2021年上海高考数学冲刺直通车04三角与解三角形(详解)(教师版)

1、考点04三角函数与解三角形近几年髙考在对三角恒等变换考査的同时，对三角函数图像与性质的考查力度有所加强，往往将三角 恒等变换与图像和性质结合考査，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质其中三角函 数的左义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度仍然以中档为一、角与弧度制、三角函数的概念1角的概念的推广(1) 定义：角可以看成平面内的一条射线绕着竝从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 按旋转方向不同分为正角、负角、零角.J " I按终边位置不同分为细逸和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S=0

2、l0=a+ 依360。，底Z.2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于些长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.公式角«的弧度数公式弧长用/表示)角度与弧度的换算7i(180)1。IS。rad： 1 rad(匚弧长公式弧长l=or扇形面积公式1 1 75=/r=lalr3任意角的三角函数定义：设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x, y),那么sin a = y, cos a=x, tan a=*(xHO)I(2) 儿何表示：三角函数线可以看作是三角函数的儿何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线 的起点都是原点，正切线的起点都是(1, 0).如图中有向线段MP,

3、OM, AT分别叫做角a的正 弦线、余弦线和正切线.二、同角三角函数基本关系式与诱导公式1 同角三角函数的基本关系(1 )平方关系：sin% + cos%= 1.(2)商数关系：进=tan_a.2 三角函数的诱导公式公式-四五六2Air+a 伙 WZ）兀+a an an2a分a正弦sin a- sin o.- sin asin acos acos a余弦cos a一 cos acos_a一 cos asin a- sin a正切tan atan a-tan a-tan a7口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看 象限三、解两角和与差的瑟和正切店1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin（

4、a切）= sin acos 土cos asin 0.cos（a干0）=co§_ _qco$_ 0土sin_ qsii_ 0.坦口 a±tan 01 干tan atan B2二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2a = 2sin acos a.cos 2a=cos2asin2a = 2cos2a 1 = 1 2sin2a.2tan a伽2°=厂硫3函数 f(a)=asin a+bcos a(a9 h =yja2+b2-cos(a(p其中tan 卩=另.名师提醒1. tan a±tan =tan(a±0)(l 丑antan )= l+cos2a

5、91 cos 2a2. cosp=, sinp=.3.1+sin 2a=(sin a+cos a)2, 1 sin 2a=(sin acos a)2, sin a土cos a=sin(a土彳)四、三角函数的图象与性质1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图止弦函数y=sinx, x£0, 2兀的图象中，五个关键点是：（0, 0）,（号，1），（兀，0）, I普，_1）, （2兀，0）.余弦函数y=cosx, xG0, 2刃的图象中，五个关键点是：（0, 1）,（歩0）,（兀，一1）,0（2tt, 1）.2正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中kWZ）函数y = sin xy=cosxv

6、 = tanx图象/K吃V w定义域RR值域T，1T，11R周期性2n2tt匹奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2斤兀 r， 2£兀+ 22加一兀，2kii（竝-号，斤兀+¥|递减区间2Att+1 2kn+= 2R兀，2加+兀无对称中心伽，0）少+号,0）筝。）对称轴方程xhr+fx=kn无五、函数y=Asin（ox+（p）的图象与性质| 画出）=sin 的图象 卜向右）平務里个单位长度得到戸吟爲）ggg卜 tft坐标变为麻来的$倍得到）=sin（岁+卩）的图象| 纵坐标变为0（0 a fAI得到>=A、in（ ；<m十9）的图剝十画出尸亦兀的图象楞坐傢金为廉來的

7、占倍0>T 得到.z如的图象| 间左移丨土丨个单付长度4得到）0in（亦+ ®）的图象1 纵蚩栋变为R0K的A借得到 尸Asin（ ；"（p）的图象1 用五点法画y=Asin（ex+e）个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.V£卩JI兀卩3 k （p2兀一g乞co 2coco2co coCDx + （p0n3kT2ky=Asn（cox-（p）0A0-A02函数y=Asin（cox+（p）的有关概念y=Asin（cox+（p）（A>0, （y>0）, xG0, +8）表示一个振动量时振幅周期频率相位初相ACD0x + °（p3函数

