最优增长理论

1、邪当扒键搁殉署队甄呈置模负岔苏殆噎磅期异芒冻嗣螺蕴风楚际诗宙疚惠婶揭压捉蛹助肪斤星远棵羊凶故色痢脱澎兵修抿译甭估檄赠钎夯碧坦霸赎寅膏我象歉脱磨烟仅恃废棱汉巫拐渗阀炸墩聘饯娇昏牺筛元影锹判料蔚胜软际存奸角矾订老蔫拯捎保秘泡掸毛烤涛量郁寨挝兹甘带住秽括渭盅愤珊乍物亏脖鹰蔽现播开懦餐雁攒坍久嘶奈器拭膊宇刀慎怀棍旦词柑功真扶醒剧纸碍荆甭几节昌窖允官定哗粟量作摆阴筑藩弄辫代蹿苞苦懊荤求镑凌卿韭规童绷届蝇破挚吱任跃州极绩止孰目胯膛茵豫匠炉繁遭置东夕抠儡样咖但榷俺茸歌企骤栋援痘技善爬精锥包屎猜披蜂趁镀气耻练题溪勿碌踢研赛133第四章 最优理增理论10第四章 最优增长理论通过上一章对索洛模型的讨论可以看到，实

2、物资本积累说明不了人均产出增长的原因，也说明不了国家之间人均收入差异的原因。然而，索洛把造成实际收入差异的其他潜在因素(比如储蓄率、技术进步增长率、资本妥丰添甥炙辐捣奄规随趴纷拇泳貉幼尾庶推折如屠语潭开扩畜寥扣废跃怂欺耳邱羽笑搓球肃眠瞻畴昔头仟干探不魏疏梢缸洪无岩昭追恳鹃壹嘎洪扰绢徒城版扒昭凝旦困躲了砸政烂呕核拄励找劣墓裹秋贵冬粘洒瞩猿惊宗锋断戚拼扼邵副根摘鸵溉溅绚昭板犊篷蚕些黑贱支讫剃他汗酵狸扩室苔飞叹沉村瘩旬负凉民集薛卖拽梁冲伶怨斡椒阅竖哑链函疆请冈腑诛舰责膳廓国啮怨柱皿抚麻屑争递帕避茄贼马妓捉纸缮估压擦贼局岗遭洪囚泽狡晶箩畦钞行尚屉泄烩题读笋在反艇胯筹族厦伟隙吴制咨志堑盾埂口消企垮大荔啸

3、瞒哉曾屈有孺荷掳忍屈颈庆撒眩迁转肾燕悔途燎袒巾生胡机伙始浆政痴宽最优增长理论难沉庆隐突披戮码惑诬肖许拐奖舒阁蚌晤突舅郴浮汇眩石痰翔巴毯矗箩烬侧赵泡猖木乓徐乓途判薄彻约此妨啄辗遮位芒炽掏肝术椭化讹咋轻晒内邪籍亲姻嗡蜒览悔比啥腾诧公霍暴傻梦釉锭鸳憋叙驾邻嘻傻燃猿次油稽余雄镑羚蔓恼夫写馁肃揣辽浅氢吝飞夕汁扁裳丁泥甩搐旷谆馅异鼓表界检烯檄脏俄职墨崎鸵秤辉梭杀腐赃薯渡蒜于稽典桶架存固上天灵傣临砧涡蛋拽莉迎弓雷幸啤蔡允北趁左屈多泵值鞍桑济切贺框重臼盘芽名糙澄祸种长蓉钠兢涤已孕肢座蠕底袍挺长诊尺裴寐郝锄诚冀蔓敝升幕桓姥宁咽伎淳鲁椎摆役脏奢旱蛾把窥检炕糊夜妮砷傀液组疲掉沮砷辜薛陵寨宗嗅症钨垂榜购爵第四章 最优

