填空题的解法技巧

1、第2讲填空题的解法技巧题型概述填空题是一种只要求写出结论，不要求解答过程的客观性试题，有小巧灵活、覆盖面广、跨度大等特点，突出考查准确、严谨、灵活运用知识的能力由于填空题不像选择题那样有备选提示，不像解答题那样有步骤得分，所填结果必须准确、规范，因此得分率较低，解答填空题的第一要求是“准”，然后才是“快”、“巧”，要合理灵活地运用恰当的方法，不可“小题大做”方法一直接法直接法就是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的方法解决问题直接法是求解填空题的基本方法例1(1)(2015·湖南)在一次马拉松比赛中，35

2、名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间139,151上的运动员人数是_(2)(2015·北京)在ABC中，a4，b5，c6，则_.解析(1)由题意知，将135号分成7组，每组5名运动员，落在区间139,151上的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名(2)由余弦定理：cos A，sin A，cos C，sin C，1.答案(1)4(2)1思维升华利用直接法求解填空题要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解

3、填空题的关键跟踪演练1(1)(2015·韶关联考)已知椭圆y21的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值是_(2)已知方程x23ax3a10(a>2)的两根tan ，tan ，且，(，)，则_.方法二特例法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(特殊函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出待求的结论这样可大大地简化推理、论证的过程例2(1)如图所示，在平行四边形ABCD中，AP

4、BD，垂足为P，且AP3，则·_.(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，若方程f(x)m(m>0)在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_.解析(1)把平行四边形ABCD看成正方形，则点P为对角线的交点，AC6，则·18.(2)此题考查抽象函数的奇偶性，周期性，单调性和对称轴方程，条件多，将各种特殊条件结合的最有效方法是把抽象函数具体化根据函数特点取f(x)sinx，再由图象可得(x1x2)(x3x4)(6×2)(2×2)8.答案(1)18(2)8思维升华求值或比较大小

5、等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解跟踪演练2(2015·课标全国)若函数f(x)xln(x)为偶函数，则a_.方法三数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形例3(1)已知点P(x，y)的坐标x，y满足则x2y26x9的取值范围是_(2)已知函数f

6、(x)x|x2|，则不等式f(x)f(1)的解集为_解析(1)画出可行域如图，所求的x2y26x9(x3)2y2是点Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q到射线xy10(x0)的距离d的平方，d()2()22.最大值为点Q到点A的距离的平方，d16.取值范围是2,16(2)函数yf(x)的图象如图，由不等式f(x)f(1)知，x1，从而得到不等式f(x)f(1)的解集为1，)答案(1)2,16(2)1，)思维升华数形结合法可直观快捷得到问题的结论，充分应用了图形的直观性，数中思形，以形助数数形结合法是高考的热点，应用时要准确把握各种数式和几何图形中变量之间的关系跟踪演练3(

7、1)(2015·山西大学附中月考)若方程x33xk有3个不等的实根，则常数k的取值范围是_(2)(2015·兰州一中期中)设函数f(x)若f(4)f(0)，f(2)2，则函数yg(x)f(x)x的零点个数为_方法四构造法构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决例4(1)如图，已知球O的球面上有四点A，B，

8、C，D，DA平面ABC，ABBC，DAABBC，则球O的体积等于_(2)，(其中e为自然对数的底数)的大小关系是_解析(1)如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|2R，所以R，故球O的体积V.(2)由于，故可构造函数f(x)，于是f(4)，f(5)，f(6).而f(x)()，令f(x)>0得x<0或x>2，即函数f(x)在(2，)上单调递增，因此有f(4)<f(5)<f(6)，即<<.答案(1)(2)<<思维升华构造法解题的关键是由条件和结论的特征构造数学模

9、型在立体几何中，补形构造是常用的解题技巧，构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用跟踪演练4已知三个互不重合的平面、，m，n，且直线m、n不重合，由下列三个条件：m，n；m，n；m，n.能推得mn的条件是_方法五归纳推理法做关于归纳推理的填空题的时候，一般是由题目的已知可以得出几个结论(或直接给出了几个结论)，然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解决问题归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜想例5(1)(2014·陕西)观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812

