也就是人们对，也就是人们对q认识的分歧并认识的分歧并不影响对期权的定价结果。不影响对期权的定价结果。投资者最终都一致风险中性概率投资者最终都一致风险中性概率p，它只取决于，它只取决于r，u，d这三个客观因子。这三个客观因子。(1)(1)rrrdrtudrededcec eududpcp ce14dicussion: risk-neutral probability 风险中性世界，不必考虑风险，这等价于假设投资者是风风险中性世界，不必考虑

11、风险，这等价于假设投资者是风险中性的。险中性的。 若在期初构造如下组合：以若在期初构造如下组合：以s的价格买入的价格买入n股股票，同时股股票，同时以以c的价格卖出的价格卖出1个期权，则该组合的投资成本为个期权，则该组合的投资成本为nsc必必然等于然等于b。 若若stsu()/()uududuurvccssscbe若若stsd()/()dududddrvccssscbe15 投资者虽然投资于有风险的股票和期权，但是由投资者虽然投资于有风险的股票和期权，但是由二者构成的组合二者构成的组合nsc，即相当于投资，即相当于投资1个无风险个无风险的证券。的证券。组合贴现率的贴现率只能是无风险利率组合贴现率

12、的贴现率只能是无风险利率 由于是无风险证券，对于理性投资者，不论其偏由于是无风险证券，对于理性投资者，不论其偏好如何，其风险态度对于这样的组合是无关紧要。好如何，其风险态度对于这样的组合是无关紧要。只要考虑收益的大小即可，由此大大简化资产的只要考虑收益的大小即可，由此大大简化资产的定价。定价。 基于上述的理由，只要以上述方式构建投资组合基于上述的理由，只要以上述方式构建投资组合来对期权定价，就等价于来对期权定价，就等价于假设投资者是风险中性假设投资者是风险中性的，既然是风险中性的，则对这样的组合定价就的，既然是风险中性的，则对这样的组合定价就不必考虑风险问题。不必考虑风险问题。16 由于标的资

13、产市场价格是由于标的资产市场价格是1个连续（接近连续）的随机变个连续（接近连续）的随机变量，不可能只有量，不可能只有2种情形，因此可以考虑将时间种情形，因此可以考虑将时间t-t分为多分为多段处理，首先介绍两阶段模型。段处理，首先介绍两阶段模型。5.3 两阶段二叉树定价模型两阶段二叉树定价模型两阶段模型（两阶段模型（two-step binomial tree)若把从定价日若把从定价日t至到期日至到期日t的时间区间的时间区间t-t，划分为，划分为2个个阶段，在每阶段，在每1个阶段，仍然假设标的资产价格只可能取个阶段，仍然假设标的资产价格只可能取2种状态，上涨和下跌，种状态，上涨和下跌，且上涨和下

14、跌的幅度相等且上涨和下跌的幅度相等，则第，则第2阶段结束时候（阶段结束时候（t=t），标的资产价格的取值为），标的资产价格的取值为3个，个，并且令并且令h为每个阶段的时间长度为每个阶段的时间长度22tth17两阶段模型示意图两阶段模型示意图stctsu,cuuduuddsd,cdsuu,cuusud,cudsdd,cdd其中，其中，u1/d18 第第2期本来有期本来有4种状态，为简化分析，不妨规定种状态，为简化分析，不妨规定u=1/d，则第则第2、3两种状态为同一结果，故将其合并。两种状态为同一结果，故将其合并。 期权到期日价值的期权到期日价值的所有可能值为所有可能值为两阶段模型两阶段模型22

15、max(0,)max(0,),max(0,)max(ma0,)max(0 x(0,),)uuuutudduudddddcsxu sxssccsxscsxd sxudx19 由由1阶段模型可知，在风险中性条件下阶段模型可知，在风险中性条件下(1),(1)uuuudrhdudddrhcpcp cecpcp ce222(1) 2 (1)(1)udrhtuuudddrhcpcp cep cpp cp ce,rhedhere pud注意：风险中性概率注意：风险中性概率p只与只与r，h，u，d有关，当上有关，当上述值确定下来后，两个阶段的述值确定下来后，两个阶段的p就完全相同，这也就完全相同，这也正是阶段

16、平分的优点。正是阶段平分的优点。2022max(0,)max(0,)max(0,) max(0,)max(0,)max(0,)max(0,)uuuuudduudddddudcsxu sxccssxscsxxxxd s22222222 (1)(1) max(0,) 2 (1)max(0,) (1)max(0,)uuudddrhtrcp cpp cp cepu sxppsxpd sx e当前时刻当前时刻t，期权的价值为，期权的价值为, there ss21定价思路：倒推定价法定价思路：倒推定价法1. 首先得到首先得到2期节点的股票价格，从而得到期节点的股票价格，从而得到该期的期权价格。该期的期权价