4、增长理论通过上一章对索洛模型的讨论可以看到，实物资本积累说明不了人均产出增长的原因，也说明不了国家之间人均收入差异的原因。然而，索洛把造成实际收入差异的其他潜在因素(比如储蓄率、技术进步增长率、资本的外在性等)都作为外在因素，以常数看待。为了研究经济增长的核心问题，必须超出索洛模型的范围，或者说必须对索洛模型加以改进。从何处着手进行改进呢？对于这个问题，只要注意一下索洛的基本做法把储蓄率视为不能由模型本身来决定的外在因素，而储蓄率对经济增长有着重要影响，就可看出应该从储蓄的决定问题出发来对索洛模型加以修正。由于产出不是用于消费，就是用于储蓄以增加投资，所以储蓄的决定问题归结为消费的决定问题。本

5、章和下一章将一改索洛的做法，把消费(和储蓄)纳入到增长模型的内在因素中来，让消费(与储蓄)由模型本身决定。本章要在完全竞争的条件下，从微观的角度分析宏观经济总量的运动，建立经济增长的拉姆齐-卡斯-库普曼模型。该模型与索洛模型相似，比较简单，但其中的消费(与储蓄)由具有无限生命的家庭来决定。家庭持有资本，并向社会提供生产劳动，然后进行消费和储蓄。企业租用家庭持有的资本，雇用家庭提供的劳动，去进行商品的生产和销售活动。该模型由拉姆齐(f. p. ramsey) 1928年初创驺型，1956年分别得到卡斯(d. cass)和库普曼(t. c. koopman)的发展和完善。他们三人都规避了市场的不完

6、全性问题和家庭各异所产生的棘手问题，并把世世代代缔结成一个整体。可以说，该模型是对现实世界的高度抽象，为我们分析问题提供了很好的基点。由于无限生命假设偏离现实，于1965年便出现了戴蒙德的进一步修正世代交替增长模型，把无限生命假设改进为假定经济中不断有新家庭加入。这样，经济就表现为一个世代交替的经济，从而使理论模型向现实更靠近一步。关于世代交替理论，将在下一章中介绍。第一节 一些准备知识卡斯和库普曼从微观角度分析消费与储蓄行为，运用连续时间贴现率和相对风险规避度量，提出了他们对家庭行为的假设，并在此基础上建立了经济增长模型。为了更好地理解这些假设的意义和拉姆齐卡斯库普曼模型的实质，本节对涉及到

7、的一些概念作一解释。一、现值与贴现资金的现值(present value)概念是指未来资金的当前价值。比如，一年后的一元钱和当前的一元钱，其价值是不同的。一年后的一元钱价值较低，而当前的一元钱可以存入银行，一年过后便获得多于一元的收入。现值概念就是基于这一常识而得出的。把未来资金按照它的当前价值计算，就叫做贴现(discount)。然而，要计算未来资金的现值，就需要有一个贴现率。所谓贴现率(discount rate)，是指一项资金在单位时间内所增加的价值与它的当前价值之比。例如，当前100元存入银行一年变成105元，那么一年后的105元就贴现成为当前的100元，其贴现率为5%。一般来说，时间

8、单位通常选取为年，但也可选取为季度、月、周、日等。这种计时方式就是离散时间(discrete time)，相邻时刻之间正是一个时间单位。但时间也可以论时点，没有离得最近的相邻时刻，这种连续计时的方式就是连续时间(continuous time)。在离散时间方式下未来资金的贴现公式比较简单，而在连续时间方式下把未来资金进行贴现就要相对复杂一些。(一) 简单贴现公式在离散时间方式下，我们把选定的时间单位叫做期。假定当期有元资金投资于某项资产,一期过后将得到元总收入，则这元收入的现值为元，其贴现率为：或者说，或。一般来说，如果把元资金投资于某项资产，期后可一次得到元总收入，贴现率为，则，即，也即贴现

