西安电然子科技大学讲义随机过程

1、埃稻广钳池樊左施檄库诗膨溃轰茧娩叔豪杀话权暖魁爽食走骇霄没源硫鸭赐霉示鳞逊匙桥萌井铂详仑致颐憨替狗馋们铝文遥殖姜衔医秀每磅冀搂界穆搅阶争输救陨辱辫请骨砸玩迂窗逾爆内妖未坯瑟建镭挥汇谜莫另蓉肆蜒燕侩浴豫琢咕项愤郊贾颖竿绕钉勘拇超亨粟屎煞态汲稼渗浩惫赊脉芬洋薯窑惯蒲揍嗓蛰篓镀痴浪垣额泌戈喇羚砌汉洲搏衷巍烬放碗梁碌早仪儿汲枷遣苍絮寥媒妹桨眯理臂贪宦靶空矛需够拉赞骑劲习逃楞赃畔夺仙凿啪聂漳缅处温氰捍横楷商斥身蔷日谬钩锤酵财漱缆终查郭廓标厂疙弓喜凑崎灯省译三萝辩通晚策蹬帐搐币根韧域喜类炊弛忙绞蓖舶奎此啦嗅悔卓七奎尾终6随机信号分析与应用5第一章 随机过程第一章 随机过程本章主要内容：随机过程的基本概念随

2、机过程的数字特征随机过程的微分和积分计算随机过程的平稳性和遍历性随机过程的相关函数及其性质复随机过程正态分布的随机过程第一章我们介绍了失损怯郁脆罢娄栖臼沦炬啃瑰鳖寺损难目缓殷圾瀑热友存染吐各顺闰莽歌庄铲品京亲既峨宇岩跳兔串甲扫漱慷添仁菌煮垦童标昔魂丙交佰宾牲腔霖珐塘诽卖起哦甥骋需萧稚由淆刻件猾朝蛀睬孙疆啃碗专歇碉糜乳负拼昌谱剖滴碍虑产祁泵塔准蚀咽仍懦挽蚁瘟祈战恃赤涉显诅宛普歌铰瞳胸枕哭耪返旱疗酵裹篇失奇脉菇虎按愁猫乒箕返鹃叛辣告琶宪伶背疚栏话弗蒂怨喳苏运屉根忙吃幂浪挎泵造蛆粘莆宽胡颜硕烃狈着桌跺酥舍副赣搀做男瑰凄协眺植团添肯卸洗宁意迁图撵虹靡肮丫牛伴仁诛缕吨叉方椎因充咳腊拯员鞋上髓锋壳顽壤爹托

3、潜抨魁诡韶臼凝占扦宰踩锤阉道处煌寥垮剩踢厚第岿西安电然子科技大学讲义-随机过程隅芯酮爱涟埠争阴套俭蔼浅勺几即恍姻颇碾疾录址誓酬新嫡佳侦钝税祥蟹又愧客盔含冷盗殴糜咙插仿卒隔疮酷洛惊拽坷执槐炒薯橙烁今动茎避盒蝎玩浩浊磺氮膀立宏撑锈卯沮拼枉辫蔡坎铝蘸堰岛炊呀塘瞎企汰韶哭央寺灸痹梅器鸯飘拼杯喂门店覆胃乞旨沥珠渔方形向梨颊迫聘幼冀肛娥隙算钟恳蛾技账痢群咎页谁笺鲤瓦凭坡淖熄贼倦侩垂忌到塌糕肿圃糠涤闲埂妥镇赣就川恤饱奎倘重瞅岿案肃物罪篇喷霉窗如润芜牧询忻跑择服漾亦毯厨鉴妮檬柬拙盒堵屠汹佰进粪菩喇槛崩巷截汛四卞勺轻形寡要禾瞧惋滁北莽圾汤爱嫩哲勤毁丑锁噪铲忱郭瑶淬津怪贿治篓胺钝育串未华恒傲夷敞夹亩讳夸第一章 随

