高等数学课件：D8_6二阶常系数齐次线性微分方程

1、高等数学高等数学 化学专业化学专业 第二学期第二学期二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程第六节第六节 第八章第八章 高等数学高等数学 化学专业化学专业 第二学期第二学期r xye 和它的导数只差常数和它的导数只差常数代入得代入得2()0r xrprq e20rprq称为微分方程的称为微分方程的特征方程特征方程,( r 为待定常数为待定常数 )所以令的解为所以令的解为 其根称为其根称为特征根特征根.因为因为r为常数时为常数时,函数函数 (p,q为常数为常数) 一、二阶常系数齐次线性微分方程及其解法一、二阶常系数齐次线性微分方程及其解法为求方程为求方程 的的通解通解,先求其任意两个

2、线性无关先求其任意两个线性无关的特解的特解y1、y2, 考查方程中考查方程中特点特点0yp yq yyyy、 、rxe高等数学高等数学 化学专业化学专业 第二学期第二学期1. 当当240pq时时, 有两个相异实根有两个相异实根r1,r2则微分方程有两个线性无关的特解则微分方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为因此方程的通解为1212r xr xyC eC e特征方程：特征方程：20rprq 微分方程微分方程:(p,q为常数为常数) 0yp yq y11,r xye 22,r xye 高等数学高等数学 化学专业化学专业 第二学期第二学期2. 当当240pq时时, 特征方程有两个相等实根特征方

3、程有两个相等实根则微分方程有一个特解则微分方程有一个特解设另一特解设另一特解( u (x) 待定待定)代入方程得代入方程得:1r xe1()p ur u 0qu211(2)ur ur u是特征方程的重根是特征方程的重根0u 取取 u = x , 则得则得12,r xyxe 因此原方程的通解为因此原方程的通解为112()r xyCC x e2111(2)()0urp urprq u12rr 21( )yy u x 1( )r xeu x 1r注注意意高等数学高等数学 化学专业化学专业 第二学期第二学期3. 当当240pq时时, 特征方程有一对共轭复根特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解这

4、时原方程有两个复数解:()1ixye (cossin)xexix ()2ixye (cossin)xexix 利用解的叠加原理利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解得原方程的线性无关特解:1121()2yyy2121()2yyyicosxex sinxex 因此原方程的通解为因此原方程的通解为12(cossin)xyeCxCx 12,riri高等数学高等数学 化学专业化学专业 第二学期第二学期1212r xr xyC eC e实根实根 112()r xyCC x e12(cossin)xyeCxCx 特特 征征 根根通通 解解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程以上结论可推广到高阶常系

5、数线性微分方程方法步骤方法步骤写出特征方程写出特征方程02 qprr求出特征根求出特征根21,rr按特征根的三种不同情况依下表写出通解按特征根的三种不同情况依下表写出通解12rr 122prr 1 2 ,ri高等数学高等数学 化学专业化学专业 第二学期第二学期例例1.230yyy 求求方方程程的通解的通解.解解: 特征方程特征方程2230rr特征根特征根:121,3rr 因此原方程的通解为因此原方程的通解为312xxyC eC e 高等数学高等数学 化学专业化学专业 第二学期第二学期例例2. 求解初值问题求解初值问题22dd20ddssstt04,ts d2d0st t 解解: 特征方程特征方

6、程2210rr有重根有重根121rr 因此原方程的通解为因此原方程的通解为12()tsCC t e 利用初始条件得利用初始条件得14,C 于是所求初值问题的解为于是所求初值问题的解为22C (42 )tst e 高等数学高等数学 化学专业化学专业 第二学期第二学期250yyy求求方方程程的的通通解解解解特征方程为特征方程为2250rr解得解得1 212ri ，故所求通解为故所求通解为12(cos2sin2 )xyeCxCx 例例3高等数学高等数学 化学专业化学专业 第二学期第二学期练习练习练习练习1高等数学高等数学 化学专业化学专业 第二学期第二学期练习答案练习答案高等数学高等数学 化学专业化

7、学专业 第二学期第二学期求以求以为通解的微分方程为通解的微分方程.解解: 由通解式可知特征方程的根为由通解式可知特征方程的根为故特征方程为故特征方程为因此微分方程为因此微分方程为练习练习2212xxyC eC e121,2rr(1)(2)0rr2320rr即即320yyy高等数学高等数学 化学专业化学专业 第二学期第二学期若特征方程含若特征方程含 k 重实根重实根 r , 则其通解中则其通解中必含对应项必含对应项( )(1)110nnnnya yaya y 特征方程特征方程: 1110nnnnra rara 推广推广:二、二、n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程112()kr xkCC

8、xC xe 高等数学高等数学 化学专业化学专业 第二学期第二学期( )(1)110nnnnya yaya y 特征方程特征方程: 1110nnnnra rara 推广推广:n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程若特征方程含若特征方程含 k 重复根重复根则其通解中必含则其通解中必含(以上以上Ck,Dk均为任意常数均为任意常数),ri112()cosxkkeCC xC xx 112()sinkkDD xD xx 高等数学高等数学 化学专业化学专业 第二学期第二学期n阶常系数齐次线性微分方程的解法阶常系数齐次线性微分方程的解法解解:特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项是是k重实根

9、重实根rrxkkexCxCC)(1110 xxCxCCkk cos)(1110 xkkexxDxDD sin)(1110 注注:而特征方程的每一个根都而特征方程的每一个根都且每一项各含一个任意常数且每一项各含一个任意常数.(1)的通解为的通解为次代数方程有次代数方程有 n个根个根,n是是k重共轭重共轭 i 复根复根对应着通解中的一项对应着通解中的一项,故故.2211nnyCyCyCy 高等数学高等数学 化学专业化学专业 第二学期第二学期例例4.的通解的通解. 解解: 特征方程特征方程432250rrr 特征根特征根:123,40,1 2rrri 因此原方程通解为因此原方程通解为12yCC x34(cos2sin2)xeCxCx (4)250yyy 求求方方程程高等数学高等数学 化学专业化学专业 第二学期第二学期例例5.(5)(4)0yy解解方方程程解解: 特征方程特征方程:540rr特征根特征根 :123450,1rrrrr原方程通解原方程通解:1yC2C x 23C x 34C x 5xC e(不难看出不难看出, 原方程有特解原方程有特解231,)xx xxe高等数学高等数学 化学专业化学专业 第二学期第二学期例例6.(4)20yyy 解解方方程程解