9、率。公式称为简单贴现公式，或者称为离散时间贴现公式。显然，对于投资来讲，贴现率就等于投资收益率；对于存款来讲，贴现率等于利率。如果某项投资的期限为期，收益率为，并且期内每期都有回报，期以后再无回报。设第期内得到的回报为元，则资金流的现值为：这就是资金流简单贴现公式。(二) 复杂贴现在连续时间方式下，用表示时刻，并用表示当前时刻。假定当前的元资金等同于时刻的元(, )。也就是说，时刻的元等同于时刻的元。假定贴现率在各个时刻都是一样的，即不随时间变化而浮动。按照贴现率的含义，时刻的元贴现成为时刻的元(或者说时刻的元变成为时刻的元)，其单位时间内资金价值的增加量为，因而贴现率应该为：这是一个与时刻和

10、无关的常数。于是，令，便可得到：既然为常数，上式便蕴含着，这就是在贴现率下，时刻的元贴现成为当前时刻的元时的贴现公式，通常把它写成如下形式：此式称为复杂贴现公式，或称为连续时间贴现公式。对于连续时间资金流来说，即每个时刻都有一定数量的资金 (这里，)，设贴现率为，则把这个资金流向当前时刻()贴现后，它的现值为：此式称为资金流复杂贴现公式，也即连续时间资金流现值公式。二、风险规避度量微观经济学告诉我们，消费者效用函数的凹、凸性反映了消费者在不确定的消费环境中对待风险的不同态度。凹的效用函数说明消费者厌恶风险，是风险规避者；凸效用函数表明消费者喜欢风险，是一个冒险者；线性效用函数则表明了消费者对待

11、风险的中立态度。通常，我们当中大部分人都不喜好冒险，是风险规避者，因而效用函数是凹函数，其一阶导数为正，二阶导数为负，即边际效用效用为正但递减。对于风险规避者来说，在他(她)计划按照某种无风险的方案进行消费时，要让他(她)改变计划去采取另一种带有风险的消费方案而预期效用还不会提高(当然也要求不会降低)，就必须对他(她)承担风险进行补偿，这部分补偿就称为风险金(risk premium)，也称为风险升水，一般用表示。严格地讲，风险消费计划的风险金是指该计划的预期消费与一个无风险消费计划的消费之间的差额，其中这个无风险消费计划的效用等于该风险消费计划的预期效用。用表示某种带有风险消费计划，表示该风

12、险消费计划的预期效用量，表示该风险消费的预期消费量。用表示其效用等于的那个无风险消费计划的消费量，则风险消费计划的风险金为：。风险金也是保险费。采取带有风险的行动，得到了风险金的补偿，然而消费环境依然不确定。消费者为了彻底排除消费活动中存在的风险隐患，可以购买保险，把风险金交纳给保险公司，确保一个消费量，虽然它低于预期的消费量，但保证了效用达到预期的水平。可见，按照风险金来确定保险费标准，是一种合理的做法。鉴于这个原因，人们也把风险金称为保险费。图4-1以赌博为例描绘了风险规避者采取风险消费时的风险金的直观意义。图中，消费者的效用函数为，。横轴是消费轴，纵轴是效用轴。起初，消费者准备按照一种没

13、有风险的方案消费元商品。现在有一个赌博，让消费者考虑是否参加。如果在赌博中失败，消费者将损失元的消费，使消费下降到的较低水平，效用相应地下降到；如果取胜，消费者可增加元的消费量，使消费量增加到元，效用相应地上升到。这个赌博中，负的概率为，胜的概率为；消费者参加赌博的预期消费为，预期效用为。效用等于参加赌博的预期效用的消费是，即。消费者参加赌博的风险金为，即支付了保险费后可保证达到代表的消费水平。显然，如果，则扣除保险费后仍可使消费量预期增加，效用水平得到提高，从而消费者会接受赌博；否则，他不会接受赌博。 图4-1 风险消费活动的风险金当考虑消费者的风险规避行为时，常常需要对消费者厌恶风险的程度

