工程力学C：第十章 弯曲内力

1、2021年11月5日Internal forces of bending shafts目录目录10.1 平面弯曲平面弯曲10.2 剪力与弯矩剪力与弯矩10.3 剪力方程剪力方程 弯矩方程弯矩方程 剪力图剪力图 弯矩图弯矩图10.4 剪力、弯矩和分布载荷集度间的关系剪力、弯矩和分布载荷集度间的关系10.5 刚架的弯曲内力刚架的弯曲内力10.1 一、工程实例一、工程实例1 1、受力特点、受力特点 横向外力作用在与杆件的横向外力作用在与杆件的纵向对称面（形心主惯性平面）纵向对称面（形心主惯性平面）重合重合或平行的平面内。或平行的平面内。2 2、变形特点、变形特点 杆件的轴线在纵向对称杆件的轴线在纵向

2、对称面内弯曲成一条平面曲线。面内弯曲成一条平面曲线。对称轴对称轴轴线轴线纵向对称面纵向对称面以弯曲为主要变形形式的杆件以弯曲为主要变形形式的杆件称为称为梁梁。 变形后的梁轴线与力的作用线变形后的梁轴线与力的作用线在同一平面内，故这类弯曲叫在同一平面内，故这类弯曲叫平平面弯曲面弯曲。上述梁的几何、物理性质，梁的受上述梁的几何、物理性质，梁的受力和变形均关于纵向对称面对称，力和变形均关于纵向对称面对称，因此又称为因此又称为对称弯曲对称弯曲。(1) (1) 截面有对称轴（梁有纵向对称面）；截面有对称轴（梁有纵向对称面）；(2) (2) 外载荷作用在纵向对称平面内。外载荷作用在纵向对称平面内。对称弯曲

3、对称弯曲和和平面弯曲平面弯曲的关系？的关系？对称弯曲是平面弯曲的一种特殊情况。对称弯曲是平面弯曲的一种特殊情况。lABF试问各梁是否产生平面弯曲？试问各梁是否产生平面弯曲？梁发生对称弯曲的条件？梁发生对称弯曲的条件？1 1、固定铰支座、固定铰支座限制沿支承面水平和垂直限制沿支承面水平和垂直方向的移动方向的移动。2 2、活动铰支座、活动铰支座限制杆件沿垂直于支承限制杆件沿垂直于支承面方向的移动。面方向的移动。活动铰支座FxFyFA3、固定端、固定端 限制杆件沿支承面水限制杆件沿支承面水平和垂直方向的移动和绕平和垂直方向的移动和绕固定端点的转动。固定端点的转动。MAFxFy1 1、集中载荷、集中载

4、荷载荷的作用范围远小于杆件轴向尺寸。载荷的作用范围远小于杆件轴向尺寸。2 2、分布载荷、分布载荷沿轴向连续分布在杆件上的载荷，常用沿轴向连续分布在杆件上的载荷，常用q q表示单位长表示单位长 度上的载荷度上的载荷, ,称为载荷集度称为载荷集度. . 如风力如风力, ,水力水力, ,重力重力. .3 3、集中力偶、集中力偶M（Nm）, ,一般直接给出或由力系简化可得。一般直接给出或由力系简化可得。特例：均布载荷，线性分布载荷，如水对坝的压力特例：均布载荷，线性分布载荷，如水对坝的压力轴线：杆件横截面形心的连线。轴线：杆件横截面形心的连线。用轴线代替实际杆件用轴线代替实际杆件FF 静定平衡梁的支座

5、约束力数目与平衡方程式的数目静定平衡梁的支座约束力数目与平衡方程式的数目相同则为静定梁相同则为静定梁. .1 1、简支梁、简支梁 一端为固定铰支座一端为活动铰支座。一端为固定铰支座一端为活动铰支座。Pq2 2、外伸梁、外伸梁 一端或两端向外伸出的简支梁。一端或两端向外伸出的简支梁。PP 静定平衡梁的支座约束力数目与平衡方程式的数目静定平衡梁的支座约束力数目与平衡方程式的数目相同则为静定梁相同则为静定梁. .3 3、悬臂梁、悬臂梁 一端固定支座一端自由。一端固定支座一端自由。P 静定平衡梁的支座约束力数目与平衡方程式的数目静定平衡梁的支座约束力数目与平衡方程式的数目相同则为静定梁相同则为静定梁.