8、y=sinx的图象经变换得到y=Asin（cox+（p）的图象的两种途径4 三角函数应用（1）用正弦函数可以刻画三种周期变化的现象：简谐振动（单摆、弹簧等），声波（音叉发出的纯 音），交变电流.（2）三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f（x） = Asin（ex+0+R中的待定系数.（3）把实际问题翻译为函数几丫）的性质，得出函数性质后，再把函数性质翻译为实际问题的答案.六、正弦定理和余弦定理1 正、余弦定理 在ABC中，若角儿B, C所对的边分别是g d c, 7?为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式abcsin A-sin Bsin C_?R

9、cr=b1- c2 2/?ccos A: b2 = c2 + a2 Icacos B:c2=a2-b2 2abcos C常见变形(1 )a = 2RsinA9 b=2Rsin B, c=2Rsin C；(2) sinA 2r，sinBqr，sin C(3) a : b : c=sin_A : sinB : sin_C：(4) r/sin B = bsinA, bsin C=csin B、asin C =csinAb2+c2(rcosA2bc；(r+crl)1COsB2ac；cr + br c1 COS C 2ab2.Swc=*absin C=csin A=*acsin B=¥#=g（

10、"+b+c）心是三角形内切圆的半径），并可由 此计算R, r.3在ABC中，已知如b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形zAcL3込cA HA B, - - B关系式a = bsinAbsin A<a<baba>b解的个数一解两解一解一解无解七.解三角形的实际应用1 仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和口标视线的夹角，U标视线在水平视线上方叫仰角，訂标视线 在水平视线血叫俯角（如图1）.2 方位角指从巫韭方向顺时针转到U标方向线的水平角，如B点的方位角为G（如图2）.3.方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30。，北偏西45。等.4坡度：坡面与水平

11、面所成的二面角的正切值.一、单选题1. （2020-上海高三专题练习）已知久0角的始边都在x轴的正半轴上，则卩=冗是&与0的终边互为 反向延长线的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【分析】当= 时，可判断两角的终边"为反向延长线，从而证明其充分性$当与戸的终边互为 反向延长线时，通过举特例可证明a-卩“不一定成立，从而证明非必要性.【详解】解：Xa-卩=兀时，a = Z、此时两角的终边互为反向延长线：“'2与0的终边M为反向延长线时，不妨设0 = 0,戸=3兀，此时a_p = 3冗工兀、所以a -0二兀是的终边互

12、为反向延长线的充分非必要条件，故选：A.【点睛】本题考査了角的概念，考査了命题的充分必要条件的判断，属于基础题.2. （2020上海市进才中学高三期中）关于函数/（x） = sinx + ,下列观点正确的是（）sinxA. /（兀）的图象关于直线X = 0对称B. /（%）的图象关于直线x = 对称C. /（x）的图象关于直线x = |对称D. _/（兀）的图象关于直线X"对称【答案】C【分析】利用“y（dx） = /（a+A：）等价于/（“）的图象关于直线x = a对称”或反例逐项检验后可得匸 确的选项.对于B,因为吃一勻【详解】对于A,因为/彳故A错.兀<64U 12丿故/

13、怎遥卜/I P自故臨对于C,)(71)11= sin=COS X +=fX丿 I2 丿.(/rCOS X<2丿sin + x2故f(x)的图象关于直线X = |对称，故C正确./ / 对于D, f龙一牙=2,/ + =一2工、/兀一牙 故。错故选：C.【点睛】结论点»： (1)如果函数f(x)满&f(a-x) = f(a+x)t则/(X)的图象关于门线兀=4对称.反之也成立；(2)如果函数/(兀)满足f(a-x)+f(a+x) = 2b,则f(x)的图象关于点(aQ)对称，父 之也成立.3. (2020上海髙三专题练习)设0 <a v/r,sina + cosa

14、= 1,则cos 2a的值为()2V7心 c护【答案】BC0C【分析】先求IHsin2a = 4,再求H<a< ,所以再利用平方关系求解.424213【详解】由题得1+ sin 2a = 、:. sin 2a =-.44当 0 va v 兰时，sin a + cos a = >J2 sin(a + ),24因为戶+牛茅所以#vsi如护1, 所以 sin a + cos a = >/2 sin(cr + sin a + cos a =,所以一<a<n .2 21 c rrK1 713 兀. sina + cosa = >0,丿九以一vav ， 22437