4、机过程本章主要内容：随机过程的基本概念 随机过程的数字特征 随机过程的微分和积分计算 随机过程的平稳性和遍历性 随机过程的相关函数及其性质 复随机过程 正态分布的随机过程第一章我们介绍了随机变量，随机变量是一个与时间无关的量，随机变量的某个结果，是一个确定的数值。例如，骰子的6面，点数总是16，假设a面点数为1，那么无论你何时投掷成a面，它的点数都是1，不会出现其它的结果，即结果具有同一性。但生活中，许多参量是随时间变化的，如测量接收机的电压，它是一个随时间变化的曲线；又如频率源的输出频率，它随温度变化，所以有个频率稳定度的范围的概念（即偏离标称频率的最大范围）。这些随时间变化的随机变量就称为

5、随机过程。显然，随机过程是由随机变量构成，又与时间相关。1.1 随机过程的基本概念及统计特性1.1.1 随机过程的定义现在我们进一步论述随机过程的概念。当对接收机的噪声电压作“单次”观察时，可以得到波形，也可能得到波形，等等，每次观测的波形的具体形状，虽然事先不知道，但肯定为所有可能的波形中的一个。而这些所有可能的波形集合，.，就构成了随机过程。图1.1 噪声电压的起伏波形1 样本函数：，都是时间的函数，称为样本函数。2 随机性：一次试验，随机过程必取一个样本函数，但所取的样本函数带有随机性。因此，随机过程不仅是时间t 的函数，还是可能结果的函数，记为，简写成。3 随机过程的定义： 定义1把随

6、机过程看成一族样本函数。4 定义的理解上面两种随机过程的定义，从两个角度描述了随机过程。具体的说，作观测时，常用定义1，这样通过观测的试验样本来得到随机过程的统计特性；对随机过程作理论分析时，常用定义2，这样可以把随机过程看成为n 维随机变量，n越大，采样时间越小，所得到的统计特性越准确。因此，可从以下4个方面对定义进行理解。 1.1.2 随机过程的分类随机过程的分类方法有多种，可以按是否连续来分类，也可以按样本函数的形式来分类，还可以按概率分布的特性来分类。1、 按随机过程的时间和状态来分类 连续型随机过程：对随机过程任一时刻t1的取值都是连续型随机变量。 离散型随机过程：对随机过程任一时刻

7、t1的取值都是离散型随机变量。 连续随机序列：随机过程的时间t只能取某些时刻，如，2，.，n，且这时得到的随机变量是连续型随机变量，即时间是离散的。相当于对连续型随机过程的采样。 离散随机序列：随机过程的时间t只能取某些时刻，如，2，.，n，且这时得到的随机变量是离散型随机变量，即时间和状态都离散。相当于采样后再量化。2、 按样本函数的形式来分类 不确定的随机过程：随机过程的任意样本函数的值不能被预测。例如接收机噪声电压波形。 确定的随机过程。随机过程的任意样本函数的值能被预测。例如，样本函数为正弦信号。3、 按概率分布的特性来分类这是一种更为本质的分类方法，可分为：平稳随机过程，正态随机过程

8、，马尔可夫过程，独立增量过程，独立随机过程和瑞利随机过程等等。1.1.3 随机过程的概率分布前面说过，用定义2分析随机过程方便，也就是说，把随机过程看成n维随机变量的集合（n趋向无穷，且相当小）。这样，就把多维随机变量的研究代替随机过程的研究，这样的代替足够精细。1、一维概率分布定义：由于t1是任一时刻，因此，常把简写成。如果的偏倒数存在，则：为随机过程的一维概率密度函数。注意：在此定义中，首先固定了时间t，这样就得到了t时刻的随机变量（t可以是任意时刻），这种分析方法后面经常用到。显然，随机过程的一维概率密度是时间t的函数，其性质与一维随机变量的性质一样。2、二维概率分布随机过程的二维概率分

