第六章空间解析几何要求与练习含答案

1、第六章要求与练习一、学习要求1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示.2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），两个向量垂直、平行的条件. 掌握单位向量、 方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法.3、掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题 .7 、了解空间曲线在坐标平面上的投影，会求其方程.二、练习1、一向量起点为A （ 2， 2， 5），终点为B（ 1，6， 7），求uuur（1） AB 分别在 x 轴、 y 轴上的投影，以及在z 轴上的分向量；uuuruuuruuur（2） AB 的模；（ 3

2、） AB 的方向余弦； （4） AB 方向上的单位向量 .uuur3,8,2uuur解：（ 1） AB， AB 分别在 x 轴的投影为 -3，在 y 轴上的投影为8，在 z 轴上的ruuuruuur3,8,2 ；分向量 2k；（ 2） AB77 ；（ 3） AB 的方向余弦为777777uuur1(rrr（4） AB 方向上的单位向量3i8 j2k ) .77、设向量ro，且r，r，求rr，rrr 和 b 夹角为| b | 82a60| a | 5| a b | a b |.rrrr 2r2r2r r0=129，解： | a b |ab| a | b |2 | a |b | cos60rrrr

3、 2r 2r2rr0| ab |ab| a | b |2 | a | b |cos60=7.r2,2,1 r8,4,1 ，求3、已知向量 a， brr（1）平行于向量 a 的单位向量；（2）向量 b 的方向余弦 .r222r221解（ 1） a2213平行于向量 a 的单位向量3, ；rr3382421298 ,4 , 1（2） b，向量 b 的方向余弦为：.9994、一向量的终点为B（ 2， 1， 7），该向量在三个坐标轴上的投影依次为4、 4 和 7.求该向量的起点 A 的坐标 .uuur解： AB =(4 ， -4， 7)=(2， -1， 7)-(x， y，z),所以 (x， y， z)

4、= （ 2，3， 0）；rr2, 2,1 ， b3, 2, 2 ，求5、已知 arrrr（1）垂直于 a 和 b 的单位向量；（ 2）向量 a 在 b 上的投影；rr（3）以 a 、 b 为边的平行四边形的面积以及夹角余弦.rrr6, 1,10ruur1( 6,1,10)解（ 1） cab, c137 ， c0；137r rrr4a b；（2） cos a, brrab17（3） Srrrrrrrr417 ；abab sina, b137 ， cos a,b51rrrrrrr rrr r r6、设 a b c0 ， | a |3 ， |b |2 ， | c | 4，求 a gb b gc c

5、ga .rrr 2r 2r 2r 22r rr rr rr rr rr r解： abcabcagbb gccga0 ，所以 agbbgcc ga = 29 / 2 ；7、求参数k ，使得平面 xky 2z 9分别适合下列条件：（1）经过点(5,4,6) ；（2）与平面 2 x4y3z3垂直；（3）与平面2x3yz0成的角；（ 4）与原点相距3 个单位；470解： 7、（1）2；（ 2）1；（3）；（4）2 ；28、已知平面平行于y 轴，且过点 P(1,5,1) 和 Q(3,2, 1)，求平面的方程 .解 ： 设 平 面 方 程 为 ： AxByD0，将P(1,5,1)和 Q(3,2, 1)代入

6、求得A1, B1, D2.该平面方程为：xz20.9、已知平面过O(0,0,0)、 A(1,0,1)、B(2,1,0)三点，求该平面方程 .解：设平面方程为：AxByCz0，将A(1,0,1) 、 B(2,1,0)代入平面方程得，A1, B2, C1, ，该平面方程为x 2 yz0 .10、求过点 M (1,2,1)，且垂直于已知两平面xy0与 5y z1 0 的平面方程 .uruur解 ： 两 平 面 的 法 向 量 为 ： n11,1,0, n20,5,1，所示平面的法向量为：ruruurnn1n21,1,00,5,11, 1,5 ，则所示的平面方程为：x y 5z 4 0 .11、把直线

7、x yz1化为对称式方程及参数方程 .2xyz4uruur解 ： 两 平 面 的 法 向 量 为 ： n11,1,1 , n22,1,1，则直线的方向向量为：ruruursn1n21, 1,12,1,12,1,3，取直线上一点为：(1， 1， 1)，则直线对称式方程为： x1y1z1x12tt , 参数方程为 :y1t .213z13t解二：若取点为： (0，-3/2,5/2) , 则直线对称式方程为：xy3 / 2z5 / 2， 参数213方程为 : x2t, yt3/ 2, z3t5 / 2.12、求过点(0,2,4)且与平面 x2z 1及 y3z2都平行的直线方程 .uruur解 ： 两

8、 平 面 的 法 向 量 为 ： n11,2,2, n20,1, 3，则直线的方向向量为：rurur1,2,20,1,32,3,1 ，则直线方程为：xy 2z4sn1n1231t ，或x2ty23tz4t13、一直线过点A(2,3,4) 且和 y 轴垂直相交，求其方程.解：过点 A(2,3,4) 的直线与 y 轴垂直相交的交点为(0，-3， 0)，直线的方向向量为：x 2y 3z 1 ，即y30(2，0， 4)，所以直线方程为：x2z 1 .2042414将 xoz 坐标面上的抛物线 z25x 绕 x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。解：由坐标面上的曲线绕一坐标轴旋转时生成的曲面方程的规

9、律，所得的旋y 2z22z2转曲面的方程为5x ，即 y25x 。15画出下列各方程所表示的曲面：22(1) xay2a；(2) x2z21 ；(3) z 2 x2 。2294zz2oyy3x(2)xa/2z(1)Oy2x（3）16指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？(1) x2 ；(2) yx1； (3) x2y 24 ；(4)x 2y 21。方程在平面解几中表示在空间解几中表示x2平行于 y 轴的一直线与 yoz平面平行且过 2,0,0的平面yx1斜率为 1，在 y 轴截距为1 的直线平行于 z 轴，过 (0,1,0)， (-1,0,1)的平面x 2y24圆心在原

10、点，半径为2 的圆以过 z 轴的直线为轴，半径为 2的圆柱面x 2y21双曲线母线平行于 z 轴的双曲柱面17说明下列旋转曲面是怎样形成的？(1) x2y 2z21；(2) z a 2x2y 2 。4解： (1)由 xoy 坐标面上的双曲线 x2y 21 ，绕 y 轴旋转一周或是 yoz 坐标4面上的双曲线y2z 21，绕 y 轴旋转一周得到。4(2)是 yoz坐标面上关于 z 轴对称的一对相交直线 z a 2y2 ，即 z y a 和z y a 中之一条绕 z 轴旋转一周；或是 xoz 坐标上关于 z 轴对称的一对相交直线 za 2x2 ，即 zxa 和 zxa 中之一条，绕 z 轴旋转一周

11、。18指出下列方程组在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么图形？y5x1x2y21.49(1)2x；(2)y3y3解：(1)在平面解析几何中表示两直线的交点；在空间解析几何中表示两平面的交线；(2)在平面解析几何中表示椭圆与其一切线的交点；在空间解析几何中表示椭圆柱面 x2y 21与其切平面 y 3 的交线。4919分别求母线平行于 x 轴及 y 轴而且通过曲线2x 2y 2z216 的柱面方x2z2y20程。解：10从方程组中消去 x 得： 3y22z216 ，此方程即母线平行于x 轴且通过已知曲线的柱面方程；20从方程组中消去y 得： 3x 22z216 ，此方程即母线平行于y 轴且通过此曲线的柱面方程。20求球面 x2y 2z29 与平