浙江专用高中数学第三章直线与方程3.33.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距

1、 1 3.3.33.3.3 点到直线的距离点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离 目标定位 1.掌握点到直线的距离公式，会用公式解决有关问题.2.掌握两平行线之间的距离公式，并会求两平行线之间的距离. 自 主 预 习 1.点到直线的距离 (1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离. (2)公式：点p(x0，y0)到直线l：axbyc0 的距离d|ax0by0c|a2b2. 2.两平行直线间的距离 (1)概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离. (2)公式：两条平行直线l1：axbyc10 与l2：axbyc20 之间的距离

2、d|c1c2|a2b2. 即 时 自 测 1.判断题 (1)点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离.() (2)点p(x0，y0)到x轴的距离dy0；到y轴的距离dx0.() (3)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离.() (4)运用两平行线间的距离公式时， 要求的l1与l2两直线中x，y的系数必须分别对应相等.() 提示 (2)点p(x0，y0)到x轴的距离d|y0|；到y轴的距离d|x0|. 2.点(1，1)到直线xy10 的距离是( ) a.322 b.22 c.32 d.12 解析 d|111|12（1）2322. 答案 a 3.两条平行直线xy20

3、与xy30 的距离等于( ) a.522 b.22 c.52 d.2 解析 d|2（3）|1212522.故选 a. 答案 a 2 4.点p(m，1)到直线l：2xy10 的距离d1，则实数m的值等于_. 解析 由已知|2m11|22121，即|m|52，m52. 答案 52 类型一 点到直线的距离 【例 1】 求点p(3，2)到下列直线的距离： (1)y34x14； (2)y6； (3)x4. 解 (1) 把 方 程y34x14写 成 3x 4y 1 0 ， 由 点到 直 线 的 距 离 公式得d|334（2）1|32（4）2185. (2)法一 把方程y6写成0 xy60， 由点到直线的距

4、离公式得d|03（2）6|02128. 法二 因为直线y6 平行于x轴， 所以d|6(2)|8. (3)因为直线x4 平行于y轴， 所以d|43|1. 规律方法 1.求点到直线的距离，首先要把直线化成一般式方程，然后再套用点到直线的距离公式. 2.当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合. 3.几种特殊情况的点到直线的距离： (1)点p0(x0，y0)到直线ya的距离d|y0a|； (2)点p0(x0，y0)到直线xb的距离d|x0b|. 【训练 1】 若点(a，2)到直线l：yx3 的距离是 1，则 a_. 解析 直线l：yx3 可变形为xy30

5、. 由点(a，2)到直线l的距离为 1，得|a23|1（1）21，解得a52. 3 答案 52 类型二 两平行线间的距离 【例 2】 求两平行线l1：2xy10 与l2：4x2y30 之间的距离. 解 法一 在直线l1：2xy10 上任取一点，不妨取点p(0，1)， 则点p到直线l2：4x2y30 的距离为 d|40（2）（1）3|42（2）252.l1与l2间的距离为52. 法二 将直线l2的方程化为：2xy320. 又l1的方程为：2xy10，c11，c232， 又a2，b1， 由两平行直线间的距离公式得：d13222（1）252. 规律方法 1.针对这个类型的题目一般有两种思路： (1)

6、利用“化归”思想将两平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离. (2)利用两条平行直线间距离公式d|c1c2|a2b2. 2.当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决. (1)两直线都与x轴垂直时，l1：xx1，l2：xx2， 则d|x2x1|； (2)两直线都与y轴垂直时，l1：yy1，l2：yy2， 则d|y2y1|. 【训练 2】 求与直线l：5x12y60 平行且与直线l距离为 3 的直线方程. 解 与l平行的直线方程为 5x12yb0， 根据两平行直线间的距离公式得|b6|52（12）23， 解得b45 或b33. 所求直线方程为：5x12y45

7、0 或 5x12y330. 类型三 距离公式的综合应用(互动探究) 【例 3】 已知直线l经过直线 2xy50 与x2y0 的交点. (1)若点a(5，0)到l的距离为 3，求l的方程； (2)求点a(5，0)到l的距离的最大值. 4 思路探究 探究点一 经过一已知点且到另一已知点的距离为定值的直线有几条？求直线方程时需注意什么？ 提示 有且仅有两条， 在解决直线方程的问题时， 要注意直线斜率是否存在， 以免漏解或错解. 探究点二 如何求几何最值问题？ 提示 几何最值问题的求法有两种： (1)利用解析几何知识，可设一个函数，然后用函数求最值的方法求解. (2)利用几何定理，如两点之间线段最短，

8、三角形两边之和大于第三边等，找出最值. 解 法一 联立2xy50，x2y0得交点p(2，1)， 当直线斜率存在时，设l的方程为y1k(x2)，即kxy12k0， |5k12k|k213，解得k43，l的方程为y143(x2)，即 4x3y50. 而直线斜率不存在时直线x2 也符合题意， 故所求l的方程为 4x3y50 或x2. 法二 经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy5)(x2y)0， 即(2)x(12)y50，|5（2）5|（2）2（12）23， 即 22520，解得2 或12， l的方程为 4x3y50 或x2. (2)由2xy50，x2y0，解得交点p(2，1)， 过p任意作直线l