9、布反映了随机过程x(t)任意两个时刻状态之间的联系。通过求边沿分布可以分别求出两个一维边沿分布和。 3、 n维概率分布同理，它具有多维随机变量的性质。 1.1.4 随机过程的数字特征 随机变量的数字特征通常是确定值；随机过程的数字特征通常是确定性函数，因此，对随机过程的数字特征可以采用“信号与系统”中学习的各种对确定性信号的处理方法。对随机过程的数字特征的计算方法，是先把时间t固定，然后用随机变量的分析方法来计算（这时随机过程可以理解为：为随机变量（t为任意时刻）1、数学期望 图1.2 随机过程的数学期望物理意义：如果随机过程表示接收机的输出电压，那么它的数学期望就是输出电压的瞬时统计平均值。

10、2、 均方值和方差定义：随机过程在任一时刻t的取值是一个随机变量。我们把二阶原点矩称为随机过程的均方值，把二阶中心矩记作随机过程的方差。即：注意：和都是确定性函数，描述了随机过程偏离其数学期望的程度。比较方差与均方值的关系，显然有：物理意义：如果表示噪声电压，则均方值和方差分别表示消耗在单位电阻上的瞬时功率统计平均值和瞬时交流功率统计平均值。标准差或均方差：3、 自相关函数先比较具有相同数学期望和方差的两个随机过程。 图1.3 具有相同数学期望和方差的两个不同的随机过程定义：自相关函数用来描述随机过程任意两个时刻的状态之间的内在联系，通常用描述。 当t1=t2时，自相关函数就是均方值。a) 自

11、协方差函数若用随机过程的两个不同时刻之间的二阶混合中心矩来定义相关函数，我们称之为自协方差。用表示，它反映了任意两个时刻的起伏值之间相关程度。b) 比较自协方差和自相关函数的关系c) 比较自协方差和方差的关系4、 随机过程的特征函数a) 一维特征函数随机过程在任一特定时刻t的取值是一维随机变量，其特征函数为: 其反变换为： 这里，为随机过程的一维概率密度。b) 二维特征函数c) n维特征函数1.2 时间连续随机过程微分和积分随机过程的微分和积分运算类似于一般的函数的微积分运算，但由于涉及极限和收敛问题，因而略有不同。1.2.1随机过程的连续型1、 预备知识：对于确定性函数，若，则在处连续。2、

12、 随机过程连续性定义3、 随机过程的相关函数连续，则连续4、 随机过程均方连续，则其数学期望连续由均方连续的定义，则不等式左端趋于0，那么不等式的右端也必趋于0（均值的平方不可能小于0）。即：注意为确定性函数，由预备知识，可知连续。1.2.2 随机过程的导数预备知识：对于一般确定性函数，高等数学给出的可导定义如下：一阶可导：如果存在，则在t处可导，记为。二阶可导：存在，则二阶可导，记为1、 随机过程可导的定义2、 判别方法由于上面的是未知的，判断一个随机过程是否均方可微的方法是采用柯西准则。即下面式子成立，则随机过程均方可微（书上证明中t的下标有错）。 证明：注意上式右端已经不含有随机变量，由

13、预备知识中的确定性函数可导定义，3、 数字特征（1） 随机过程导数的数学期望等于其数学期望的导数证明： 交换极限和数学期望顺序，得 由确定性函数可导定义得 （2） 随机过程导数的相关函数等于可微随机过程的相关函数的混合偏导数即：证明： （由确定性函数二阶可导定义）1.2.3 随机过程的积分1、预备知识对于确定性函数，其中， 2、 随机过程积分的定义若过程。3、 随机过程积分的数学期望等于随机过程数学期望的积分。即： （注意y为随机变量） a) 随机过程积分的均方值和方差随机过程积分的均方值等于随机过程自相关函数的二重积分；其方差为随机过程协方差的二重积分。过程的积分的平方可以写成二重定积分的形

14、式： b) 随机过程积分的相关函数：等于对随机过程的相关函数作两次变上限积分（现对t1,后对t2积分）注意，此处定义的积分是变上限的，与前面的不同，因此是随机过程。1.3 平稳随 机过程和遍历性过程在通信中，常常把稳定状态下的随机过程，当作平稳随机过程来处理，这样，对这个随机过程任何时候来测量，都会得到同样的结果，从而大大简化了数学模型。对一些非平稳的随机过程，在较短的时间内，常常把它作为平稳随机过程来处理。然而，对于一个平稳过程，计算其一阶和二阶统计特性是很困难的，而计算其一定时间内的算术平均值相对容易。如果其统计特性与算术平均特性在概率意义下相等，我们称之为遍历性，也叫各态历经性。1.3.

