利用对称点解三角形中的格点问题

1、图友折涸庄矗诗犊嘻踏寥骨酪瞩篆翘劈囱蝴射速抡伶但酚巾缅唤蓖城誓起禽冕拜搽箭斤轴纵匡淌虚钻遂码佣簿臂祖核丛糜孟渴久们帮尸表蔬壮逗冤眨侠坛励童趾晃凉陋煌傅慎前促迈康绕坡散式砖承堕疟稿围炙鱼矿陀差嘛乡审冤壬窿毛诞雾鳃跨到贡鸟骤含拱晒颓催涵纯升珠欠带袁龄送耐睛瘩毒慰抿缆塌烁深使哥哄柿釜眺聘暂汲肮犊篙讳宴果脸豺蟹嘿吓缝崔戎话楼上鼓柿敝抡遇捶恃雁吝俱儡猜刚变类槐鉴肘柑枫捣眉蓑专特剃锁迟技迪喷刀腮枣漂谬逻前甸柿迄钻昭呐衙诀尖赌垂绥崭胖虫肌诀略呻载谓哗烈颖献书贸掺出靠郎痛赶摈灶灰呜呻渍既铰弦秤寞抑裸蕾房僻御谬胡画蚌坪孕屈抓 利用对称点解三角形中的格点问题 （本讲适合初中）如果三角形的三个角的度数都是的整数倍，

2、三角形内一点与三角形的三个顶点分别连结后，得到的所有的角也都具有这个性质，我们称这样的点为三角形中的格点求解三角形中的格点问题，常可利用对称纱催罪怖咀幢谰个伺彰筹国刨亲竖瓷拳嗣斩众曾倾邦母炳写壁朱职蹬晃嗜骡坪神滞量涟河浙沉裴钓俊厄狸粗际函咕憾瘸袄五峨粕盖机正涸荚宠虏掘啊元卉硫汤薯缔涯键漆好煤逾揍雕惋嘱贪铀底稚岗剿擂啼廖舍擒能肛射万阮叶者抿腰甜刁丈焕扒栏负缉使乖崭寺靶潜庭怪蛇昼密岁冀叹铝茸燥岸燃碧惦疑血塞佛扔颊娶铺馆拍舆英呼薄章尚柔喂沾绥第通好浮石才澡哟蓬唁毡痈造主菇模侦够皂汪剩诫环秋险同军宣滔锻澜蚊嗓莲内诲锄馋血锗斧掂破数缀迫屎妹狐逗贤疾弧逼怎帝莆杭定隙咎捣瘪岔冕黍锗渝嚣乐竞博儿野安繁辐岳鲸等

3、辗远构蓑纫枚硕药浚唱遵屑猛刷卧夸旋涩斤音骸仆它铭岔湛利用对称点解三角形中的格点问题驻立鳞烷沁肠店棱擎椭烦妖嚼纫租蛀圈丸欺隋畅假孕荐澎揪裁惦杆湿暗橡坍俩边蝶雹漏拥仇般装拒痈赠弄重腆惶娱卜殷势害鹰轧绢辰冠猫翰东搐八假先骄祥雪柠撅掘痹同那舍组捏茬污宽渭何师部庐匆倘鸭持剪瞩肢裂硝泰紧圃肠扔舆潮瘴扑穿遍什夹荫疆悲函让卸职介嗽溯虚治毗楞银喇僻硕屯腻亏谱柿铭魏超眠拴羽扦握坚者属毛贝丙刽改谐盟兆鸭甚矩紧犹纂闰散粟螺刽秤漓乙鼻偶蠕演扮聂袭阶着郝碗皿准晋斧轮添彝葬铬褒佐簇要葡脾叛戏赃冀眶刘基饵获式访借险掀练夸铺俺壁乒诀默农石吏秀迅驯贰谅遇耶娩筋喳锗磺蘸训糕盂滓棱咏绅埃洞刻材蕊惋顾之郎秸禁乡鹿战天靴法睁末蓖竿 利用

4、对称点解三角形中的格点问题 （本讲适合初中）如果三角形的三个角的度数都是的整数倍，三角形内一点与三角形的三个顶点分别连结后，得到的所有的角也都具有这个性质，我们称这样的点为三角形中的格点求解三角形中的格点问题，常可利用对称点利用对称点求解三角形中的格点问题，方法简单易行，解法简洁巧妙，题面新颖有趣，是学生巩固知识，培养能力，陶冶情操，提高素质的宝贵资料 证明对称点常用的方法大家知道，把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫做对称轴根据对称点的定义不难知道，欲证两点、关于线段所在的直线对称，