6、 .组合梁组合梁，由上述三种简单静定梁彼此铰接而成。，由上述三种简单静定梁彼此铰接而成。注注: : 弯矩和扭矩的比较弯矩和扭矩的比较共同点共同点: :内力偶矩内力偶矩不同点不同点: :作用面和所绕的轴不同作用面和所绕的轴不同; ;作用不同作用不同, ,抵抗扭转还是弯曲抵抗扭转还是弯曲. .一、梁的内力的引入一、梁的内力的引入F例：悬臂梁截面内的内力例：悬臂梁截面内的内力FFs (x) 剪力剪力Fs( (x): ): 抵抗剪切作用的内力抵抗剪切作用的内力, , 是与是与横截面相切的分布内力系的合力横截面相切的分布内力系的合力. . 弯矩弯矩M( (x): ): 抵抗弯曲作用的矩抵抗弯曲作用的矩,

7、 , 是与横是与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩截面垂直的分布内力系的合力偶矩.M(x)mmF1F2F3ABa步骤：步骤：FAyFByx , 0yF1S0AyFFFS1AyFFF , 0OM1()0AyF xF xaM1()AyMF xF xaxyF1Am mxFAyaxF2F3m mFBm mx二、梁的内力计算二、梁的内力计算Fs MFs MF1Am mF2F3m mF1F2F3ABam mx+1.剪力：剪力：2.弯矩：弯矩：左上右下为正左上右下为正左顺右逆左顺右逆 (上凹下凸上凹下凸) 为正为正+m mF1AFAyxF2F3m mFB+Fs MFs MFAFBS1F1MFAFFAFm1m2

8、S2F2Mm1m2FBS1F1M取左段梁取左段梁S1-50NAFFF取右段梁取右段梁S1-50NBFF S21-50NABFFFF 0yF S10AFFF0yF S10BFF1212=100 N,= 20 N m, =10 N m=100 mm, =150 mm, = 50mmFmmaxxBm11122x2aFm2Ax1aaa50 NABFF取左段梁取左段梁111() = 2.5N mAMF xF xa取右段梁取右段梁1121(4)=2.5N mBMmmFa x 0OM111()0AF xF xaM0OM1121(4)0BMmmFa x222122(4)(3)=2.5N mABMFa xF a

9、 xmmF x FAFBS1F1MFAFFAFm1m2S2F2Mm1m2FBS1F1MBm11122x2aFm2Ax1aaaFBFD11223344 , 0BM54DFqa= , 0yF14BFqa= -S1Fqa S2Fqa BF+)41(qaqaqa45aqaM211221qaaqaM2120BF+221qam=3qa2ADBCqaaaFBFD11223344m=3qa2ADBCqaaaS3BFqaF= -+qa45S4BFqaF= -+DF= -qa45aqaM233BF a+aqaqa)41(232247qa4DMFa=aqa45245qa , 0BM54DFqa= , 0yF14BF

10、qa= -10.3 SS( )FF x)(xMM 表示剪力和弯矩沿梁轴线变化规律的代数方程。表示剪力和弯矩沿梁轴线变化规律的代数方程。要将剪力图和弯矩图画在梁受力图的正下方，而要将剪力图和弯矩图画在梁受力图的正下方，而不要画在其它地方。这样就可以很方便地了解梁不要画在其它地方。这样就可以很方便地了解梁中内力的变化规律，以及得到梁中任意截面上的中内力的变化规律，以及得到梁中任意截面上的剪力和弯矩值。剪力和弯矩值。有集中载荷（力和力偶）或外力不连续处，则要有集中载荷（力和力偶）或外力不连续处，则要分段。分段。作图时请注意：作图时请注意：xy 已知已知:P 、l求：梁的剪力图和弯矩图。求：梁的剪力图

11、和弯矩图。1.剪力方程和弯矩方程：剪力方程和弯矩方程：S( )F xP 0MlABPSFxMxPl)0(lx PxxM)()0(lx PPlMFS(x)为一常量为一常量2.绘出剪力图和弯矩图绘出剪力图和弯矩图x0时x 时xl SmaxFPPlMmaxxy1.先求约束力：先求约束力：2qlFFBAlABq 已知已知:q 、l 求：梁的求：梁的FS图和图和M图。图。x2.列剪力方程和弯矩方程：列剪力方程和弯矩方程：S( )2AqlF xFqxqx)0(lx 2( )222AxqlxqxM xFxqx )0(lx SFxMx3.画剪力、弯矩图画剪力、弯矩图S( )|xqlF x02S( )|x lq

12、lF x 20| )(0 xxM0| )(lxxM2ql2qlBFAF+d( )dddM xqlxqxxx222qxql20时时 求得求得2lx 22( )|8lxqlM xmaxM28qll /2+xylABqxSFxMx2ql2qlBFAF+S( )|xqlF x02S( )|x lqlF x 20| )(0 xxM0| )(lxxM3.画剪力、弯矩图画剪力、弯矩图xy画出图示梁的画出图示梁的FS 图和图和M图。图。1.列剪力方程和弯矩方程：列剪力方程和弯矩方程：BSFxMxql22qlS( )F xqx 2)(xqxxMlx 0221qxlx 02.画剪力、弯矩图画剪力、弯矩图S|xF0