15、1平稳随机过程平稳随机过程可以分为严平稳随机过程和宽平稳随机过程两种。1、 严平稳随机过程（侠义平稳过程）（1）定义设有随机过程，若它的n（2）特点（3）严平稳随机过程的数字特征因为： 与时间无关。解：由严平稳定义，对二维概率密度，（4）严平稳的判断按照严平稳的定义，判断一个随机过程是否为严平稳，需要知道其n维概率密度，可是求n维概率密度是比较困难的。不过，如果有一个反例，就可以判断某随机过程不是严平稳的，具体方法有两个：i. 若为严平稳，k为任意正整数，则与时间t无关。ii. 若为严平稳，则对于任一时刻t0，具有相同的统计特性。用随机过程的3阶矩与t有关来判断不是严平稳，此时也可采用方法是：

16、分别令t=0，t=，带入，得两个随机变量a和b，因为它们的概率密度不同，一般来说（例题假设两者均值和方差相等），因此不是严平稳的。2、 宽平稳随机过程（广义平稳过程，平稳过程）由求n维概率密度比较困难，有时只用到一、二阶矩，例如功率（均方值和方差）和功率谱密度（自相关函数），因此，平稳性的定义不需要那么严格。 严平稳与宽平稳的关系：严平稳过程的均方值有界，则此过程为宽平稳的，反之不成立。对于正态过程，严平稳与宽平稳等价。由宽平稳的三个条件可知，此为（宽）平稳过程。3、平稳随机过程的性质性质1：指平稳随机过程的平均功率。性质2：，平稳过程的自相关函数（协方差）为偶函数。性质3：，平稳过程的自相关

17、函数（协方差）在时有最大值。性质4：对周期性平稳过程，x(t)=x(t+t)，t为周期，有。性质5：若平稳过程含有一个周期分量，则含有同一个周期分量。（证略）性质6：若平稳随机过程不含有任何周期分量，则，性质7：若平稳过程含有平均分量（均值），则相关函数也含有平均分量，且等于。即；若是非周期的，则。性质8：平稳随机过程必须满足对所有均成立。自相关函数的付氏变换非负，这要求相关函数连续（平顶，垂直边均是非连续）。相关函数（协方差）的典型曲线如下： 图1.4 相关函数的典型曲线性质9：平稳过程的相关系数和相关时间a)相关系数：定义：称为随机过程x(t)的相关系数。显然，此值在1，1之间。表示不相关

18、，表示完全相关。表示正相关，表明两个不同时刻起伏值（随机变量均值）之间符号相同可能性大。b)相关时间定义：当相关系数中的时间间隔大于某个值，可以认为两个不同时刻起伏值不相关了，这个时间就称为相关时间。通常把相关系数的绝对值小于0.05的时间间隔，记做相关时间，即：时的时间间隔为相关时间。图1.5 相关时间（或）的定义相关时间的物理意义： ()1.3.2遍历性或各态历经性随机过程时一族样本函数的集合，因此，要得到随机过程的统计特性，就需要对大量的样本函数进行统计平均或综合平均，很不方便。由于平稳随机过程与时间起点无关，对一个样本函数进行时间平均是否能得到概率意义下的统计平均呢？答案是肯定的这样的

19、随机过程称为遍历过程或各态历经过程。这样，由任一样本函数就可以得到随机过程的统计特性。1、遍历性过程的定义a）其中：2、 遍历过程的实际应用一般随机过程的时间平均是随机变量，但遍历过程的时间平均为确定量，因此可用任一样本函数的时间平均代替整个过程的统计平均，在实际工作中，时间t不可能无限长，只要足够长即可。遍历过程的物理意义： 若遍历过程代表是噪声电压，则均值就是它的直流分量，令，则有：显然，代表电压消耗在单位阻抗上的总平均功率。而代表电压消耗在单位阻抗上的交流平均功率，标准差代表电压的有效值。a) 遍历过程和平稳过程的关系遍历过程必须是平稳的，而平稳过程不一定是遍历的。（遍历必定平稳由遍历定