10、猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是_(2)用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为_解析(1)观察F，V，E的变化得FVE2.(2)观察题图，共有8根火柴，以后依次增加6根火柴，即构成首项为8，公差为6的等差数列，所以，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n2.答案(1)FVE2(2)6n2思维升华归纳推理法主要用于与自然数有关的结论，这类问题是近几年高考的热点，解题的关键在于找准归纳对象及其规律，如数列中项与项数之间的对应关系跟踪演练5观察下列各个等式：131；2335；337911；4313151719；若某数m3按上述规律展开后，发现等式右

11、边含有“2 016”这个数，则m_.方法六正反互推法多选型问题给出多个命题或结论，要求从中选出所有满足条件的命题或结论这类问题要求较高，涉及图形、符号和文字语言，要准确阅读题目，读懂题意，通过推理证明，命题或结论之间互反互推，相互印证，也可举反例判断错误的命题或结论例6已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x0时，有f(x1)f(x)，且当x0,1)时，f(x)log2(x1)，给出下列命题：f(2 013)f(2 014)的值为0；函数f(x)在定义域上为周期是2的周期函数；直线yx与函数f(x)的图象有1个交点；函数f(x)的值域为(1,1)其中正确的命题序号有_解析根据题意，可在同一坐标系

12、中画出直线yx和函数f(x)的图象如下：根据图象可知f(2 013)f(2 014)0正确，函数f(x)在定义域上不是周期函数，所以不正确，根据图象确实只有一个交点，所以正确，根据图象，函数f(x)的值域是(1,1)，正确答案思维升华正反互推法适用于多选型问题，这类问题一般有两种形式，一是给出总的已知条件，判断多种结论的真假；二是多种知识点的汇总考查，主要覆盖考点功能两种多选题在处理上不同，前者需要扣住已知条件进行分析，后者需要独立利用知识逐项进行判断利用正反互推结合可以快速解决这类问题跟踪演练6给出以下命题：双曲线x21的渐近线方程为y±x；命题p：“xR，sin x2”是真命题；

13、已知线性回归方程为 32x，当变量x增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；设随机变量服从正态分布N(0,1)，若P(>1)0.2，则P(1<<0)0.6；已知2，2，2，2，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为2(n4)则正确命题的序号为_(写出所有正确命题的序号)知识方法总结六招拿下填空题：(一)直接法(二)特例法(三)数形结合法(四)构造法(五)归纳推理法(六)正反互推法填空题突破练A组专题通关1已知集合Ax，xy，lg(xy)，B0，|x|，y，若AB，则x_，y_.2已知函数f(x)若关于x的函数g(x)f(x)m有两个零点，则实数m的取值范围是_3已知函数f(x

14、)sin(x)(x>0)的图象与x轴的交点从左到右依次为(x1,0)，(x2,0)，(x3,0)，则数列xn的前4项和为_4(2015·杭州外国语学校期中)设a0，在二项式(a)10的展开式中，含x的项的系数与含x4的项的系数相等，则a的值为_5已知P为抛物线y24x上一个动点，Q为圆x2(y4)21上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是_6已知aln，bln，cln，则a，b，c的大小关系为_7观察下列不等式：111照此规律，第五个不等式为_8若函数f(x)的定义域是R，f(0)2，对任意的xR，f(x)f(x)>1，则不等式ex

15、3;f(x)>ex1的解集是_9(2015·珠海模拟)已知函数f(x)()xsin x，则f(x)在0,2上的零点个数为_10整数数列an满足an2an1an(nN*)，若此数列的前800项的和是2 013，前813项的和是2 000，则其前2 014项的和为_11设命题p：0，命题q：x2(2a1)xa(a1)<0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_12(2015·山东)执行下边的程序框图，输出的T的值为_. B组能力提高13已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x1)(1x)f(x)，则f()_.14已知