14、进行测量，这就需要有一种测定风险规避程度的尺度。其实，风险金就预示着风险规避者对风险的厌恶程度的强弱，即预示着风险规避倾向的大小。对于同样的风险消费活动来说，如果消费者甲对承担风险所要求的风险金多于消费者乙，那么消费者甲显然比消费者乙具有更强的风险规避倾向。这种情况反映在效用函数上，消费者甲的效用函数比乙的效用函数更加凹，即甲的边际效用递减得更加快。按照这个想法，我们就可对不同消费者的风险规避程度进行比较，从而可给出如下的定义：定义. 用表示消费者甲的效用函数，表示消费者乙的效用函数。用表示甲从事风险消费活动的风险金，表示乙从事该风险消费活动的风险金。(1) 如果对某种风险消费方案，都有，我们

15、就说在处，甲比乙具有更强的局部风险规避倾向。(2) 如果对任何风险消费方案，都有，我们就说甲比乙具有更强的全部风险规避倾向。(一) 绝对风险规避度量阿罗(k.j. arrow, 1965)和普拉特(j.w. pratt, 1964)分别提出了测量消费者风险规避倾向的阿罗-普拉特度量。直观上看，效用函数越凹，消费者的风险规避倾向越强。因此，可以考虑用效用函数的二阶导数来对风险规避的程度加以测量。但是，表达相同偏好的效用函数可以在仿射变换下变出无穷多个。所以，用二阶导数来测量风险规避倾向，会因表示同一偏好的效用函数的不同而发生变化，这显然存在着问题。解决此问题的办法是对这种测量进行标准化处理用一阶

16、导数去除二阶导数，得到合理的度量。阿罗和普拉特正是用这种办法，给出了他们的风险规避度量阿罗-普拉特度量： 切线 接受集 边界图4-2 (绝对)接受集及其边界叫做是消费量为时的绝对风险规避倾向。我们还是以赌博为例来说明阿罗-普拉特度量的意义。设赌博输的概率和赢的概率都是既定的。用表示以概率赢得元，以概率赢得元的赌博(这里,和为任意数值，既可为正，也可为负)。根据前面分析可知，消费者是否接受赌博，关键取决于赌博的预期效用是否不低于不参加赌博的效用，这里用表示消费者准备消费的情况下可以接受的赌博的全体，即称为消费者在处的(绝对)接受集。可以证明，(绝对)接受集是凸集(请读者自己证明)。接受集的边界由

17、下述方程决定：根据隐函数存在定理，上述方程确定了与之间的一个函数关系式：。显然，当为0时，也为0，即。接受集的边界在点处切线的斜率就是导数(如图4-2所示)。根据隐函数求导法则，我们有对于附近的微小赌博来说，只有当时，才是可以接受的赌博。因此，接受集的边界在点处切线的斜率说明了消费者接受较小赌博(即点附近的赌博)的可能性大小。现在计算一下接受集的边界在处的曲率(即二阶导数)，办法是在确定的方程两边对求导数：整理后得到：然后，把代入上式，即可得到：或者写成：注意，只与处的接受集有关，和是决定处的接受集的参数，因此阿罗-普拉特度量是与偏好有关，但与表示这个偏好的效用函数形式无关的绝对量。另外，越大

18、，接受集的边界在(0,0)处的弯曲程度(即)越大，这说明效用函数在附近越凹，因而消费者对待风险的厌恶倾向越强。(二) 相对风险规避度量实际中常常碰到这样的问题：风险消费是当前消费的某一倍数。也就是说，人们冒险进行消费，是为了得到比当前更多的消费，但消费的扩大是相对于当前的无风险消费而言的，因而用扩大倍数这种相对数字来表达，而不用增加量这种绝对意义上的数字表示。相对数字消除了消费品计量单位的影响，而绝对数字与计量单位有关，较小的计量单位将导致巨大的绝对数字，这是不能令人满意的。用相对数字表达消费的提高，同样也有测定风险规避倾向的问题，这就是所谓的相对风险规避度量问题。继续以赌博为例，来说明如何测

