定积分的概念与性质课件

1、第一讲第一讲 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 内容提要内容提要 1.1.定积分的概念定积分的概念； 2.2.定积分的性质；定积分的性质； 3. .定积分的几何意义。定积分的几何意义。 教学要求教学要求 1.1.理解定积分的概念理解定积分的概念； 2.2.掌握定积分的性质。掌握定积分的性质。 例例1 1 求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积一、一、 定积分问题的两个实例定积分问题的两个实例曲边梯形曲边梯形：它有三条边是直线段，它有三条边是直线段，其中两条边互相平行，其中两条边互相平行， 第三条边与前两条垂直叫做底边，第三条边与前两条垂直叫做底边，第四条边是一条曲线弧叫做曲边第四条边是一条曲线弧

2、叫做曲边.0,)(曲曲边边梯梯形形的的面面积积所所围围成成的的及及直直线线求求由由曲曲线线 ybxaxxfy,)(常数常数若若 xf曲边梯形是一个矩形，曲边梯形是一个矩形，abxyo)(xfy DC 高高底底 面积面积abxyo)(xfy 先用矩形面积近似取代曲边梯形面积先用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然显然,小矩形越多小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积矩形总面积越接近曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）而现在而现在 是一条曲线，是一条曲线，所以，不能用初等数学的方法解决所以，不能用初等数学的方法解决.曲线上的高度是变化的，曲线上的高度是变化的，因此因此,我们用极限求曲边梯形面积我

3、们用极限求曲边梯形面积.1x 2x 3x )(xfy abxyo)(xfy （九个小矩形）（九个小矩形）,1210bxxxxxann - -Labxyo;1- - - iiixxx长度为长度为), 2 , 1(,1nixxiiiL - -，上上任任取取一一点点在在每每个个小小区区间间 iixf )( 为为高高的的小小矩矩形形面面积积为为为为底底，以以)(,1iiifxx - -具体步骤如下：具体步骤如下：第一步第一步 分割分割), 2 , 1(,1nixxnbaiiL - -，区间区间个小个小分成分成把区间把区间第二步第二步 作近似作近似用矩形面积用矩形面积iixf )( 个个小小曲曲边边梯梯

4、形形近近似似代代替替第第 iiiixfA )( 即即，面积面积iA 个分点，个分点，,ba内任意插入内任意插入在区间在区间1- -nix1x1- -ix1- -nx i iniixfA )(1 得曲边梯形面积得曲边梯形面积A的近似值为的近似值为第三步第三步 求和求和的的近近似似值值求求和和个个小小曲曲边边梯梯形形面面积积将将iAn 第四步第四步 取极限取极限时，时，当当0 ,max21nxxx L 记记.)(1Axfinii面面积积的的极极限限就就是是曲曲边边梯梯形形的的 iniixfA )(lim10 即即abxyoix1x1- -ix1- -nx i iniixf )(1 例例2 2 求变

5、速直线运动的路程求变速直线运动的路程求求物物体体在在这这段段时时间间内内所所经经过过的的路路程程. 设某物体作直线运动设某物体作直线运动,已知速度已知速度 是是 )(tvv 时间间隔时间间隔 上的一个连续函数上的一个连续函数, ,21TT动动，如如果果物物体体作作匀匀速速直直线线运运. )(12TTvs- - 则路程则路程变变化化，随随时时间间但但现现在在速速度度ttv)(不能按此计算路程不能按此计算路程.是是连连续续变变化化的的，由由于于速速度度)(tv在很短的一段时间内，在很短的一段时间内，.于于等等速速速速度度的的变变化化很很小小，近近似似因此，因此， 在时间间隔很短的条件下，在时间间隔

6、很短的条件下， 可用匀速代替变速可用匀速代替变速.与求曲边梯形面积的方法一样，由如下四步求路程与求曲边梯形面积的方法一样，由如下四步求路程.0)( tv且且 第一步第一步 分割分割212101TtttttTnn - -L且且第三步第三步 求和求和iinitvs )(1 第四步第四步 取极限取极限,max21nttt L 记记iniitvs )(lim10 个分点，个分点， 内任意插入内任意插入在区间在区间1- -n,21TTiiittt - -的的长长度度记记为为小小区区间间,1), 2 , 1(,121nittnTTiiL - -，个小区间个小区间分成分成把区间把区间第二步第二步 作近似作近

7、似 上的路程上的路程,1iitt- -is )(iv it ,121- -ntttL1- - - iitt 上某时刻上某时刻 的速度的速度,1iitt- -i 设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界， 在在,ba中中任任意意插插入入 bxxxxxann - -1210L把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间 二、定积分的定义二、定积分的定义定义定义个分点，个分点，1- -n,), 2 , 1(,1nixxiiL - -,)(上上可可积积在在则则称称baxf,)(上上的的定定积积分分在在且且称称这这个个极极限限值值是是baxf,)( badxxf记为记为.)(lim)(10iniiba

8、xfdxxf 即即iinixfS )(1 作和作和1- - - iiixxx记记个小区间的长度，个小区间的长度，为第为第i,1iiixxi 上任取一点上任取一点个小区间个小区间在第在第- -,max21nxxx L 记记存在，存在，如果极限如果极限iinixf )(lim10 ，作作乘乘积积iixf )( iniibaxfdxxf 10)(lim)( 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积积分分区区间间,ba积分上限积分上限积分下限积分下限由定积分定义可知：由定积分定义可知： badxxfA)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 21)(TTdttvs变速直线运动的路程变速直线运动的

9、路程说明：说明： badxxf)( badttf)( baduuf)(即即3. 规定规定 - - baabdxxfdxxf.)()()1( aadxxf0)()2(则则)(xf在在区区间间,ba上上可可积积 . . 4. 可积的充分条件：可积的充分条件：,)(. 1 badxxf是一个数是一个数定积分定积分它只取决于积分区间它只取决于积分区间和被积函数，和被积函数， 而与积分变量用什么字母表示无关而与积分变量用什么字母表示无关.上上连连续续在在当当,)(baxf断点，断点，或只有有限个第一类间或只有有限个第一类间说明说明： 在下面的性质中，假定被积函数都是可积的在下面的性质中，假定被积函数都是

10、可积的 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(. 此性质可以推广到有限个可积函数代数和的情况此性质可以推广到有限个可积函数代数和的情况.性质性质1 1三、三、 定积分的性质定积分的性质性质性质2 2 babadxxfkdxxkf)()( (k为为常常数数). 性质性质3 3)( 为常数为常数k bakdx)(abk- - ，若若1 k badx则则ab- - bacabcdxxfdxxfdxxf)()()(性质性质4 4不论不论 a,b,c 的相对位置如何的相对位置如何, 总有总有.性质性质5 5特别地，特别地，, 0)(, xfba上上若若在在 badxxf. 0)(则则说明说明：性质：性质1到性质到性质5，均可由定积分定义证得，均可由定积分定义证得. babadxxgdxxf)()(则则),()(,xgxfba 上上若若在在例例2.10210的大小的大小与与比较比较dxxdxx 解解., 1 , 02xx 因因为为上上在在dxxxdx 10102所以所以小结小结定积分的实质：定积分的实质：(1) 估计积分值；估计积分值；(2) 不计算定