第120讲流体力学六2010年新版

1、第四节流动阻力和水头损失第三节中讨论了能量方程，但并未讨论能量方程中由于流动阻力所产生的能量损失在第一节中曾经 指出，水、空气等都是有勃性的，因而将产生流动阻力。流体在固体壁面的约束下流动，如管流或明渠流 等称为内部流动，此时流体要流动就必须克服阻力做功，由此产生能量损失。流体绕固体流动或者说固体 在流体中运动时，称为外部流动，如风吹过烟囱或颗粒在流体中上升或沉降，此时气流受到烟囱的阻力或 者颗粒受到流体的阻力都是勃性阻力，称为绕流阻力。本节主要讨论内部流动的能量损失；对绕流阻力仅 作简单介绍。由于流动有层流和紊流两种流态，不同流态的能量损失的规律是不同的。所以下面还将讨论以上两种 流态。一、

2、流动阻力和水头损失的分类根据流体流动的边界条件不同，流动阻力和水头损失可以分为两类。当流体受边界限制做均匀流动（如 断面大小、流动方向沿程不变的管流）时，流动阻力中只有沿流程不变的摩擦阻力，称为沿程阻力或摩擦 阻力，由于沿程阻力做功所引起的水头损失，称为沿程水头损失，以hf表示。当流体经过边界急剧变化处，由于边界的改变引起断面流速的大小、方向、流速分布发生急剧变化，还有漩涡区的形成，这种集中发生 在较短范围的阻力称为局部阻力，相应的水头损失称为局部水头损失，以hj表示.沿程水头损失的计算公式（达西公式）：式中丨一一管长.d 一一管径.v断面平均流速；Y沿程阻力系数局部水头损失的计算公式式中一一

3、局部阻力系数。二、实际流体的两种流态 一层流和紊流（一）雷诺实验雷诺曾经以图6-4-1的装置来进行实验，揭示了两种流态不同的本质并确定圆管流态的判别数。颜色水将进人玻璃管，与水一起流中a),与周围清水互不掺混，这种有规则的分层流动被称为层流。随着v的增大，颜色液将产生波动，直到某一数值，颜色液扩散到清水中,不复再见(见图6-4-1中b )。这时，两者已互相掺混，每个流体质点的轨迹是十分混乱的，这种流态被 称作紊流。此时若再将流速减小，必须减小到比前一临界值更小的数值，流态才会转变为层流。层流和紊 流由于两者内部结构不同，能量损失的规律也不同。由实验得到：直管上下游断面间的水头损失，层流时与断而

4、平均流速的一次方成正比，即hf v 1.0 ;紊流时则与流速的1 .75 - 2.0次方成正比，hf v2.0o(二)层流和紊流的判别数一雷诺数由于层流和紊流水头损失的规律不同，在计算水头损失前，必须判别流态。流态的确定除了与流速的 大小有关外，还与管径和流休的勃性有关。因此采用综合性的雷诺数Re作为判别流态的无量纲数。Re = (S-4-3)式中u、d、v分别为流速，管径和流体的运动黏性系数。实验证明，由紊流转变到层流的下临界雷诺数是相当稳定的Rec = 2300 o而从层流转变到紊流的上临界雷诺数R ' e c却与实验环境的扰动的大小有关，自4000 - 2 0000之间变化，所以

5、取 Rec作为判别的依据。Re < 2300是层流状态。Re > 2300 可以认为是紊流状态。对于非圆管中的流动，雷诺数计算中特征长度d可以用水力半径 R或当量直径d当来代替AR = y(B-4-4)式中A 过流断而面积；x 一湿周，指过流断面上与流体相接触的那部分固体边界的长度 4R(6-4*5)d当的。这里，我们是将与非圆管的水力半径相等的圆管直径定义为非圆管的当量直径因为对于圆管对于其他形状的断面，若用d当代替d来计算雷诺数，临界值仍是2300 ；若用R代替d计算雷诺数，2300临界值变为2300 = 575 .4【例6-4-1】 内径d = 6mm的水管，水温20

6、76;C，管中流量为0 021 / s ，试判别流态.若管中通过的是v = 2. 2 x 10- 6m / s的油，流量仍为0.021 / s ，流态如何？【解】水温20*0,由表6-1-2査得i/=1.007X10-*ni7s 707m/s加_胡 僅和7 X 6 X 1 r)3_ V 1.0D7 X 10= 4213 >2300流动为素流。12页管中为油1528 < 23Wr =707 X 6 X 1Q-5I 2 X 10三、圆管中的层流运动(一)均匀流动方程式取一段等直径圆管中的恒定均匀流来讨论，见图6-4-2 。均匀流动中的能量损失只有沿程不变的切应 因納处，（和十"