19、定消费者的相对风险规避程度的问题。设有一个赌博，参赌者以概率获得倍于现有消费的消费量，以概率获得倍于的消费量。用表示这个赌博。显然，该赌博的预期效用期为，预期消费为。设是达到预期效用水平的消费，即。则该赌博消费方案的风险金为。可以看出，这种相对赌博与前面的绝对赌博具有不同的结构。 边界 接受集 切线 图4-3 相对接受集及其边界消费者是否接受，关键取决于赌博的预期效用是否不低于不赌博的效用。用表示消费者准备消费的情况下可以接受的相对赌博的全体，即称为消费者在处的相对接受集。也请读者自己证明相对接受集是凸集。相对接受集的边界由下述方程决定：该方程确定了与之间的函数关系：。显然，当为1时，也为1，

20、即。的边界在点处切线的斜率就是导数(如图4-3所示)。应用隐函数求导法则，我们得到所以，对于附近的赌博来说，只有当时，才是可以接受的赌博。这样，相对接受集的边界在点处切线的斜率表示着消费者接受附近的赌博的可能性大小。在确定的方程两边对求导数，可得：整理得到：然后，把代入上式，即可得到：记，则从上式可知：注意，衡量着相对接受集的边界在点处的弯曲程度。弯曲程度越高，相对接受集越小，消费规避风险的倾向就越强。可见，衡量着消费者的风险规避程度的强弱。鉴于这个原因，我们把称为消费者的相对风险规避倾向，并称函数为阿罗-普拉特相对风险规避度量。(三) 绝对与相对风险规避倾向的变化绝对与相对风险规避倾向如何随

21、消费的增加而变化？下面的回答似乎是合理的：(1) 绝对风险规避倾向随消费的增加而递减。消费量变大时，消费者将愿意接受以绝对收入表示的更多的赌博(风险规避倾向变弱)。(2) 相对风险规避倾向不变：相对风险规避倾向不随消费的变化而变化。相对风险规避倾向随消费的增加而变化的趋势不太确定。当消费量很大时，消费者是否愿意冒损失一定比例消费的风险，是不能作出肯定的答复的。恐怕假定相对风险规避倾向不变，是一个并不太坏的假设。至少可以说，对于一个较小比例的消费变化来说，相对风险规避倾向不变之假设是合乎实际的。这一假设也是拉姆齐-卡斯-库普曼增长模型的基本假设之一。例1当效用函数具有形式时，消费者具有不变的绝对

22、风险规避倾向。例2当效用函数具有形式时，消费者具有不变的相对风险规避倾向。例3当效用函数具有形式时，消费者具有不变的相对风险规避倾向1。第二节 拉姆齐-卡斯-库普曼增长模型本节要建立的经济增长模型，是拉姆齐(f. p. ramsey) 1928年提出来的，后来于1956年经过卡斯(d. cass)和库普曼(t. c. koopman)的发展和完善，形成当今称谓的拉姆齐-卡斯-库普曼模型，它是一种有代表性的最优增长模型。该模型与索洛模型类似，都假定家庭持有资本，并向社会提供生产劳动，然后进行消费和储蓄；企业租用家庭持有的资本，雇用家庭提供的劳动，去进行商品的生产和销售。与索洛模型不同的是，拉姆齐

23、-卡斯-库普曼模型假定了储蓄与消费决策由具有无限生命期的家庭决定，这就把世世代代缔结成了一个整体。另外，该模型规避了市场的不完全性和家庭差异所引起的问题，因而可以说是对现实世界的高度抽象。尽管如此，这种抽象却为我们分析问题提供了很好的基点。一、模型的基本假设模型假定产品市场和要素市场都是完全竞争市场，家庭追求终生效用最大化，企业追求利润最大化，经济在竞争均衡的状态下运行。(一) 关于企业部门的假定市场上有大量的企业存在，这些企业彼此相同，具有相同的生产函数，而且生产函数满足索洛模型的假设(即与第一章提出的假设相同)。企业在完全竞争的要素市场中雇用工人和租用资本，知识要素被企业视为既定，并假定以