13、0S|x lFql 0|0 xM221|qlMlxSmaxFql22maxqlMqAxlxyBFAFABPlbCa（1）先求出约束力：）先求出约束力：lPbFAlPaFB（2）剪力方程和弯矩方程：）剪力方程和弯矩方程：S1( )APbFxFl)0(ax 1( )APbxMxF xl)0(axCB段：段：S2( )ABPaFxFPFl )(lxa2( )()()()ABPaM xF xP x aF lxlxl)(lxaxx画出图示梁的画出图示梁的FS 图和图和M图。图。AC段：段：xyBFAFABPlbCaSFxMxxxPblPalPabl+（3）画剪力图和弯矩图）画剪力图和弯矩图SmaxPbF

14、llPabMmax画出图示梁的画出图示梁的FS 图和图和M图。图。（2）剪力方程和弯矩方程：）剪力方程和弯矩方程：S1( )APbFxFl)0(ax 1( )APbxMxF xl)0(axCB段：段：S2( )ABPaFxFPFl )(lxa2( )()()()ABPaM xF xP x aF lxlxl)(lxaAC段：段：xxABMlbCalMFAlMFBS1( )AMFxFl)0(ax 1( )AMxM xF xl)0(ax S2( )AMFxFl)(lxa2( )AMMxF xMxMl)(lxa画出图示梁的画出图示梁的FS 图和图和M图。图。（1）先求出约束力：）先求出约束力：（2）剪

15、力方程和弯矩方程：）剪力方程和弯矩方程：AC段：段：CB段：段：BFAFSFxxxABMlbCaMxMlMallMbBFAF+（3）画出剪力、弯矩图）画出剪力、弯矩图0|0 xMlmaMax|lmbMax|0|lxMS1( )AMFxFl)0(ax 1( )AMxM xF xl)0(ax S2( )AMFxFl)(lxa2( )AMMxF xMxMl)(lxa画出图示梁的画出图示梁的FS 图和图和M图。图。（2）剪力方程和弯矩方程：）剪力方程和弯矩方程：AC段：段：CB段：段：lABqSFxMx2ql2ql28qll /2lABPSFxMxPlPBSFxMxql22qlqAlABPlbCaMx

16、PblPalPablSFxABMlbCaMxMlMalSFx结论：结论： 凡是集中力（包括约束力）作凡是集中力（包括约束力）作用处，剪力图有突变，突变值即为用处，剪力图有突变，突变值即为该处集中力的大小；该处集中力的大小； 在集中力偶作用处，弯矩图有在集中力偶作用处，弯矩图有突变，突变值即为该处集中力偶矩突变，突变值即为该处集中力偶矩的大小；的大小； 剪力图为剪力图为0次曲线时，弯矩图次曲线时，弯矩图为为1次曲线；剪力图为次曲线；剪力图为1次时，弯次时，弯矩图为矩图为2次曲线；次曲线；S( )F xSS( )d( )F xF xS1( ) d( )( ) dd( )d( )02F xxM xq

17、 xxxM xM x00yFSSS( )( ) d( ) d( )F xq xxF xF x0Sd( )( )dF xq xx0CMSd( )( )dM xF xxSd( )d( )( )ddF xM xq xxx22（1）FS图上各点的斜率等于梁上对图上各点的斜率等于梁上对应位置处的分布载荷集度应位置处的分布载荷集度（2）M图上各点的斜率等于梁上对图上各点的斜率等于梁上对应截面上的剪力应截面上的剪力（3）由）由q的正负判断的正负判断M图的凹凸性。图的凹凸性。Sd( )( )dF xq xxSd( )( )dM xF xxSd( )d( )( )ddF xM xq xxx221、当、当 q=0

18、 时时FS=常量常量0时，M图0（M图图M图图图图当当q0（M图图M图图图图当当q0（图图Sd( )0dF xx记忆：记忆：弯矩图的开口方向与弯矩图的开口方向与q(x)指向一致指向一致。Sd( )d( )( )ddF xM xq xxx22Sd0dMFx3、若梁的某一截面上、若梁的某一截面上 即：即：弯矩的极值发生在剪力为零的截面上弯矩的极值发生在剪力为零的截面上。4. 集中力集中力P作用处作用处FS 图突变，突变值等于图突变，突变值等于P值值M 图斜率突变，形成一个转折点图斜率突变，形成一个转折点 从左向右画：从左向右画： Sd( )d( )( )ddF xM xq xxx225. 集中力偶集中力偶 m 作用处，作用处，FS 无变化；无变化；M 有突变，突变值为有突变，突变值为m从左向右画：从左向右画： 6. 端部铰链和自由端处，若无集中力偶作用，则端部铰链和自由端处，若无集中力偶作用，则