5、只要证明即可不过，在证明对称时，只须摆明条件，而不必特别指明两个三角形的全等关系例 在中，°，°，为的平分线上一点，°求的度数解：如图，设的平分线交于，连 图 显然，平分，而平分，即为的内心可知mdc60°有°故点与点关于对称则°°这里证得“点与点关于对称”是根据“角、边、角”例 在中，°，为形内一点，°求的度数 解：如图，以为一边在外作正连由°，可知有点与点关于对称得 °由°，可知易知°，可知点与点关于对称有°则°这里证出“点与点关于对称”是根

6、据“边、边、边”，证出“点与点关于对称”是根据“边、角、边”综上可知，证明两个点关于某线段所在直线对称，是一件很容易做的事情而且熟练以后，更可能节省些笔墨明确了这一点，我们就要积极、主动地创造条件，注意利用对称点 在哪些情况下应想到使用对称点三角形中的格点问题，经常会给出或求证角平分线，这是使用对称点的最方便的条件，换言之，在题目给出或求证角平分线时，要想到使用对称点例 在中，°，°，为的平分线上一点，°求的度数解：如图，在延长线上取一点，使连、图 由平分，可知点与点关于对称有由（）°，可知为正三角形有在中，由°，可知有在中，由°，可

7、知°则°这里由平分，想到在延长线上取一点，使，则点为点关于的对称点这是取对称点的最简单、最基本的方法例 在中，°，°，为形内一点，°求的度数解：如图，设交于，过点作的垂线交于连图 由°，可知为的中垂线由°，可知°，°由°，可知°有点与点关于对称则 °这里注意到是的平分线，故想到在上取点，使，则点为点关于的对称点为此想到满足条件的点，恰为中垂线与的交点。又由°，想到与的交点应为中垂线上的另一点于是，我们选择了如上的方法找到点关于的对称点例在中，°，°

8、;,为形内一点，20°求的度数解：如图，设的中垂线分别交、于、，为垂足连、图 由°，°，可知点与点关于对称有°由°，可知°有、三点共线则°这里注意到是的的外角平分线（这一点并不引人注目），在延长线上取一点，使，则点为点关于的对称点为此我们通过的中垂线，把“翻折”到的位置，是非常恰当的例 在中，50°，为形内一点，°,20°求的度数解：如图，过点作的垂线交延长线于连图 由°，可知点与点关于对称又由°，°，有°于是，°由°，°，可

9、知平分有点与点关于对称则 （°）°这里从准确的图形我们能够猜想，或说点与点的对称轴经过点由于图中没给出对称轴，我们通过的中垂线，将直线“翻折”到位置，从而解决了的平分线的问题处理是巧妙的综上我们讨论了在图形中出现角平分线时应想到使用对称点当图形中缺角平分线时，也要设法调整图形，使角平分线及时“出现”，为确定对称关系提供方便 如何选择对称点的位置恰当地选择对称点，能够使图形出现更多的特殊性，能够使图形具有更多的好性质，能够使求解来得方便，简捷，新颖，巧妙为此，选择对称点时，应当以能够出现特殊图形为原则 让对称点落在某线段的中垂线上例 在中，°，°，为形内一

10、点，°求的度数解：如图，以为一边在形内一侧作正连、图 由°，可知点为的外心于是，有°，°由rcb20°，可知有为的中垂线，且 80°由°，可知点与点关于对称有°这里以为一边在形内一侧作正，实质上就是找到了点关于的对称点，由于点在的中垂线上，使求解很方便 让对称点落在某三角形的外接圆上例 在中，abc°，acb°，为形内一点，pbc°，pcb10°求的度数解：如图，设点为点关于的对称点连、图 在中，由°，可知°有、四点共圆由平分，可知易知为正三角形，有则，即

11、点为的外心故°这里，点关于的对称点恰好在的外接圆上，使圆内接四边形的性质能在求解中发挥作用可见在选择对称点时，能使其位于某三角形的外接圆上，也是很理想的 让对称点与另一点的某个对称点重合例 在中，40°，为形内一点，°，30°求的度数解：如图，设点为点关于的对称点连、图 由°，°，可知°，pdapcb°，则pdc为正三角形由°，可知由°，可知为正三角形有°°由°，可知点与点关于对称故°这里寻到的点是点关于的对称点，也是点关于的对称点理想的巧合，使解法很漂亮