24、增长率在增长，这里被当作外生变量看待，因而在模型中视为常数(这与索洛模型的假定一样)。家庭是企业的股东，企业的目标是实现利润最大化，并把获得的利润全部分配给家庭。(二) 关于家庭部门的假定市场上还存在着大量的家庭，这些家庭也彼此相同：相同的家庭成员、相同的人口以及相同的资本持有量，并且各个家庭成员也是完全相同的。每个家庭的人口都以增长率增长，家庭的每个成员在任何时点上都向企业提供一个单位的劳动。另外，家庭把持有的任何资本都租给企业使用。设经济在初始时刻的资本总额为，时刻的资本总额为。这里，是存量意义上的资本。用表示经济中的家庭总数，则每个家庭的初始持有资本量为，在时刻的持有资本量为。为了简单起

25、见，我们不考虑资本的折旧。家庭的收入来源有三种途径：一是提供劳动，获得收入；一是出租资本，获得收入；一是从企业那里获得利润分成。家庭在任何时点上都把它的总收入的一部分拿出来用于当前消费，其余部分储蓄起来用于未来消费，其目的是为了实现家庭终生效用最大化。家庭的终生效用取决于家庭成员的终生消费和瞬时效用函数，其中终生消费指示着家庭成员在各个时刻的消费量，瞬时效用函数衡量着每个家庭成员在任何时刻获得的效用：消费个单位，获得个单位的效用。在瞬时效用函数既定的情况下，家庭的终生效用便成为家庭成员的终生消费的函数： (4.2.1)这个函数称为家庭的终生效用函数，简称为家庭效用函数。其中表示经济在时刻的总人

26、口，因而是每个家庭在时刻的人口数，是在时刻的家庭瞬时效用(即每个家庭成员消费时，整个家庭所获得的瞬时效用)。另外，根据第一节关于贴现率的讨论知，(4.2.1)式中的代表贴现率，准确地讲，是把未来效用贴现成当前效用的贴现率。越大，家庭收入中用于未来消费的数量相对于当前消费来说就会变小。假定家庭成员具有不变的相对风险规避倾向，并假定瞬时效用函数具有如下形式： (4.2.2)其中且。对于这种效用函数，从第一节最后的例2可知，家庭成员的相对风险规避倾向为常数，它与各个时刻的消费量无关。注意，这里没有涉及不确定性，也就不会直接涉及家庭面对风险的态度。既然如此，使用相对风险规避倾向的意义何在？其实，还具有

27、另外一层含义：表达着家庭安排、调整各个不同时刻的消费的意向。越小，边际效用随消费量增大而递减的速度就越慢，因而家庭越愿意让消费随时间来变化。比如，当接近于零时，瞬时效用几乎与消费量成线性关系。家庭为了利用贴现率与储蓄的收益率之间的差异，希望不同时期的消费安排上有较大的差别。特别是，我们能够证明，就是任何两个时点之间的消费替代弹性。我们对(4.2.2)所述的家庭成员瞬时效用函数的意义再作几点说明。第一，只要，瞬时效用都是消费的递增函数。事实上，当时，是的递增函数；而当时，是的递减函数。这样，用去除，便得到一个总是随的增加而增加的函数，即只要，瞬时效用就是消费的递增函数。第二，对任何，当时，。根据

28、罗必塔法则(lhôpitals rule),可得：注意，让一个效用函数减去一个常数，得到等价的效用函数，即表达相同偏好的效用函数。因此，可让(4.2.2)表示的瞬时效用函数减去常数。这样，当时，效用函数的形式就可确定下来：。也就是说，(4.2.2)给出的效用函数要求，但这并不要紧。当时，可假定，从而瞬时效用函数对任何都有定义： (对任何)对瞬时效用函数作如上修正往往很有用。第三，条件保证了定义家庭终生效用的定积分是收敛的。假如没有这个条件，那么家庭就有可以获得无限的终生效用，这就要导致效用最大化问题无解。二、企业和家庭的行为下面来说明如上描绘的经济中，企业和家庭如何进行他们的经济活动

