高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形第7讲解三角形应用举例练习理北师大版051

1、1第第 7 7 讲讲解三角形应用举例解三角形应用举例一、选择题1.在相距 2 km 的a，b两点处测量目标点c，若cab75，cba60，则a，c两点之间的距离为()a. 6 kmb. 2 kmc. 3 kmd.2 km解析如图， 在abc中， 由已知可得acb45， acsin 602sin 45，ac2 232 6(km).答案a2.一艘海轮从a处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40的方向直线航行，30 分钟后到达b处，在c处有一座灯塔，海轮在a处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在b处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么b，c两点间的距离是()a.102海里b.103海里c.20

2、3海里d.202海里解析如图所示，易知，在 abc中，ab20，cab30，acb45，根据正弦定理得bcsin 30absin 45，解得bc10 2(海里).答案a3.(2017合肥调研)如图所示， 已知两座灯塔a和b与海洋观察站c的距离都等于akm，灯塔a在观察站c的北偏东 20，灯塔b在观察站c的南偏东 40，则灯塔a与b的距离为()a.akmb. 3akmc. 2akmd.2akm解析由题图可知，acb120，由余弦定理，得ab2ac2bc22acbccosacba2a22aa12 3a2，解得ab 3a(km).答案b4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d0.6 km，一艘客船从码

3、头a出发匀速驶往河对岸的码头b.已知ab1 km，水的流速为 2 km/h，2若客船从码头a驶到码头b所用的最短时间为 6 min，则客船在静水中的速度为()a.8 km/hb.6 2 km/hc.2 34 km/hd.10 km/h解析设ab与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为vkm/h，由题意知，sin0.6135，从而 cos45，所以由余弦定理得110v2110221221102145，解得v6 2.选 b.答案b5.如图，测量河对岸的塔高ab时可以选与塔底b在同一水平面内的两个测点c与d，测得bcd15，bdc30，cd30，并在点c测得塔顶a的仰角为 60，则塔高ab等于()a

4、.5 6b.15 3c.5 2d.15 6解析在bcd中，cbd1801530135.由正弦定理得bcsin 3030sin 135，所以bc15 2.在 rtabc中，abbctan acb15 2 315 6.答案d二、填空题6.如图所示，一艘海轮从a处出发，测得灯塔在海轮的北偏东 15方向，与海轮相距 20 海里的b处，海轮按北偏西 60的方向航行了 30 分钟后到达c处，又测得灯塔在海轮的北偏东 75的方向，则海轮的速度为_海里/分.解析由已知得acb45，b60，由正弦定理得acsinbabsinacb，所以acabsinbsinacb20sin 60sin 4510 6，所以海轮航

5、行的速度为10 63063(海里/分).答案637.江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为 45和 60， 而且两条船与炮台底部连线成 30角， 则两条船相距_m.解析如图，omaotan 4530(m)，onaotan 30333010 3(m)，3在mon中，由余弦定理得，mn90030023010 332 30010 3(m).答案10 38.在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是 30，60，则塔高为_m.解析如图，由已知可得bac30，cad30，bca60，acd30，adc120.又ab200 m，ac

6、40033(m).在acd中，由余弦定理得，ac22cd22cd2cos 1203cd2，cd13ac4003(m).答案4003三、解答题9.如图，渔船甲位于岛屿a的南偏西 60方向的b处，且与岛屿a相距12 海里，渔船乙以 10 海里/时的速度从岛屿a出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从b处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用 2 小时追上.(1)求渔船甲的速度；(2)求 sin的值.解(1)依题意知，bac120，ab12，ac10220，bca.在abc中，由余弦定理，得bc2ab2ac22abaccosbac12220221220cos 120784.解得bc28.所以渔船甲的速度为b

7、c214 海里/时.(2)在abc中，因为ab12，bac120，bc28，bca，由正弦定理，得absinbcsin 120，4即 sinabsin 120bc1232283 314.10.(2015安徽卷)在abc中，a34，ab6，ac3 2，点d在bc边上，adbd，求ad的长.解设abc的内角a，b，c所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理，得a2b2c22bccosbac(3 2)26223 26cos341836(36)90，所以a3 10.又由正弦定理，得 sinbbsinbaca33 101010，由题设知 0b4，所以 cosb 1sin2b11103 1010.在abd中

8、，因为adbd，所以abdbad，所以adb2b.由正弦定理，得adabsinbsin（2b）6sinb2sinbcosb3cosb 10.11.(2016全国卷)在abc中，b4，bc边上的高等于13bc，则 cosa()a.3 1010b.1010c.1010d.3 1010解析设bc边上的高ad交bc于点d，由题意b4，bd13bc，dc23bc，tanbad1，tancad2，tana121123，所以 cosa1010.答案c12.如图所示，d，c，b三点在地面同一直线上，dca，从d，c两点测得a点仰角分别为，()，则点a离地面的高ab等于()a.asinsinsin（）b.asi

9、nsincos（）5c.acoscossin（）d.acoscoscos（）解析结合题图示可知，dac.在acd中，由正弦定理得：dcsindacacsin，acasinsindacasinsin（）.在 rtabc中，abacsinasinsinsin（）.答案a13.如图，从气球a上测得正前方的河流的两岸b，c的俯角分别为 75，30，此时气球的高是 60 m，则河流的宽度bc等于_m.解析如图，acd30，abd75，ad60 m，在 rtacd中，cdadtanacd60tan 3060 3(m)，在 rtabd中，bdadtanabd60tan 75602 360(2 3)(m)，b

10、ccdbd60 360(2 3)120( 31)(m).答案120( 31)14.如图，在海岸a处，发现北偏东 45方向距a为( 31)海里的b处有一艘走私船，在a处北偏西 75方向，距a为 2 海里的c处的缉私船奉命以 103海里/时的速度追截走私船.此时走私船正以 10 海里/时的速度从b处向北偏东 30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注： 62.449).解设缉私船应沿cd方向行驶t小时，才能最快截获(在d点)走私船，则有cd10 3t(海里)，bd10t(海里).在abc中， ab( 31)海里，ac2 海里， bac4575120， 根据余弦定理，可得bc （ 31）22222（ 31）cos 120 6(海里).6根据正弦定理，可得sinabcacsin 120bc232622.abc4