17、格。2. 采用风险中性定价，通过贴现得到采用风险中性定价，通过贴现得到1期节期节点的股票价格和期权价格。点的股票价格和期权价格。3. 由由1期的股票价格得到期权价格，得到当期的股票价格得到期权价格，得到当前期权的价格。前期权的价格。4. 风险中性定价下，每一期的风险中性概率风险中性定价下，每一期的风险中性概率都是相同的。都是相同的。22 将定价日将定价日t到到期日到到期日t的时间进一步等分为的时间进一步等分为n个阶个阶段，每个阶段的长度为段，每个阶段的长度为h5.4 n阶段二叉树定价模型阶段二叉树定价模型tthnn标的资产在到期日的状态可能取值为标的资产在到期日的状态可能取值为n1个个.若若n

18、，即每个阶段所对应的长度无穷小，则完全，即每个阶段所对应的长度无穷小，则完全有理由用二叉树来近似表示标的资产价格的连续变化有理由用二叉树来近似表示标的资产价格的连续变化过程。过程。数学意义：根据中心极限定理，若数学意义：根据中心极限定理，若n充分大，则二项充分大，则二项分布收敛于正态分布分布收敛于正态分布思路：思路：推导出推导出n期的二项式模型，然后令期的二项式模型，然后令n趋于无穷。趋于无穷。23 标的股票当前价格为标的股票当前价格为st=s，而在以后任意一期，而在以后任意一期，股价的变化有上升和下降两个可能。这样经过股价的变化有上升和下降两个可能。这样经过n期后（到期日期后（到期日t），若

19、该股票上涨），若该股票上涨j次，下跌次，下跌n-j次，次，到期日到期日t股价股价st为为,0,1,.,jnjtssu djn 由概率论可知，由概率论可知，st服从二项分布（服从二项分布（binomial distribution) ，所以，具有，所以，具有j次上涨，次上涨，n-j次下降的股次下降的股票价格票价格st的概率为的概率为(1)jjnjnc pp()! !jnnjcn j24recall： binomial distribution 假设在一个不透明的袋子中有假设在一个不透明的袋子中有n个球，其中个球，其中m个个是白色的，其余是白色的，其余n-m个球是黑色的，则每次取球个球是黑色的，则

20、每次取球取到白球的概率是取到白球的概率是p=m/n。 若有放回地取球若有放回地取球n次，称之为次，称之为n重贝努里试验。在重贝努里试验。在贝努里试验中刚好取到贝努里试验中刚好取到j次白球的概率记为次白球的概率记为b(j;n,p)( ; , )(1)!,!()!jjnjnjnb j n pc ppnnhere cjj nj 25recall： binomial distribution 由于由于b(j;n,p)刚好是二项式刚好是二项式(1)npp的系数00( ; , )(1)(1)1nnjjnjnnjjb j n pc pppp(1)jjnjnc pp例如第例如第j项就是项就是故上述分布又称为二

21、项式分布，并且成立故上述分布又称为二项式分布，并且成立26recall： binomial distribution 由于二项式分布计算复杂，为简化计算。当由于二项式分布计算复杂，为简化计算。当n，可以用正态分布逼近（定理：独立同分布下的中可以用正态分布逼近（定理：独立同分布下的中心极限定理）。心极限定理）。 设随机变量设随机变量ynb(j;n,p)，则随机变量，则随机变量22(1)01( ; , )()2(1)k npxknppiknpb i n pedxnnpplim()( )(1)nnynppyn ynpp27参照参照2阶段模型的思路，从最后的阶段模型的思路，从最后的n期（期（t时刻）开

22、始时刻）开始逐期向前推导，则期权在当前时刻逐期向前推导，则期权在当前时刻t的价格为的价格为00(1)max(0,) (1)max(0,)njjnjjnjnrhtnjnjjnjjnjrnjcc ppsu dx ec ppsu dx e公式意义：在公式意义：在风险中性世界里风险中性世界里，将期权到期时所有，将期权到期时所有的可能值对当前时刻贴现，并以风险中性概率加权，的可能值对当前时刻贴现，并以风险中性概率加权，得到的是期权现值的期望值。得到的是期权现值的期望值。此期望值是期权的真实值吗？此期望值是期权的真实值吗？28for example: two-step binomial trees2222