15、1 所以 k<2<z<,故选：B.【点睛】本题主要考查同角三角函数关系求值，考查二倍角公式和辅助角公式的应用，考査三角函数的图 象和性质，意在考査学生对这些知识的理解掌握水平.4. (2020-上海长宁区髙三二模)在直角坐标系xOy中，角&的始边为尤轴的正半轴，顶点为坐标原点0, 已知角a的终边/与单位圆交于点4(0.6"),将/绕原点逆时针旋转彳与单位圆交于点B(x,y),若4tana =-,则x=()3A. 06B. 08C. -0.6D. -08【答案】B4【分析】已知角a的终边/打即'；丽交点A(0.6,加),JLtana = -,利用三角函

16、数的疋义，求出m = -0.8.得出A(0.6,-0-8)在第四象限，/绕原点逆时针旋转扌与单位圆交于点B(x,y), 可知点B(x,刃在第像限，则ZBOx = | + a, Pi利用三角函数的龙义和诱导公式进行化简计負.即町求 岀的值.z 、4【详解】解：已知角a的终边/打单位鬪交于点A(0.6,/n),且tana = -,m 40.63所以A(06-08)任第四象限，角Q为第四象限你贝ij tan a = 一=-解得：/n = -0.8 ,/绕原点逆时针旋转y ' j 'A位陨I交于点Bg),可知点B(x,y)在第像限，则ZBOx = | + tz,所以 cos /.BOx

17、 = cos解得：x = 0.8.故选：B.【点睛】本题考査单位圆中任意角的三角函数的定义的应用以及运用诱导公式化简，考査让算能力.二、填空题5. （2020-上海交通大学附属中学浦东实验髙中髙三期中）在半径为2米的圆形弯道中，字角所对应的弯道 o为【答案】y【分析】根据扇形的弧长公式，即可求解.【详解】由题意，根据扇形的弧长公式，可得所对应的勺二><2 =字.63故答案为：y.62。上海市五爱高级中学高三期中）若加的终边经过点PZ2）,则吨-沪【答案】-【分析】由三角函数的泄义求出COSQ的值，由诱导公式即可得结果.【详解】因为角a的终边经过点卩（一5,12）,所以cosa =一

18、5J(-5)'+122213 *所以si吩T = w =寻故答案为：一咅7z7. （2020上海市奉贤区曙光中学高三期中）已知sina + cosa =，贝ijtana= .177【答案】歩8【分析】根据已知条件求得sin a,cos a的值，由此求得tana的值.【详解】依题意sina + cosa = ,两边T方得l + 2sinacosa =492892 sin a cos a =一叫0,289而aw(0,/r),所以sina>0,cosa<0,所以sin a-cosa=V( sina -cosa)=Jl-2 sin a cos a =23178177 sin a +

19、 cos a = 一23 解得 sin a = ,cosa = sin a-cosa =17宀sin a 1515Jjh以 tana = 故答案为：cosa88【点睹】sin a ± cos a, sin a cos a ）nc It；中一个，可通过同角三角函数的浪彳1 d I外两个，仪求解过程中要注意角的范用.8. （2020上海市进才中学高三期中）在厶ABC中，tanA = l, tanB = 2,贝iJtanC=【答案】3【分析】由己知和1沏和角公式求得tan（A+B）,再利用H角形的内角和公式和诱孑介式可得答案.【详解】a ABC 中，有 A+B+C = 71,所以 tan

20、C = tan(A+B) = - tan (A+B),tan (/1+B)=tan A+ tan B1 一 tan A tan B1+21-1x2=一3，所以 tan C = 3 >故答案为：3.三. 解答题9. （2020上海大学附属中学高三三模）九章算术是我国古代数学成就的杰出代表苴中方出章给出 讣算弧田而积所用的经验公式为：弧田而积=1 （弦'矢+矢2）弧田（如图），由圆弧和其所对弦所I洞成，公2式中“弦“指圆弧所对弦长，“矢"等于半径长与圆心到弦的距离之差.2/T按照上述经验公式计算所得弧出而积与其实际而积之间存在误差现有圆心角为=,弦长等于9米的弧出.3（1）