9、，设d为a到l的距离， 则d|pa|(当lpa时等号成立)，dmax|pa| 10. 规律方法 1.经过一已知点且到另一已知点的距离为定值的直线有且仅有两条.一定要注意直线斜率是否存在. 2.数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围. 【训练 3】 两条互相平行的直线分别过点a(6，2)和b(3，1)，如果两条平行直线间的距离为d，求： (1)d的变化范围； (2)当d取最大值时，两条直线的方程. 解 (1)如图，当两条平行直线与ab垂直时，两平行直线间的距离最大，为d|ab|（63）2（21）2310，

10、当两条平行线各自绕点b，a逆时针旋转时，距离逐渐变小， 5 越来越接近于 0，所以 07 b.a7 或a7 或3a3，解得a7 或a3. 答案 c 3.已知两点a(3，2)和b(1，4)到直线mxy30 的距离相等，则m等于( ) a.0 或12 b.12或6 c.12或12 d.0 或12 解析 由题意知直线mxy30 与ab平行或过线段ab的中点， 则有m4213或m31224230，所以m12或m6. 答案 b 4.倾斜角为 60，且与原点的距离是 5 的直线方程为_. 解析 因为直线斜率为 tan 603，可设直线方程为y3xb，化为一般式得3xyb0.由直线与原点距离为 5，得|00

11、b|（3）2（1）25|b|10.所以b10.所以直线方程为3xy100 或3xy100. 答案 3xy100 或3xy100 5.若点p在直线xy40 上，o为原点，则|op|的最小值是_. 解析 |op|的最小值，即为点o到直线xy40 的距离.d|004|121222. 答案 22 6.直线l过原点，且点(2，1)到l的距离为 1，求l的方程. 解 由题意可知，直线l的斜率一定存在. 又直线l过原点，设其方程为ykx，即kxy0. 由点(2，1)到l的距离为 1，得|2k1|k211. 解得k0 或k43. 直线l的方程为y0 或 4x3y0. 7.求直线 3xy40 关于点p(2，1)

12、对称的直线l的方程. 解 法一 设直线l上任一点为m(x，y)，则此点关于点p(2，1)的对称点为m1(4x，2y)，且m1在直线 3xy40 上，所以 3(4x)(2y)40，即 3xy100，所以所求直线l的方程为 3xy100. 8 法二 在直线 3xy40 上任取两点a(0，4)，b(1，1)，则点a(0，4)关于点p(2，1)的对称点为a1(4，2)，点b(1，1)关于点p(2，1)对称点为b1(3，1)，由两点式方程，可得直线l的方程为 3xy100. 法三 直线l与已知直线平行，可设l的方程为 3xym0，点p(2，1)到直线 3xy40 的距离d310，由于点p(2，1)到两直

13、线距离相等， 所以|7m|10310，解得m10 或m4(舍去)， 所以直线l的方程为 3xy100. 能 力 提 升 8.已知直线l过点p(3，4)且与点a(2，2)，b(4，2)等距离，则直线l的方程为( ) a.2x3y180 b.2xy20 c.3x2y180 或x2y20 d.2x3y180 或 2xy20 解析 设所求直线方程为y4k(x3)，即kxy43k0，由已知， 得|2k243k|1k2|4k243k|1k2，k2 或k23. 所求直线l的方程为 2xy20 或 2x3y180. 答案 d 9.两平行线分别经过点a(5，0)，b(0，12)，它们之间的距离d满足的条件是(

14、) a.0d5 b.0d13 c.0d12 d.5d12 解析 当两平行线与ab垂直时，两平行线间的距离最大，为|ab|13，所以 0d13. 答案 b 10.若直线的被两平行线l1：xy10 与l2：xy30 所截得的线段的长为 2 2，则m的倾斜角可以是15， 30， 45， 60， 75， 其中正确答案的序号是_.(写出所有正确答案的序号) 解析 两平行线间的距离为d|31|112，由图知直线m与l1的夹角为 30，l1的倾斜角为 45，所以直线m的倾斜角等于 304575或 453015. 答案 11.已知点p(a，b)在线段ab上运动，其中a(1，0)，b(0，1).试求(a2)2(

15、b2)2的取值范围. 解 由(a2)2(b2)2联想两点间距离公式，设q(2，2)，又p(a，b)则|pq|（a2）2（b2）2，于是问题转化为|pq|的最大、最小值. 如图所示：当p与a或b重合时，|pq|取得最大值： 9 （21）2（20）213. 当pqab时，|pq|取得最小值，此时|pq|为q点到直线ab的距离，由a、b两点坐标可得直线ab的方程为xy10. 则q点到直线ab的距离d|2（2）1|121252522， 252(a2)2(b2)213. 探 究 创 新 12.已知直线l：3xy10 及点a(4，1)，b(0，4)，c(2，0). (1)试在l上求一点p，使|ap|cp|最小； (2)试在l上求一点q，使