23、20002022211111222202022222(1)max(0,) (1) max(0,)(1) max(0,)(1) max(0,) (1) max(0,)2 (1)max(0,)max(0jjjjjrhtjrhrhrhrrcc ppsu dx ec ppsu dx ec ppsu dx ec ppsu dx epsdx eppsx ep2,)rsux e295.5 crr model: n-step binomial trees0(1)max(0,)njjnjjnjrtnjcc ppsu dx e , , , jnjmn mifupincrease so we can find aj

24、su dsu dmx(1)()njjnjjnjrtnj mcc ppsu dx e30(1)() (1) (1)njjnjjnjnrhtnj mnnrhjjnjjnjnj mnnrhjjnjnj mcc ppsu dx esec ppu dxec pprhedpudrhppu e1(1)rhpp d e 31() (1)(1)(1) (1)( ,)njjnjjnjnrhnj mnjrhrhnj mnjrhrhnj mnjnjjnjnjnjnjmjjjnjjsc ppu descpdep u escp depuescppsb n m p 1(1) rhrhpp d eppu e( ,)( , )

25、 ( ,)( , )nrhtrcsb n m pxeb n m psb n m pxeb n m p:( , )(1) ( ,)(1)njjnjnj mnjnjjnj mhere b n m pc ppb n m pcpp11 minimal integer mn mmn mm ispositivewhichsatisfies ssu dxudrhppu ehow to compute u or d?33choosing u and d one way of matching the volatility is to set hhuedewhere is the volatility and

26、h is the length of the time step. this is the approach used by cox, ross, and rubinstein. neutral-risk probability is rhedpud34simplify first term( ,)( , )rtcsxeb n m pb n m p(1) ( ,) () (1) (1) =() (1)(1) () 1(1) (1)njjnjjnjnrhnj mnnrhjjnjnj mnjjnjnrmnjjjnc ppu deecpup dpup dcpup dpup db n m pepup

27、dpupucpup d(1)nnjj mpup d=135 (1) (1) () 1(1) rhrhnnrhnrrnededpup dudeeududepup dbinomial equation 0nnjjnjnjabc a b () 1(1)(1)1njjnjnj mnjjnjnj mpupucpup dpup dc yy(1)rhpupuypup de36100 lim(1)lim(1)(1)11(1)1(1)(1)(1)njjnjnnj mnmjjnjjjnjnnnjjrhc yyc yyc yymnynnyynymnnyynpuemnnpp (1)rhpupuypup de11(1)

28、(1)(1)(1)(1)(1)(1)()rhrhrhrhrhrhrhpunmnymenyypupuneenpuemnpuemnpuemnpup dnppnpu epu37simplify second term100 lim( ,)(1)(1)(1)11()(1)1()(1)njjnjnnjmnmjjnjjjnjnnjjb n m pc ppc ppc ppmnpnnppnpmnnpp 38simplify all terms1212(1)1()(1)(1) ()()(1)1,(1)(1)rhrtrrhnpuemnpmcsnxennppnppsn dxen dnpuemnpmddnppnppn

29、ext step, we must deduce d1 and d2 when n39deducing d1 and d2 (for m) ln( )lnln(/)ln(/)ln( / )ln( / ) mn mnmnnusu dxsdxdx sdx sdmmu du d ,hhuedeln()/ ln(/ )2ln(/)hnhhex sx snhmheeln(/ )lim2nx snhmh40deducing d1 and d2 (for p)002222 limlim(1)(10.5) (10.5)(10.5)1/2 22rhnhhedpudrhhhhhhhrh221/21/2(1)()(

30、)22222rrnnppnhh41122(1)(1)1/2ln(/ )()(1)(1)222 12()(1)ln(/ )22 rhnpuemdnpprx snhnhhhnnhrhhhx snhhnh21/2 ,;(1)/2;22ln(/ );1;1.2rhhrif nphnppnx snhmeuehh 4222333222222()(1)ln(/ )22ln(/ )222ln( /)222()ln( /)2, 22nhrhhhx snhhnhnhrnhnhnrhx shnhrnrttnhs xnhr nhnhnrsnnx 21ln( /)()2limns xrd 43deducing d222

31、2221 ,(1)1/2ln(/ )()1222/2(/2)ln(/ )2 ln( /)(/2) npmif ndnpprx snhnhhdnrnhx snhns xr 44result: black-scholes formula1221221(1)1()(1)(1) ()()ln( /)()(1)2(1)ln( /)()12(1)rhrtrrhnpuemnpmcsnxennppnppsn dxen ds xrnpuemdnpps xrnpmddnpp 455.6 how to choose u and d black-scholes model assume the motion of s