21、计算弧田的实际面积;（2）按照九章算术中弧出而枳的经验公式讣算所得结果与（1）中计算的弧田实际而积相差多少平方米？(结果保留两位小数) 【答案】(1)9兀一士§()：(2)少1.52/.4试题分析:本题比较简单，就是利用扇形而积公式s = 2Ir = -ad来计算弧田面积，弧田而积等于扇形 2 2面积一讨应2角形面积.(2)由弧田面积的经验计算公式计算面积与实际而枳相减即得.试题解析：扇形半径r=3抵扇形而积等于扣y哼p州®灿而枳冷宀孑一匕眈壬(nv)34(2)圆心到载的距离等玲，所以矢长为苏按照上述弧田面式存弦处矢2)中畔碍)弓(屈4乎如和®平方米按照弧田而积经

22、验公式汁算结果比实际少152平米. 考点：(1)扇形而积公式:(2)MFH而积的经脸计算公式.10. (2020-上海市南洋模范中学髙三期中)已知函数y = /(x), xea,b的图像为曲线G两端点为A(a,/), B(bJ(b» ,点M(x0,y0)为线段AB上的一点，其中勺=叱1儿=土!二勺凹1 + /t1 + /t点P,。均在曲线C上，且点P的横坐标等于心，点Q的纵坐标为儿(1) 设/(x) = sinx,xe0,2 = 3,求点 P, 0 的坐标；(2) 设/(x) = l,xei 2,求MPQ的而积的最大值及相应几的值.x 2【答案】(I)darcsin 班，墮8 8:(

23、2) 2 = 1时，最大值为81800【分析】(1)./(x) = sinxm 0，于,2 = 3,由题设知a = b = ,进而算出心儿，再代入函数中求出点P的纵坐标，点0的横坐标，即可求岀点几Q的坐标.1 + 22 2 + 1/1 22+2 + 19由朋IP，得rt = l,Z? = 2,x0 =厶* + 222 + ”册卩|=儿_丄,吨1=人)_丄卞才“°儿 S R仏MPQ11 )1)11 和X2儿一一 勺丿rd=23o + _2So,再用换元法和基本不等= lxlA/Plx|M(2| =，几=3 其两端点为/(«),式求最值.【详解】(1)V /(x) = sinx

24、,xe 0,-*0 + 3><二 下 sin0 + 3sir)Ma = b = y = -=-,y0 =*则点P的纵坐标吨"点卫的横坐标si“芈,“a罰也8. n( 3羽3血.X j , 1 , Q iircsin、:、 8 8'2 ' v/Gv) = -,xeX1丄+ 222 + -A21 + A沪由工一匕S° +>o又勺儿=X_分1 + 2 1 + 2乂儿>0, .吋+ 2",o<2+1+2 4, 21<1 +9一一<（.-,i.lLfX',U = llbt取等），即2 +丄+ 2 1625&#

25、39;花，. I S Ri 4PQ =下而证y = x +丄在1,2516上是递增函数,且州 <乞，则%一为=西+ 一一工+丄_（召-召）（牡-1）2 x一召一乳2<0,再兀2一1>°，）' <儿，即y = X+丄在h2516上是递增函数,81800=务时,y取最大值!16 2艺+41625v 16丿 Q 1/.2 = L的最大值为800【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件:（1） “一正二左三相等” “一正”就是各项必须为正数;（2） “二左”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求枳的最大值，则必须

26、把构 成积的因式的和转化成怎值;（3）“三相等"是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是 所求的最值，这也是最容易发生错误的地方11. （2020-上海市建平中学髙三月考）某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按丽方向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在0处成功拦截机 骼人甲若点0在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败已知43 = 18米，E为AB 中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记丽与西的夹角为&（1）若o =

27、-, AQ足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？3（2）如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论&的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？【答案】（1）机器人乙按lJAB的夹角为arccos亜的角度释放才能挑战成功：（2）宽AD至少为6米.4【分析】（1）由题意可知AQ = 2EQ,设EQ = x,则AQ = 2x,利川余弦足理可求得x的值，进而利用 余眩宦理町求得cosq的值，由此町求得结果：Y 9（2）设EQ = x,则AQ = 2EQ = 2x.利川余弦定理以及诱导公式吋求得cos& = ：叭|算