7、;、）一（也彳拦）口血，' P0 I 屈再取1 一 1和2 一 2断面之间的流体写出动量方程pA pA !偌A£g30_ 氓乂 = 0式中，A为圆管断面面积，x为断面上流体与固体壁面相接触的周界长度。 将I cos B = z 1 一 Z2代入上式并将各项除以P gA得+ Si ?2 = " * I甲 用pa A与能量方程联立，可得(6-4-7)式中J为水力坡度。见式（6-3-9）式（6-4-6）或式（6-4-7 ）给出了沿程水头损失与切应力的关系，即为均匀流动方程式。以上是取半径为ro的流段来讨论的，其边界上的切应力为t ° ,若取半径为r的流段，边界上

8、的切应力为 T,同上可有r ="/« y；（6-4-G）而对于圆管式（6 - 4-7 ）可以写为t ° = p gJ ,与式（6-4-8）比较，可得2工=工说明在圆管均匀流的过流断面上，切应力呈直线分布，管壁处切应力最大为T0,管轴处切应力为零。（二）圆管中的层流运动由式（6 1-3）有尸戶鹉对于圆管将dy改为dr ，又因du与dr符号相反，将上式改写为与式（6-4-8）联立可得经积分得管壁上r = r o u = 0得(6-4-9):钦is=皿=丄叫从以上的推导得出的结论是：圆管中的层流，断面上流速分布是旋转抛物面。平均流速是最大流速的一式中Y沿程阻力系数所以，

9、从圆管中层流的推导得到的又一个重要结论是：圆管中层流的水头损失只与雷诺数有关，而与 管壁条件无关。且水头损失与流速的一次方成正比。四、紊流运动的特征紊流中，流体质点在运动中不断互相混杂，使各点的流速、压强等运动要素都随时间作无规则的变化，这种变化称为脉动现象。图6-4-3 表示紊流中某点x方向速度ux随时间t变化的曲线。同样也可测出该 点Uy、Uz和p随时间的变化曲线。看起来这种变化迅速而无规律，使对紊流的研究十分困难。但经深人分 析可知，这种脉动是围绕某一平均值而变化的这样，可以将紊流看作两个流动的叠加。即时间平均流动和uv脉动的叠加。某点在某一瞬时x方向的速度Ux就等于时间平均速度u X和

10、该瞬时脉动流速u x的代数和。-叭血图 6-4-3 奉流中速度的超t如冬厂同理，可得圧厂陷+此 町=.+攀；引人时间平均流动的概念后，尽管紊流实质上是极无规则的非恒定流，但只要它的时均值是一常数就可以将它看成恒定流。或者它的时均值随时间遵循某一规律变化，就可看作是随时间遵循某一规律变化的非恒定流（如水箱中水无补给时，经水箱孔口的出流），而且前面提到的概念如流线、断面平均流速等等对于时间平均流动仍可照常应用。但对于紊流的切应力、紊流扩散等问题的研究却必须考虑紊流的脉动紊流中的切应力除了由于黏性所产生的切应力外，由于质点互相掺混、动量的交换，还存在着紊流的 附加切应力，又称为雷诺应力。T t为紊流

11、附加切应力即雷诺应力。经分析可得：T t =UxUy 但Ux Uy等脉动流速难以求出。为了找到由于脉动所引起的紊流附加应力与时均流速的关系，普朗特提出半经验的混合长度理论，推导出:(6-4 14)式中丨一混合长度，流体质点因横向脉动流速作用， 横向运动一段距离后，才与周围质点进行动量交换.合长度即与此距离有关。由试验知丨=ky , k为卡门通用常数;dudy时均流速梯度uT这禅"皑+叭訪&4 当雷诺数较小时，以黏性切应力T v为主。随Re的增加，紊流附加切应力T t在T中的分量逐渐增大,至雷诺数相当大时，勃性切应力甚至可以忽略不计由紊流的半经验理论可以得到沿边界法线方向的流速

12、分布为对数函数(6-4-16)式中V 一，直接反映边界上的切应力T 0，因具有速度的量纲，故称为剪切速度；c由边界条件确定 紊流的流速分布，靠近固体边界处与核心区域是不同的。紧贴边界的流体质点流速为零，近边界处流速显著减小，在边界附近存在着很薄的黏性底层。在黏性底层内流速分布可作为直线分布。而紊流核心区域内由于质点相互掺混和动量交换，使速度趋于平均化。此外依据试验资料还提出了紊流流速分布的指数公式：如在Re = 1.1 x 105时<6 4-17>式中r o为圆管半径.y为流速为u的点至壁面的距离。黏性底层的厚度随 Re的增大而减小，它虽然很薄，但对能量损失影响很大五、沿程水头损失

