高等数学：第五章 第6节定积分的近似计算

1、一、问题的提出计算定积分的方法：计算定积分的方法：(1) 求原函数；求原函数；问题：问题：(1) 被积函数的原函数不能用初等函数表示；被积函数的原函数不能用初等函数表示；(2) 被积函数难于用公式表示，而是用图形或被积函数难于用公式表示，而是用图形或表格给出的；表格给出的；(3) 被积函数虽然能用公式表示，但计算其原被积函数虽然能用公式表示，但计算其原函数很困难函数很困难(2) 利用牛顿莱布尼茨公式得结果利用牛顿莱布尼茨公式得结果解决办法解决办法：建立定积分的近似计算方法建立定积分的近似计算方法常用方法常用方法：矩形法、梯形法、抛物线法矩形法、梯形法、抛物线法思路：思路：分的近似值分的近似值面

2、积，就得到所给定积面积，就得到所给定积出相应的曲边梯形的出相应的曲边梯形的的面积，只要近似地算的面积，只要近似地算在数值上表示曲边梯形在数值上表示曲边梯形)0)()( xfdxxfba二、矩形法窄矩形的高，如图窄矩形的高，如图作为作为值值取小区间左端点的函数取小区间左端点的函数等分，等分，将区间将区间用分点用分点), 1 , 0(,10niynbabxxxain oxy)(xfy 0 xa 1x1 nxbxn 0y1y1 nyny)1()(1111 niiniibaynabxydxxf则有则有的高，如图的高，如图作为窄矩形作为窄矩形取右端点的函数值取右端点的函数值), 2 , 1(niyi )

3、2()(11 niiniibaynabxydxxf称为矩形法公式称为矩形法公式、 )2()1(oxy)(xfy 0 xa 1x1 nxbxn 0y1y1 nyny则有则有三、梯形法梯形法就是在每个小梯形法就是在每个小区间上，以窄梯形的区间上，以窄梯形的面积近似代替窄曲边面积近似代替窄曲边梯形的面积，如图梯形的面积，如图oxy)(xfy 0 xa 1x1 nxbxn 1y1 nyny0y)3()(21)(21)(21)(21)(121012110 nnnnbayyyyynabxyyxyyxyydxxf例例的近似值的近似值积分积分用矩形法和梯形法计算用矩形法和梯形法计算 102dxex解解,ix设

4、设分分点点为为把把区区间间十十等等分分相应的函数值为相应的函数值为)10, 1 , 0(2 ieyixi)10, 1 , 0( iiixiy01234501 . 02 . 03 . 04 . 05 . 000000. 199005. 096079. 091393. 085214. 077880. 0列表列表:iixiy10678916 . 07 . 08 . 09 . 069768. 061263. 052729. 044486. 036788. 0利用矩形法公式（），得利用矩形法公式（），得1001)(910102 yyydxex.77782. 0 利用矩形法公式（），得利用矩形法公式（），

5、得1001)(1021102 yyydxex.71461. 0 利用梯形法公式（），得利用梯形法公式（），得)(211001921100102yyyyydxex 实际上是前面两值的平均值，实际上是前面两值的平均值，)71461. 077782. 0(21102 dxex.74621. 0 四、抛物线法到定积分的近似值到定积分的近似值原来的曲线弧，从而得原来的曲线弧，从而得段弧来近似代替段弧来近似代替轴的二次抛物线上的一轴的二次抛物线上的一行于行于许多小段，用对称轴平许多小段，用对称轴平抛物线法是将曲线分为抛物线法是将曲线分为y), 2 , 1 , 0().(),(,10nixfyyxMnbxx

6、xaiiiiin 点为点为这些分点对应曲线上的这些分点对应曲线上的（偶数）等分，（偶数）等分，把区间分成把区间分成用分点用分点oxy)(xfy 0 xa 1x1 nxbxn 1y1 nyny0y2y因为经过三个不同的点可以唯一确定一抛物线因为经过三个不同的点可以唯一确定一抛物线,., ,212432210nnniMMMMMMMMMnM 组组互相衔接的分成互相衔接的分成故可将这些曲线上的点故可将这些曲线上的点.,)2, 2 , 1(,22122222221222线弧线弧近似代替曲近似代替曲的二次抛物线的二次抛物线用经过点用经过点上上应的子区间应的子区间所对所对在每组在每组rqxpxyMMMxxn

7、kMMMkkkkkkkk 边梯形的面积边梯形的面积为曲边的曲为曲边的曲的抛物线的抛物线上过三点上过三点计算在计算在rqxpxyyhMyMyhMhh 2221100),(), 0(),(,可由下列方程组确定：可由下列方程组确定：抛物线方程中的抛物线方程中的rqp, .,22120rqhphyryrqhphy.222102yyyph 由由此此得得于是所求面积为于是所求面积为 hhdxrqxpxA)(2rhph2323 )62(312rphh ),4(31210yyyh 有关有关及底边所在的区间长度及底边所在的区间长度标标的纵坐的纵坐只与只与显然，曲边梯形的面积显然，曲边梯形的面积hyyyMMM2,

8、210210 组曲边梯形的面积为组曲边梯形的面积为由此可知由此可知2n),4(31),4(31),4(3112243222101nnnnyyyhAyyyhAyyyhA .nabh 其中其中)4().(4)(2)(3)(1312420 nnnbayyyyyyyynabdxxf例例 对如图所示的图形测量所得的数据如下表对如图所示的图形测量所得的数据如下表所示所示,用抛物线法计算该图形的面积用抛物线法计算该图形的面积 .A0123451 6站号站号y高高0305. 2865. 4974. 6568. 8559. 9011.10183.1078910111213站号站号y高高200.10200.102

9、00.10200.10200.10200.10200.1014151617182019站号站号y高高400.10416. 9015. 8083. 6909. 3814. 10yxo1A2A米米站之间的距离为站之间的距离为站到站到而而）为）为两站之间的距离（站距两站之间的距离（站距米，相邻米，相邻站之间的距离为站之间的距离为站到站到这里，这里，501359. 72018.14718.147200 解解来近似表示，即来近似表示，即轴构成的三角形的面积轴构成的三角形的面积的交点的连线与坐标的交点的连线与坐标它可以用曲线同坐标轴它可以用曲线同坐标轴表示表示站这一段的面积用站这一段的面积用站到站到从从1

10、01A 305. 25211 A).(763. 5平方米平方米 根据抛物线公式根据抛物线公式(4)，得，得3)(2)(4)(1842195312002xyyyyyyyyyA ).(839.1194平方米平方米 839.1194768. 521 AAA).(602.1200平方米平方米 五、小结求定积分近似值的方法：求定积分近似值的方法：矩形法、梯形法、抛物线法矩形法、梯形法、抛物线法注意：对于以上三种方法当取得越大时近注意：对于以上三种方法当取得越大时近似程度就越好似程度就越好n一、一、 某河床的横断面如教材图某河床的横断面如教材图125 所示，为了计算最所示，为了计算最大排洪量，需要计算它的断面积试根据图示的大排洪量，需要计算它的断面积试根据图示的测量数据测量数据（单位为米）用梯形法计算其断面积（单位为米）用梯形法计算其断面积. .二、 用三种积分近