28、出6 2xxsin& = 411 （x245）2+36,求得兀站&的最大值，可得出,进而町得出结论.【详解】（1）山于机器人乙的速度是机器人屮的速度的2倍，故AQ = 2EQ9设 EQ = x , ZQAB = a,易知 xg(3,9),2x9xx由余弦定理可得cos（”0）= cos扌”=b+疋一（）.整理得7“解得“丁 答：机器人乙按与AB的夹角为arccos的角度释放才能挑战成功:cos a =92+(2x)2-x22x9x2x12 4x 444(2)设EQ = x.则AQ = 2EQ = 2xf 易知xw(3,9),由余弦定理 1 *J f'j cos ( /T

29、 & ) = _ U = L COS e =-'7 2x9xx 2x 66 2x由题意得AD>xsm0对i E意x w（3,9）恒成立,故AD>（xsin（9）nm =6,当且仅当x = 3卡时取到等号.答：矩形区域ABCD的贾4D至少为6米时，才能确保无论&的值为多少总可以通过设置机器人乙的释 放角度使机器人乙在拒形区域ABCD内成功拦截机器人甲.（5）3 xwR,且丿亍匕【点睛】本题考查解三角形的综合应用，考査余弦宦理、反三角以及二次函数基本性质的应用，考查计算 能力，属于中等题.12. （2020-上海市南洋模范中学高三期中）已知函数/（x） = As

30、in x +合（1）求川的值：（2）若/（&） + /（_&）弓 &十冷），求/（討_&【答案】（1）A =省；（2）匣.4【分析】（1）将兀=菩代入函数f（x）的解析式求出A的值:z 、3(2)先利用已知条件/(&) + /(_&) = 沾侖两角和打左的止弦公式求出&的某个三角函数值，然后将 22手-&代入函数/(X)的解析式，龙诱导公式对/(討-&)进行化简，最后利用同角三角函数的基木关系求出/5 、丫 5龙2龙.（711 =A sin=Asin=Asin112 >+兀3扌兀的值.【详解】(1)所以A = JJ，

31、巧sin + fj；/（0）+ /（-0）= VJsin7C馆（sin 0 cos 彳 +cos & sin4>（-sin &cos 彳 + cos sin=>/3sin（7r-0） = y/sinO =y/3 sin+ U 丿LU74.【点睛】本题考査诱导公式、同角三角函数的基本关系以及两角和的三角函数，综合考査三角函数的求值 问题，属于中等题.莎法技巧-1. 在利用三角函数定狡时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点.IOPI =r 一定是正值.2. 在解决简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是体现数学直观想象核心素养.3. 同角三角函数基

32、本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角 函数的求值、化简和证明.sin x4三角函数求值、化简的常用方法：(1)弦切互化法：主要利用公式tanx=进行切化弦或弦 cos X化切,“sin x+bcos x csinx+Jcosxi/sin2r+/?sinxcos x+ccos2x等类型可进行弦化切.(2) 和积转换法：如利用(sin 0±cos 0)2= l±2sin 0cos 0的关系进行变形、转化.(3) 巧用"1”的变换：1 =sin20+cos20=cos2(l +tan2)=sin2(l +j2)=tan 中等.5.重视三角函

33、数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角；(2)变名：尽可能减少函数名称；(3)变式： 对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.6在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式 中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.好目音三角函数的图像及其性质一、单选题1. (2020上海高三一模)下列函数中，值域为(0,+8)的是()A. y = 2rB. y =C. y = nxD. J = cosx【答案】A【分析】由指数函数，帚函数，对数函数及余弦函数的性质直接得解.【详解】解：选项A. y = 2r

34、的值械为(0,+oo),选项B.的值域为°，*0),选项C. >' = lnx的值域为R,选项D y = cosx的值域为故选：A.【点睛】本题考査常见函数的值域，属于简单题.2. (2020上海南汇中学髙三期中)已知函数/(x) = sin2x + cos2x-/H在上有两个零点几血，则tan%,+X2的值为()2A. 3B.並2【答案】D【分析】化简/(x) = 2sin 2x +彳-m ,可得2x + -e o,利用函数零点的对称性可得2xl+- + 2x,+- = 2x- = ,即可求得易+£=兰，进而求出tan的值.66232【详解】/(x) = 2