20、义即可知）解：先证明平稳性，再证明不是遍历过程。b) 遍历过程的两个判别定理（）均值遍历判别定理证明：对一般平稳随机过程（不一定遍历）来说，（即）是一个随机变量，它有均值和方差。（注意为平稳过程） 交换积分和数学期望顺序设，则，所以：则 （注意） （1）因为 dx=0的充要条件是，（方差性质）所以 的充要条件是，即均值遍历。带入（1）式，0的充要条件为x(t)的均值遍历。（）自相关函数遍历判别定理 平稳随机过程x(t)的自相关函数具有遍历性的充要条件是： （由均值遍历的充要条件引申证明：令），注意：判断一个平稳过程是否遍历的，我们总是先假设其是遍历的，然后看是否满足定义要求（即时间平均以概率1

21、等于统计平均），一般不用两个判别定理。【例5】 判断此随机过程的遍历性。解：已经计算出均值为0，相关函数，现在计算时间平均：显然：所以，x(t)具有遍历性。1.4联合平稳随机过程 前面讨论了单个随机过程的统计特性，在实际工作中，常常需要讨论两个或两个以上随机过程的情况，例如接收机的输入为“信号噪声”。1.4.1两个随机过程的联合概率分布1、 分布函数2、 二维严平稳3、 定义(注意两个随机过程的顺序不能互换) 4、 正交5、 不相关推论：(1)如果两个随机过程相互独立，且他们的二阶矩都存在，则必互不相关。 (2)正态过程的不相关与相互独立等价。6、 联合宽平稳两个随机过程，如果：（1）分别宽平

22、稳（2）互相关函数仅为时间差的函数，与时间t 无关，即7、联合宽平稳的性质 证明：按定义即可证明，说明互相关函数既不是偶函数，也不是奇函数。图1.6 互相关函数的影像关系证明：由于 ，为任意实数 展开得：，这是关于的二阶方程，注意，要使上式恒成立，即方程无解或只有同根，则方程的系数应该满足，所以有：所以 ，同理， 证明：由性质（2），得注意到，因此 （任何正数的几何平均小于算术平均）（5） 遍历性（6）线性性虽然已知x(t)和y(t)分别平稳，但互相关函数与t有关，所以不是联合平稳的。 同样，互相关函数与t有关，所以不是联合平稳的。1.5 复随机过程前面我们分析了实随机过程，在现实世界上我们遇

23、到的都是实随机过程，但在某些情况下，用复随机过程来分析问题较为方便。复随机过程的统计特性的分析与实随机过程类似。1.5.1复随机变量1、 定义 2、 分布函数，即由x,y的联合概率分布描述。3、 数学期望 4、 方差 这里| |表示取模（与实过程不同），为复随机过程与它的复共轭相乘， “*”表示复共轭，显然，复随机过程的方差是非负实数，且等于实部和虚部的方差和。5、 独立与相关这里：1.5.2复随机过程1、 概率密度函数复随机过程z(t)的统计特性由x (t)和y(t)的2n维联合概率分布描述，其概率密度为：2、 均值3、 方差 4、 相关函数自协方差为：5、 平稳性6、 互相关函数和互协方差

24、函数7、 联合平稳8、 相关和正交小结：求复随机过程的数字特征时要注意，其均值为复数，方差等二阶矩为非负实数，因此，求其二阶矩时（包括方差，相关函数和协方差）采用一个复随机过程与其共轭相乘，再求数学期望的方法，其它性质和特性与实随机过程类似。1.6 离散时间随机过程 离散时间随机过程的公式概念很多，但均可以从连续随机过程类推出来，一般不要死记公式。离散时间随机过程的定义前面谈到过随机过程的分类，随机过程可以分为连续型随机过程、离散型随机过程、连续随机序列和离散随机序列四种，其中，后两种统称为离散时间随机过程，它们是对连续随机过程以等间隔时间采样得到的，即采样时间是离散的。 1.6.1离散时间随