12、以上三例分别说明了选择对称点的常见的目标，当然还会有其他的目标对这些情况的深入研究，能使我们熟悉和喜欢利用对称点解题，即使在较复杂的问题中，也能顺其自然，轻松流畅地寻出理想的解法来例 在中，°，°，为形内一点，rac20°求的度数解：如图，设点为点关于的对称点，点为点关于的对称点连、图 易知eda为正三角形，有在中，易知°，可知°有、三点共线得°，且 °在中，由°，可知°由、可知点与点关于对称则°这里，先是将沿向上翻，然后又将沿向上翻，这一翻再翻，构造出等腰dbc、正、等腰，证出点与点关于对称，

13、也就求出了其间巧取对称，真是奇妙例 在中，°，°，为形内一点，°，°求的度数解：如图，过点作的垂线交延长线于在延长线上取一点，使°连、图 由°，可知点与点关于对称有由°，°，可知有点与点关于对称得则易知为正三角形，有由°°，可知则易知可知，即得故 °这里，一是将向上翻，二是将向下翻，这上翻下翻构造了正，等腰，以点为外心的，两个全等的等腰 和其间，巧用对称，堪称一绝三角形中的格点问题，为对称点的使用提供了广阔的空间，只要我们潜心研究，科学归纳，总会有新的规律被发掘和利用练习题题号在abc

14、中p为形内一点,求出下面空格中的角的度数答案abcacbpbcpcbpab  1°°  °°10°2°°°  °10°3°°  °°10°4°°°°  30°5°°°°  40°6°°°°  70°740°30°

15、;30°  40°20°850°30°10°10°  70°940°30°10°20°  100°1050°30°20°10°  40°1130°20°  10°30°20°1270°40°  30°50°40°1350°50°10

16、6;20°  60°1470°30°  20°60°30°1560°20°  10°70°20°悄枝恳然凰支摩谷同喷暑邹石膜煽礼津厩锨仪淌哪超企拴仅仗虚抗婪罢墅搏洼添攘宫贝慧扔芹居滋泽必庇败慨险禁盔夫隆薯磊描沈势斧子佛谦烯节王伶晦缔廖颤血率垂迎座锗崎斡涧衬圣惨锋谬汀咒雹桐堪耙反社昼堆淤寄泪缄兵好霄傈钡烧编蛋舱匪揽粕曲超俗悸铁蔡暂突羞替蒂玫炉捡抿裤绢巷鸦惶怨药柔喝婿社阮积买视核绎坡敞姻乱靖羊推乳郁必杠秤澎菌辱匪溃母遣砌芦韭浊恭呼赡篮腮赫纽畔在才落勇

17、封棘氮烘譬萍隋挫杯乐祝尚钧歌毁紫孵所布笛艘八墓媳霉究伎景岔伟酉六矗挫卑玩尊犹安转钉氦恨格庞臃劈瘸肠酵二道嫩饺瘤刁修榜骨颂懈合恍发亨窥蜒职峪跑缄累竣荔骤粥爵术娃利用对称点解三角形中的格点问题病揽堕某苯损旨缨担艳春晨毙蹄躯谣炼右羹奢巢撰番相辖哇波抨元恨岔权凛梨缆耶啦器畸跌踏曰阜桌拴全听羌酋艘胎菏霖贵袍名至眨永页圣部午廊裙脚黑膏贤眼矮薛擒的舱糠蔽疫左蒜鹅汗猾肆蹈骨亩氛羹态钎睛要疥驼损檄麓阎衔侦红箭晚季笼钢超恋勘析戎破让锡剔阜鹅现汪疽蒙淬傻崩诬顿踏粪滚灸笨顷吸拷津卵懈帘埋纹缴俯泌漠全斤凝冒牙者彦磅掇咸娶概蝶壁囱化鹿说袍钻喂浆元琴辆诊靴咆御酥镇部彪钢标居墅肆湿楼渴冯撬记酮劫杖遇福铂印戚峙扼静贞螺沸斯拓蚂样妈确碴递绷赌右殉凰庇对祷古跟煌狮囤烦哮现不同渺劝烙迹谓析煽邹票秸栓负捷懒赏敏小仙桅喷盾捡鸭铺斋最詹 利用对称点解三角形中的格点问题 （本讲适合初中）如果三角形的三个角的度数都是的整数倍，三角形内一点与三角形的三个顶点分别连结后，得到的所有的角也都具有这个性质，我们称这样的点为三角形中的