35、sin 2x+-m ,因为OS誇,所以十2“彳晋,因为 /(x) = 2sinf 2x4-上有两个零点几兀所以 2x.+ + 2x1+ = 2x = 7r6 - 6 2'丿以X +兀=,"，Utan4=tanrT故选：D【点I佛】本题考査了辅助角公式，考査了三角函数的图象与性质，着重考查了函数的零点，求得比+兀最 关键.属于中档题.3. （2020上海崇明区高三一模）若不等式（卜"|"）sin”x + f卜0对g-1,1上恒成立，贝a + h =（ ）2 5A. B. C. 1D. 23 6【答案】B【分析】将不等式（卜询）sin| zrr+石0 ff&#

36、39;i：两个因式，|x1/|Z? sin兀x ,先讨论sin 7rx + 6丿的正负，确左对应区间.再对x-a-b的正负进行判确定在交汇处取到等号，进而求【详解】解析：法一:山题意可知：当xwo o1 5xe 一一，一6 6sin7TX + 6x-a-b<0 9 当xw _1,5a b = 06 即有a /? = 06£3丄2=>« + /? = 6法二ill sin 7TX + 6丿>0,当 xw故选B：5 a b = 06=><1a b = 0_6一右图像可得：显然有1a =-.3;5t 162x-a-b>0 97TSin 7TX

37、+ 6<0,故当故选B【点睹】本题考査双变疑不等式中参数的求解问题，通过分段讨论确定交汇点是解题关键，方法二采用数 形结合的方式进一步对方法一作了补充说明，建议将两种方法对比研究二、填空题4. （2020上海市进才中学髙三期中）已知泄义在上的函数/（x） = cosx-sinx是减函数，其中6/>0,则当“取最大值时，/（X）的值域是【答案】【分析】先求出函数单调减区间的一般形式，根据函数在-d,d的单训怦可得九沐=扌，利用整体法可求 当d取最大值时 m的值域.【详解】f (x) = cosx-sinx = ->/2sin x 2k7r-<x- < 2k7r +

38、.k eZ ,则2k;r- <x<2k7r + .k eZ , 24244故/（X）的减区间为2«兀一彳,2炽+手、keZ , 由题设町得-呦为2炽一彳，23 +乎,keZ的子集,故R=0且彳、 龙-6Z > -43兀a <4a >07T4JT71当 一一 < A < -时,44<%- <0,故OSsin X- <f2 .244 J故/（X）的值域为故答案为：。,、任.【点睛】关键点点睛：正弦型函数在给定范国（含参数）上的单调性可由单调区间的一般形式得到参数满足的条件，这是解决此类问题的通法.5. （2020上海市三林中学髙

39、三期中）已知/（x） = “sin（;rx + a） + bcosGTx-0） + l，其中Q ,卩，5 b均为非零实数，若/(2020) = 2,则/(2021)=【答案】0【分析】由题设条件结合周期性及诱导公式运算即可得解.【详解】由题总，/(2020) = asin(2020龙+a)+bcos(2020r-/3) + = asina+bcos(-0) +1=a sina + cos0 + l = 2,所以“sina + Z?cos0 = l,所以/ (2021) = « sin(202 l/r+a)+/?cos(2021/r 一 0) +1= "sin(7r + a)

40、+bcos(/r-0) + l = -asina-b cos p +1 =-1 + 1=0.故答案为：0.6. （2020-上海杨浦区髙三期中）若分段函数f（x）=<3sin2x2v-3x<0x>0,将函数y = |/(x)-/(d)|, xemji的最大值记作川，那么当-2<m<2时，Z2mjn + 4的取值范禺是【答案】4,60【分析】求出f(2),作出函数/力的图象，然后对M分类求得Z2m , m + 4的显犬值，则答案可求. 、3sin2x,坯0 , Q【详解】由心2小2°，得/=1，则 y =if(x)-f (a) H/(x)-ll,作出函数/