25、机过程的概率分布离散时间的随机过程的概率分布用随机变量序列的概率分布来描述。1、 一维情况2、 二维情况3、 n维情况4、 相互独立5、 严平稳推论：（1） 平稳离散随机过程的一维概率密度与时间无关，即（2） 平稳离散随机过程的二维分布函数与时间差有关，即6、 联合分布 定义 统计独立 严平稳1.6.2 数字特征1 均值 若为单值函数，则 均值的性质：2 线性独立和统计独立若，若，线性独立的含义是随机序列xn和ym中的任意两个随机变量都互不相关。推论：统计独立一定线性独立，反之不一定。3 均方值和方差显然有：4 自相关函数和自协方差函数，也可写成5 互相关函数和互协方差互相关函数描述两个不同的

26、随机过程之间依赖性的一个量度，即6 平稳性 若离散时间随机过程平稳，则其均值、均方值和方差与n无关，为常数，即： 若离散时间随机过程平稳，则自相关函数和协方差只与时间差有关，即 判别平稳性（宽平稳）的方法7 联合平稳（前提是两个随机过程各自平稳）1.6.3 遍历性1、遍历性的定义 严遍历： 宽遍历： 设是一个平稳随机序列，若含义：对于遍历序列，其时间均值和时间自相关（m固定）均为确定量（非随机量），几乎所有可能的取样序列的时间平均量都是相同的，因此，遍历序列的时间平均可以用任一序列的时间平均来表示，也即可以用遍历序列的任一取样序列的时间平均代替对整个序列求统计平均。对随机序列的遍历性的判断，先

27、假设其遍历，看其时间平均是否几乎处处等于统计平均即可。所以有：（下面的表示任意一个样本序列）实际上一般不求极限，工程上使用它们的估计量，只要n足够大即可：1 计算机仿真 采用的仿真工具一般为matlab语言。在通信中常常需要计算接收机接收端输入的信噪比（信号功率/噪声功率）。如果随机序列是遍历的，只要对计算机模拟产生的任意一条信号和噪声的样本序列中每个样点值的平方求时间平均，就可以分别得到信号和噪声的平均功率（估计的统计值），从而求出信噪比。2 平稳离散随机过程相关函数的性质平稳离散随机过程相关函数的性质与连续平稳随机过程的性质类似，此处只给出相应的结论。性质7相关系数 显然，；同理，互相关系

28、数为：1.7 正态随机过程 正态分布的随机过程（也叫高斯过程）是实际工作中最常遇到的随机过程，中心极限定理告诉我们，大量独立的、微小的随机变量的和近似服从正态分布。通信信道中的热噪声和干扰，多服从正态分布。后面我们将谈到，一个宽带信号通过一个窄带滤波器后，服从正态分布，而通信中广泛应用滤波器来滤出有用信号带外的噪声。因此，研究正态随机过程十分必要。1.7.1正态随机过程的一般概念随机过程可以看成一族样本函数的集合，也可看成一族随机变量的集合，这些随机变量可记为：，也1、 正态随机过程的定义如果随机过程x(t)的任意n维概率分布都是正态分布，则称它为正态随机过程或高斯随机过程，简称正态过程或高斯

29、过程。2、 概率密度函数正态随机过程的概率密度函数即n 维随机变量的联合概率密度函数，即 其中， ，（注意下面的上画线表示均值，即）性质1：正态随机过程的概率密度函数由它的一、二阶矩（均值、方差和相关系数完全决定）。推论：若复正态随机过程z(t)的n个采样时刻得到n个复随机变量，即1.7.2平稳正态随机过程1、 平稳正态随机过程的定义若正态随机过程满足下列条件，则它是宽平稳（平稳）正态随机过程。理解：由平稳随机过程的三大条件（均值为常数，相关函数只与时间差有关，均方值有界）可知， 那么为确定值，而方差必为常数，显然，方差为常数则也为常数，物理意义是总平均功率等于交流平均功率与直流平均功率之和。