16、O是坐标原点，点M的坐标为(2,1)，若点N(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的最大值是_15设函数f(x)则ff(1)_.若函数g(x)f(x)k存在两个零点，则实数k的取值范围是_16已知a、b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a、b在上的投影有可能是：两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点在上面的结论中，正确结论的序号是_(写出所有正确结论的序号)学生用书答案精析第2讲填空题的解法技巧跟踪演练1(1)8(2)或解析(1)由椭圆的定义知|PF1|PF2|4，|PF1|·|PF2|()28，(当且仅当|PF1|PF2|时取等号)|PF1|&#

17、183;|PF2|的最大值是8.(2)由已知可得tan tan 3a，tan tan 3a1，tan()1，因为，(，)，所以<<，所以或.跟踪演练21解析f(1)f(1)，ln(1)ln(1)0，ln a0，a1.经验证a1符合题意跟踪演练3(1)(2,2)(2)3解析(1)设f(x)x33x，令f(x)3x230，得x±1，当x<1时，函数f(x)单调递增，当1<x<1时，函数f(x)单调递减，当x>1时，函数f(x)单调递增，f(1)2，f(1)2，要有三个不等实根，则直线yk与yf(x)的图象有三个交点，2<k<2.(2)由f(

18、4)f(0)，得164bcc.由f(2)2，得42bc2.联立两方程解得b4，c2.于是，f(x)在同一直角坐标系内，作出函数yf(x)与函数yx的图象，知它们有3个交点，即函数g(x)有3个零点跟踪演练4解析构建长方体模型，如图，观察选项特点，可优先判断条件：取平面为平面ADDA，平面为平面ABCD，则直线m为直线AD.因为m，故可取平面为平面ABCD，因为n且n，故可取直线n为直线AB.则直线AD与直线AB为异面直线，故m与n不平行对于：、取中平面，取平面为平面BCCB，可取直线n为直线BC，故可推得mn；对于：，取中平面，取为平面ABCD，取直线n为直线BC，故可推得结论跟踪演练545解

19、析某数m3按上述规律展开后，等式右边为m个连续奇数的和，由于前4行的最后一个数分别为1120,5221,11322,19423，所以m3的最后一个数为m2(m1)，因为当m44时，m2(m1)1 979，当m45时，m2(m1)2 069，所以要使等式右边含有“2 016”这个数，则m45.跟踪演练6解析由x20可以解得双曲线的渐近线方程为y±x，正确命题不能保证sin x，为正，故错误；根据线性回归方程的含义正确；P(>1)0.2，可得P(<1)0.2，所以P(1<<0)P(1<<1)0.3，故错误；根据验证可知得到一般性的等式是正确的填空题突破

20、练111解析由AB知需分多种情况进行讨论，由lg(xy)有意义，则xy>0.又0BA，则必有lg(xy)0，即xy1.此时，AB，即0,1，x0，|x|，y或解得xy1或xy1.当xy1时，AB0,1,1与集合元素的互异性矛盾，应舍去；当xy1时，AB0，1,1满足题意，故xy1.2(1,2解析g(x)f(x)m有两个零点等价于函数f(x)与函数ym的图象有两个交点，作出函数的图象如图，由图可知m的取值范围是(1,2326解析令f(x)sin(x)0，则xk(kN*)，x3k1(kN*)，x1x2x3x43(1234)426.41解析Tk1C()ka10k，令k2时，x的系数为Ca8，令

21、k8时，x4的系数为Ca2，Ca8Ca2，即a1，故答案为1.5.1解析点P到抛物线的准线距离等于点P到抛物线焦点F(1,0)的距离圆心坐标是(0,4)，圆心到抛物线焦点的距离为，即圆上的点Q到抛物线焦点的距离的最小值是1，这个值即为所求6abc解析令f(x)ln xx，则f(x)1.当0x1时，f(x)0，即函数f(x)在(0,1)上是增函数1 0，abc.71<8x|x>0解析构造函数g(x)ex·f(x)ex1，求导得到g(x)ex·f(x)ex·f(x)exexf(x)f(x)1由已知f(x)f(x)>1，可得g(x)>0，所以g(x)为R上的增函数又g(0)e0·f(0)e010，所以ex·f(x)>ex1，即g(x)>0的解集为x|x>092解析因为函数f(x)()xsin x，则f(x)在0,2上的零点个数等于函数y()x与函数