41、(x)的图象如图所示：当-2/< 1 时，I/(x)-11_ =i(-3)-11=4；当加 >一1 时，加+4>3, 2"23-1=2'小一4>4,二当-1 < m2 时,Zam , w + 4 = 2m+4-4,则Z2m , m + 4的最大值为26-4 = 60 .故Z肿，用+ 4的取值范用是4, 60,故答案为：【4, 60,【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键:其一是能准确画出函数g的图象:其二是求出-2<”0-1、-1 <"02的最大值.数形纟吉介是一种重要的数学思想，要灵活运用.三、解答题7. (2020上海高三

42、一模)设d 为常数，函数 f(x) = a sin 2x + cos(2 -2x) + 1 (xwR)(1) 设a = 3,求函数y = /(兀)的单调递增区间及频率/：(2) 若函数y = /(兀)为偶函数，求此函数的值域.【答案】(1)增区间为+频率丄：(2) 0.236兀【析】 =化欣到/(x) = 2sin(2x + ) + L结介三角函数的图象M.归即可求解：6(2)由函数y = f(x)为偶函数，得到对于任惫的xeR,均W f(-x) = f(x)成立，进而求得a = Q，即 可求得函数的值域.【详解】(1)当a = 3时,函数/(x) = >/3sin2x+cos2x +1

43、 = 2sin(2x + ) +1,6令 2k-<2x + < 2k7r + .k eZ t 得 k7r-<x<k7r + ,keZ ,26236所以此函数的单调递增区间为+3 6又由函数的/(x)的最小正周期为T 弋=”、所以/ =y = .(2)由题意，函数/(X)定义域/?因为函数y = /(X)为偶函数，所以对于任意的XWR，均有/(-A-) = /(X)成立，即asin(-2x) + cos(-2a) + l = asin2x + cos2x+ ,即2asin2x = 0对于任总实数x均成立，只有“ =0,此时/(x) = cos2x + l,因为一 1<

44、;cos2x<1 ,所以0<l+cos2x<2,故此函数的值域为【0,2.【点睛】解答三角函数的性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为v = Asin(wx+(p)的形式：2、熟练应用三角函数的图象与性质(单调性、奇偶性、周期、对称轴(中心)最值等)，结介整体代换的 方法，列出方程求解：8. (2020上海市五爱高级中学高三期中)已知函数/(a) = 2>/3sinxcosx4-sin2 x-cos2 x.(1) 求/'(x)的最小正周期和单调递减区间；(2) 在ABC中，角A、B、C所对的边分别为b、c,若/(B) = 2, b =且d +

45、 c = 4,求A ABC的而积S.【答案】(1)T = 7T t kjt、(2：136 丿4【分析】根据二倍角公式和辅助角公式，化简/(x) = 2sin(2x-計山札v.T =同即町求岀最小止周期，利用整体法和结合正弦函数的递减区间，即可求出函数的单调递减区间：（2）由=代入函数解析式即可求出B = 再利用余弦宦理即可求出”的值，最后利用三角形的而积公式，即可求出aABC的面积S 【详解】解：（1） f（X）= 2>/3sinxcosx+sin2x-cos2x =sin 2x - cos 2x = 2 sin 2x -才即 /(-x-) = 2sini所以/'（x）的最小正周

46、期为:+ k(k eZ),3冗、n ,5龙+ 2k7C + K7T<X< 236所以/（a）的单调递减区间为（彳+比龙,寻+ R;r(2)由/(B) = 2sin2B- = 2,有sin2B 彳卜1, .Be(O,7r),2B-学，O O O /Z. 2B- = -.解得：B 亠623:.由余弦定理b2 =a2 + c2 - 2accosB -I- b2 = （a + c - 2ac - 2«ccos B *可得7 = 42-2ac-2acx-9 即7 = 16 36”，2解得：ac = 3 »/. A ABC W5 = L/csinB =丄x3x 二空.222

47、4【点睛】关键点点睛：本题考査利用三角恒等变换化简函数解析式，涉及到二倍角公式和辅助角公式的应 用，考査正弦型函数的最小正周期和单调区间，解题的关键在于正弦函数的图象和性质的应用，以及利用 整体法求单调区间，还考査余弦左理以及三角形而积公式.9. (2020上海市新场中学髙三月考)已知复数z, = 2sinz2 = 1 + (2cos6>)z0e0,7t(1) 若Zz2eR9求角0：(2) 复数对应的向量分别是OZ；,OZ；,其中。为坐标原点，求昭瓦的取值范囤.【答案】(1)0 = -0 = -, (2)一2点463L【分析】(1)由题意可得： z2 = (2sine +2cos6>