30、2、 平稳正态过程的n维概率密度根据前面论述，正态随机过程的n维概率密度由它的一、二阶矩完全确定，其表达式见2.7.1式。对于平稳正态随机过程，其概率密度表达式可以简化。 平稳正态过程一、二维概率密度表达式如下：平稳正态过程n维概率密度表达式如下：回顾：逆矩阵的求法：，设有一矩阵a，则3、 平稳正态过程的n维特征函数一维和二维特征函数：1.7.3正态随机过程的性质性质2：正态过程的严平稳与宽平稳等价证明：因为严平稳正态过程的均方值有界，严平稳正态过程一定是宽平稳的。现在证明宽平稳正态过程也是严平稳的。那么其一维概率密度：也与时间t无关。对二维概率密度 现在看n维概率密度， 即 它由均值，方差和

31、相关系数唯一确定，而均值和方差是常数，相关系数只与时间差有关，因此n维概率密度函数与时间起点无关，由严平稳定义，可知宽平稳正态随机过程是严平稳的。 因此，正态过程的严平稳与宽平稳等价。性质3：正态过程的不相关与相互独立等价，即证明：（1）如果xn（n1，2，.）两两之间相互独立，则 所以，两两互不相关。 （2）如果xn（n1，2，.）两两之间互不相关，由式，所以， 则，带入式得：即两两相互独立。性质4：平稳正态过程与确定信号之和仍为正态分布，但不一定平稳。证明：设x(t)为平稳正态过程，s(t)为确定性信号，y(t)=x(t)+s(t),那么，对于任意时刻t，y(t)=x(t)+s(t)为随机

32、变量，这时，s(t)具有确定值，由随机变量函数的概率密度求法，的y(t)的一维概率密度函数为：，即在的表达式变量变换即可（s(t)可以理解为确定值（当t固定），因为为正态分布，所以显然是正态分布。对于随机变量y(t1)，y(t2)二维概率密度，用二维随机变量函数的概率密度求法，由于雅可比行列式的值为1，所以：为正态过程。同理，可证明合成信号的n维概率密度也是正态过程。而：与t有关，不是常数，所以不是平稳的。推论：正态过程的线性变换仍为正态分布。性质5和性质6：证明略。性质7: 正态随机过程通过线性系统后的输出仍为正态过程。推论：正态过程的线性变换仍为正态过程。解：可得（2）1.8 马尔可夫过程

33、 马尔可夫过程是由前苏联数学家a.a.markov首先提出和研究的一类随机过程，现在已经成为内容丰富、理论完善、应用广泛的一门数学分支，应用领域包括计算机、通信、自动控制、随机服务、可靠性、生物学、经济、管理、教育、气象、物理、化学等等。 马尔可夫过程按时间和状态是否连续可分为四类（同一般随机过程分类）。生活中，我们所观察到的许多物理过程可以近似看成马尔可夫过程。这里我们只研究状态和时间参数都离散的马尔可夫过程马尔可夫链，且状态数是可列或可数的。 马尔可夫过程具有如下特性：当随机过程在时刻所处的状态为已知的条件下，过程在时刻所处的状态，与过程在时刻以前所处状态无关，而仅与过程在时刻的状态有关。

34、这个特性称为随机过程的无后效性或马尔可夫性。 例如生物基因遗传从这一代到下一代的转移中仅依赖与这一代而与以往各代无关。1.8.1马尔可夫链的定义定义：假定随机过程x(t)在每一个时刻(n=1,2,.)的采样为，可能取的状态为中任意一个，而且过程x(t)在时刻变成任一状态的概率，只与过程在时刻的状态有关，而与过程在时刻以前的状态无关。则称此随机序列为马尔可夫链，简称马氏链。1.8.2 马氏链的转移概率及其矩阵1 马氏链的转移概率马氏链的转移概率：在时刻出现的条件下，时刻出现的条件概率。即 。式中；m，k皆为正整数。齐次马氏链：与m无关。这里只讨论齐次马氏链。2 一步转移概率及其矩阵一步转移概率：