32、tock price satisfies the geometry brown motion or logarithm normal distribution222222 lnln(/2) ,lnln(/2) ,ln(/ ) (/2) ,tttsnsssnssn constant .tss isas we have known at present time t46how to choose u and dlnln()ln ln( / )lnjnjttsssu djunjdsju dnd2( ),( )(1), ( , )(ln/ ) ln( / )ln ln( / )ln ln/ (1)ln

33、 ( / )tte jqn d jnqq if jb n qesse ju dndnqu dnddssnqqu din binomial model, we assumeq is probability of stock price up in real worlds.47how to choose u and d222(ln/ )ln( / )ln(/2)ln/ (1)ln ( / )ttessnqu dnddssnqqu d 2 , , if we have knownfor matching u d and q 222201122222011222220 ,0,lim1 (/2)/)li

34、m41 (/2)/)1 (/2)/) /41 (/2)/)1 (/2)/)lim 422hhhif nhhhhhhhhnh 481222ln ( / )4ln( / )2u dhu dh11222122212 limln( / )ln1 (/2)/)2ln2(/2)lnlimln( / )ln(/2) ln0nnhhnqu dndhnhndn hndnqu dndn hnddeue49so, we find one solve of the equation1222,1 (/2)/)1/2222hhdeuehqhin risk-neutral world, the return of secu

35、rities must be r, which means12221 (/2)/)1/2222rhrph50disscusion: choosing u and d we have know neutral probability p for any step1, redpuuddud1p1-p51 we can get ,uede prove: in risk-neutral world(1)(1)rhrhsepsup sdepup dsr ttrhhsd d d varian of a stocks return in according to geometry brown motion2

36、()sdhsdh52ud1p1-p22222( )() ( ) random variable ()(1)(1) ,d qe qe qforqsdpup dpup dru dsd222212 (1)(1) ()() 1rhrhrhrhpup dpup deududeeuue 1/ ,rhedud pud53112212020112222220222022202 lim() 1lim() 1111lim(1)(11)222 1 (124)lim(1)(2)22limrhrhhrhhhrhhhhheuueeeeerhr hhhhhrhr hrhhrhhrhh substituting for u

37、and d, the terms of higher than 2 power are ignored.,uedefrom cox，ross and rubinstein(1979)54 美式期权可以提前执行，提前执行从表面上看是美式期权可以提前执行，提前执行从表面上看是一个非常微小的变化，但是欧式期权与美式期权一个非常微小的变化，但是欧式期权与美式期权（尤其是看跌期权）价值有很大的不同。（尤其是看跌期权）价值有很大的不同。 we know the value of the option at the final nodes we work back through the tree usin

38、g risk-neutral valuation to calculate the value of the option at each node, testing for early exercise when appropriate 美式期权没有解析解，故采用美式期权没有解析解，故采用二叉树二叉树方法来逼近。方法来逼近。5.7 application: american option pricing 55american option pricing1h2h3h4h56 以无收益证券的美式看跌期权为例。把该期权以无收益证券的美式看跌期权为例。把该期权有效期划分成有效期划分成n个长度为个长

39、度为h的小区间，令的小区间，令 表示在时间表示在时间 时第时第j j个结个结点处的美式看跌期权的价值，点处的美式看跌期权的价值，同时用同时用 表示结点表示结点 处的证券价格处的证券价格，可得：，可得： 后，后，假定期权不被提前执行，则在风险中性假定期权不被提前执行，则在风险中性条件下：条件下： ,max(,0)jnjn jfxsu d1,11,(1)rijijijfepfp f)0 ,0(ijnifijihjijsu d),(jiih57example: american put option(see example 16.1, page 391)s = 50; x = 50; r =10%;

40、 = 40%; t = 5 months = 0.4167 (year); h = 1 month = 0.0833 (year); the parameters imply u = 1.1224; d = 0.8909; = 1.0084; p = 0.5076rhe58 为了构造二叉树，我们把期权有效期分为五段，为了构造二叉树，我们把期权有效期分为五段，每段一个月（等于每段一个月（等于0.0833年）。可以算出年）。可以算出：1.12240.89090.507610.4924hhrhuedeedpudp59example89.070.0079.350.0070.7070.700.000.0

41、062.9962.990.640.0056.1256.1256.122.161.300.0050.0050.0050.004.493.772.6644.5544.5544.556.966.385.4539.6939.6910.3610.3135.3635.3614.6414.6431.5018.5028.0721.93x500.1 0.0833(0.5076 5.450.4924 14.64)9.90e605.5 二叉树模型的程序二叉树模型的程序 example ：price an american call option using a binomial model. again, the asset price is $100.00, the exercise price is $95.00, the risk-free interest rate is 10%, and the time to maturity is 0.25 years. it computes the tree in increments of 0.01 years,