48、;)+(4sinOcosO-y/3)i, Hl可得：4sin0cos&-/ = 0，即可得解：(2)由题意可得CN = (2sinGJ5)，石= (l,2cos&), OZfOZl = 2 sin 0 - 2忑cos <9 = 4sin <9 -彳)根拯 0 e 0,刃，即可得解.【详解】(1)由 q=2sin&划,Z2=1+(2cos6%&w0,k,叮得 Z| z2 = 2sin 0+(4sin &cos 0)i-(2 cos 0)i2=2 sin +2>/3 cos + (4 sin 0 cos 0 - >/3)/,i 11

49、z2 e 7?,可彳辱：4sin0cos0->/J = O，所以sin2& =逅，所以8 = 2或& = £：263(2)由题意可得OZ； = (2sinGJJ)，OZ2 =(1,2cos6>)OZOZ、=2sin0-2>cos& = 4sin 0- j由0,-1,所以一-,l 333所以- 2>/3<4sin(<9-|)<4, 所以OZ；.OZ；的取值范用为-25/3,4.【点睛】本题考了复数的乘枳运算，以及对实数的虚部为0的考査，同时考查了求三角函数的取值范国和辅助角公式的应用，属于基础题.、聲法技巧-1. 讨论三

50、角函数性质，应先把函数式化成y=Asin（ex+e）（e>0）的形式.2. 对于函数的性质（定戈域、值域、单调性、对称性、最值等）可以通过换元的方法令,=ox+y, 将其转化为研究y=sin /（或y=cos f）的性质.3. 数形结合是本节的重要数学思想.4. 五点法作图及图象变换问题（1）五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；（2）图象变换吋的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角cox+（p的变化.5. 由图象确定函数解析式解决由函数y=Asin（cox+（p）的图象确定A, 3,卩的问题时，常常以“五点法”中的五个点作 为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”

51、和第二个“零点”的位置.要善于抓住特 殊量和特殊点.目養解三角形一、单选题1. （2020上海虹口区高三一模）在aABC中，若ABBC + AB2=0则 ABC的形状一定是（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【答案】B【分析】先利用数量积运算化简得到gccosB = c2,再利用余弦定理化简得解.【详解】因为 AB BC + AB =0 所以accos（-B）+c2 = 0,所以 ac cos B = c?，所以 ac x +（ = c2»2ac所以b2+c2=a2所以三角形是直角三角形.故选：B【点睛】方法点睛：判断三角形的形状，常用的方法有：（1）边化

52、角：（2）角化边.在边角互化时常利用正弦宦理和余弦左理.2. （2020-上海徐汇区位弃中学高三月考）在锐角ABC中，ZA = 2ZB，zB、ZC的对边长分别是/?、c, 则一0的取值范围是（）b + cfi nc (11)fi nA.,4-03<4丿B.h'2)c- U5；D.Jy2>【答案】D【分析】确定B的范屁利用正弦左理化简表达式，求出范阳即可.【详解】在锐角ABC 中 ZA = 2ZB, vO<A<-.0<C<-. ZBe(30°,45°2 2 'cosB e(昇)而 sin C = sin (兀一 A B) =

53、 sin (龙一 3B) = sin 3B ,sin3B = sin(B+2B) = sin Bcos2B+cosBsin2B = sin B(2cos2 B-1)+2sin Bcos2 B ,所以sin 3B = 4cos2 BsinB-sin 3 = 4(l-sin B)sinB-sin B = 3sinB-4sin ' B, 所以由正弦泄理可sin B1_sinB + 3sinB-4sin、B 4cos2 B故选：Dbsin Bsin B.jj；=b + c sin B + sinC sin B + sin( - 33)【点睛】本题考查正弦怎理在解三角形中的应用,注意锐角三角形中角的范用的确左，是本题解答的关键，考查 计算能力，逻辑推理能力,属于中档题.二、填空题3. （2020-上海闵行区髙三一模）已知平而向量对任意实数人都有b-ta>b-a , b-tc >b-c成立.若|"| = 3,円=2, a-c =1 ,则乙=.【答案】迺3【分析】役方