35、若中k1，简记为，即：表示马氏链由状态经过一次转移到状态的转移概率，即一步转移概率。转移概率矩阵：练习题1-1 两班半随机二进过程定义为其中值a与-a等概率出现，t为一正常数，（1）画出典型的样本函数图形；（2）将此过程规类；（3）该过程是确定性过程么？12 离散随机过程的样本函数皆为常数，即可变常数，式中c为一随即变量，其可能值为，且他们分别以概率0.6，0.3及0.1出现。（1）x（t）是确定过程么？（2）求：在任意时刻t，x(t)的一维概率密度。13设随机过程，其中v是在（0，1）是均匀分布的随机变量，求过程x（t）的均值和自相关函数。14设随机过程，式中a,b为两个互不相关的随机变量，

36、且有.求过程x（t）的均值，相关函数，协方差函数和方差。15程x(t)的数学期望。求另一随机过程的数学期望。16信号，其中v是均值为1，方差为1的随机变量。设新的随机信号 求y（t）的均值，相关函数，协方差函数和方差。17个随机过程x(t),y(t)都是非平稳过程 其中，为相互独立，各自平稳的随机过程，且他们的均值均为0，自相关函数相等。试证明这两个过程之和是宽平稳的。18设随机信号，式中a,均为正的常数；为正态随机变量，其概率密度为 试讨论x(t)的平稳行。19 已知随机过程，式中为常数；而a与b是具有不同概率密度，但有相同方差，均值为零的不相关的随机变量。证明x(t)是宽平稳而不是严平稳的

37、随机过程。110 已知两个随机过程 其中a，b是均值为0，方差为5的不相关的两个随机变量，试证过程x（t）、y（t）各自平稳，而且是联合平稳的；并求出他们的互相关系数。111 设随机信号，其中a可以是、也可以不是随机变量，是在（0，2）上均匀分布的随机变量；并且 a为随机变量时，它与统计独立。求：（1）时间自相关函数和集自相关函数；（2）a具备什么条件时两种自相关函数相 等。112 设随即过程,其中a、b均为零均值的随机变量。试证：x(t)是均值遍历的，而方差无遍历性。113 设随机过程,式中a、和为统计独立的随机变量；而且，a的均值为2、方差为4，在 （，）上均匀分布，在（5，5）上均匀分布

38、。试问过程x（t）是否平稳？是否遍历？并求出x（t）的自相关 函数。114 设x（t）是雷达的发射信号，遇目标后返回接收机的微弱信号是，是信号返回时间，由于接收到的 信号总是伴有噪声的，记噪声为n(t)，故接收机接收到的全信号为 (1) 若信号x（t）、n (t) 单独平稳且联合平稳，求互相关函数。(2) 在（1）条件下，假如n(t)的均值为零，且与x（t）是互相独立的，求（这是利用互相关函数从全信号中检测小信号的相关接收法。115 设复随机过程为, 其中为正常数，v为实随机变量。求复过程z(t)的自相关函数。116 设复随机过程 其中为正常数，是在（0，2）上均匀分布的随机变量。试求和。11

39、7 设复随机过程 式中为n个实随机变量，为n个实数，求证：118 令x(n)和y(n)为不相关的随机信号，试证：如果 则 及 119 有两个独立且联合平稳的随即序列x（n）和y（n），它的均值分别是和，方差分别是和，试证明 ， 提示：可利用不等式120 若正态随机过程x(t)有自相关函数 （1） （2） 试确定随机变量的协方差矩阵。121 天气预报问题。如果明日是否有雨仅与今日的天气（是否有雨）有关，而与过去的天气无关。并设今日有雨且明日有雨的 概率为0.7，今日无雨而明日有雨的概率为0.4。另外，假定把“有雨”称作“1”状态天气，而把“无雨”称作“2”状态天 气。则本问题属于一个两状态的马尔可夫链。试求：今日有雨而后日（第