13、流体作均匀流动时，切应力沿程不变，单位长度的能量损失相等，这种损失称为沿程损失，它的大小与长度成正比，用hf表示。式(6-4-6)已说明了切应力和沿程水头损失的关系。该式不仅适用于层流也同样适用于紊流。对于圆管中的层流，通过理论分析，我们已得到了沿程水头损失的计算公式即式(6-4-13 )，对于紊流，由于完全由理论分析难以求出沿程水头损失的公式。我们借助于因次分析，同样可以得到同一形式的沿程水头损失的计算公式：加=入寺器(6-4-J8)-这里只是入有所不同。式 (6-4-18)是管流的通用公式.与层流不同的是入为雷诺数及管壁相对粗糙度/d的函数。为管壁上的粗糙突起高度。对于紊流,无法像对圆管中

14、的层流一样推导出入，只能依靠实验研究。最初由尼古拉兹在实验室中对人工粗糙管(即管壁均匀地黏上一定粒径的沙子的圆管）测出入与Re和/ d的变化规律。以后许多人又做了矩形渠道和工业管道的实验，总结出不少经验公式其中考尔布鲁克公式*=-如爲；务）Z是根据大量工业管道的试验资料提出的。为了简化计算，莫迪在此公式基础上绘成曲线（图6-4-4 ）称莫迪图。从莫迪图中可以看到：其中横坐标和纵坐标都是按对数分格的，称为双对数格纸，这样画出来的入-Re曲线图形即为1g入一 1gRe的曲线图形。按图中曲线可分为五个阻力区，不同区阻力系数的规律不同1层流区：Re < 2300时,各种不同相对粗糙度的管道的沿程

15、阻力系数入=卫4 .这个结果与前面理Re论推导完全一致，即入仅与 Re有关.minti.m thus0.070 ifr亠 1 4 翩購HH MtU.U4心N0-(125&020.01513 4 5 6C.dl 。.刚 O.lftS-11/0=0.000005- a.ftjoori-MM.4HHU9411VH I 1-B - I .1_ 一 f - 1_ - > 1 *= 二LHXM5此区域由于数值不稳定，研究较少图中2临界区（层流一紊流的过渡区）：2300 < Re < 4000仅用斜线表示。3光滑区：图中表示为左下方的包络线。在此区内由于粗糙突起高度被黏性底层所覆盖

16、，对阻力系数 入没有影响，入仍仅与 Re有关。4紊流过渡区：图中表示为光滑管区至虚线之间的区域。随Re的增大，黏性底层厚度减小，粗糙突起高度开始发生影响。在该区内入与Re及 / d都有关系。入=f （ Re , /d）. / d有关，与Re没5粗糙区（阻力平方区）：图中虚线以右的部分。曲线呈水平线，即入仅与有关系。因为此时黏性底层已减小到即使Re再增大也不能对流动阻力有什么影响了。使用莫迪曲线求沿程阻力系数十分简便，查图的精度基本上能满足工程上的需要。图中的并非简单的粗糙突起高度，而是工业管道的当量粗糙度，即是指和工业管道同直径，且在紊流粗糙区人值相等的人工粗糙管的粗糙突起高度。常用管材的当量

17、粗糙度见表6-4-1。常用皆材的当擂額卷矗表右*1当蚩朗13嚴H （nun）嘏戎破聘的天球肓C. 015*0. 0iP，1! 0.240 15一煙績况的能骨C 19C.2S也 294U3【例6-4-2】新铸铁管，长500m，内径为150mm，所输水的温度为10 C ,流量为40丨/ s 。求水头损失【解】水温10C 由表 6-1-2 查得，v = 1.308x 10-6 m/ s .新铸铁管，查表6-4-1 = 0. 250.4mm，取 = 0. 3mm4 X 0.040 r "= 264m/3v 1.308X10 1 - 359533由Re和厶 / d在图6-4-4 莫迪图上查得入

18、=0.0242 （曲线 / D = 0.002 与竖线 Re = 2.6 X105的交点的入值），在紊流过渡区内.I 护 n500 2、26护 即 16-4-19）是紊流过渡区的公式，也可= Im除查莫迪图求入外，也可用经验或半经验公式计算。上述式（ 适用于光滑区和粗糙区，但计算很不方便。与它相近的下面两个公式也同样适用于整个紊流各区，计算则 较为简便。巴尔公竝土牝（嘉,+ 課）伽阿里特苏里公式；A = （今十誥厂用当量直径d当c为谢才系数,以上公式均为有关管流沿程水头损失的公式。对于明渠水流，式（6 -4-18）中的d见式（6-4-4）式（6-4-5 代替，也可适用但习惯上采用另一公式：P = C 奶£6-422、A式中v为断面平均流速；R为断面的水力半径R = A式（6-4-4 ） ; J为水力坡度。x为一个具有量纲的系数。式（6-4-22 ）称为谢才公式.在紊流粗糙区，谢才系数可直接由经验公式算出：曼宁公式*c = R175CGi-23）門甫洛夫斯基公式用（6-4-24）jj 一 N5扁一Q.75旅（扁一OH） （X 13C6-4-2O）式中R