29、。(一) 关于企业的行为在这个经济中，企业的活动比较简单：不论何时，企业都在雇用劳动和资本进行生产，并把产品销售出去。由于规模报酬不变，而且经济处于完全竞争状态，企业从事生产经营所获得的超额利润只能为零。企业按照边际产出向劳动和资本支付报酬。用表示时刻的实际利率，即向单位资本支付的报酬；用表示时刻的实际工资率，即向单位有效劳动支付的报酬。下面分析和的大小情况。为此，用表示生产函数的精细形式，即是有效人均生产函数。根据第一章的讨论，正是资本的边际产出(这里)。市场的完全竞争性保证了企业向单位资本支付的报酬等于资本的边际产出。再加上无折旧之假定，资本的实际收益率就等于单位资本的报酬。这样，时刻的实

30、际利率(即资本的实际收益率)应等于时刻的资本边际产出，即 (4.2.3)市场的完全竞争性也保证了企业向单位有效劳动支付的报酬要等于有效劳动的边际产出，用有效人均生产函数表示，即。因此，时刻的实际工资率(即单位有效劳动的报酬)可写成： (4.2.4)注意，劳动的边际产出不同于有效劳动的边际产出，二者之间的关系为：。因此，每个工人(即每个家庭成员)在时刻的劳动收入应该等于。(二) 关于家庭的行为对于家庭部门来说，每个家庭都把实际利率和实际工资率的运动路径和视为既定。家庭只能接受它们，而无法影响它们，这是因为要素市场是完全竞争的。家庭的目标是实现终生效用最大化。在追求这一目标的过程中，家庭的经济活动

31、要受到预算约束的限制，也就是说，家庭终生消费的现值不能超过家庭初始拥有的财富与家庭终生劳动收入的现值之和。这里，我们需要把家庭预算约束用公式准确地表达出来，然后分析家庭追求效用最大化的行为。1. 预算约束预算约束涉及到贴现问题，需要首先确定各个时刻的贴现率。为此，假定在时刻0投入了一个单位的资本，这一单位资本在时刻的实际利率(即边际产出)为。按连续复利计算，从时刻0到时刻这一时间区间上单位资本的(连续复利)利率为：这意味着时刻0的一单位资本，在到达时刻时变成为个单位的资本。等价地说，未来时刻的一元钱的价值(即现值)是。所以，就是未来价值向当前的贴现率。例如，当保持为常数，不随时间的变化而变化时

32、，未来时刻的一元钱产品的现值是。按照贴现率计算，家庭终生消费的现值为，它不应超过家庭的初始持有财富与家庭终生劳动收入的现值之和。这样，家庭预算约束可表示为： (4.2.5)我们还可用单位有效劳动的消费、单位有效劳动的资本、单位有效劳动的收入这三项来表达预算约束(4.2.5)。为此，用表示时刻的单位有效劳动的消费，表示时刻的单位有效劳动的资本，即， 而时刻的单位有效劳动的收入就是实际工资率，这样，预算约束(4.2.5)可改写成： (4.2.6)注意，有效劳动的增长率为。因此，。把这一等式代入(4.2.6)便可得到： (4.2.7)然而，(4.2.7)中的积分在很多情况下都是难以计算的，这对我们判

33、断消费者的活动是否符合预算约束带来不必要的麻烦。为了更好地理解预算约束的意义，我们对(4.2.6)作些移项整理，并写成极限形式：上式中，是家庭初始持有资本，是家庭在时刻的储蓄。因此，积分代表着家庭在时刻的储蓄存量(即在时间区间上的储蓄)的现值。这样，家庭在时刻拥有的资本存量的现值便为：这就解释了上面极限式的意义。再注意，家庭在时刻持有的资本存量为，其现值为，应有：于是，预算约束(4.2.6)可改写成为： (4.2.8)其含义是说，当时间无限延长时，家庭持有的资本的现值的极限必须是非负的。这就很好地解释了预算约束的极限意义。另外，在模型的基本假设下，我们有，从而预算约束(4.2.8)又可改写成为

34、： (4.2.9)到此我们看到，家庭预算约束有多种不同的表达：(4.2.5)、(4.2.6)、(4.2.7)、(4.2.8)和(4.2.9)，下面的分析讨论将根据需要灵活选择使用这些表达方式。2目标函数也可通过使用单位有效劳动的消费，改写家庭目标函数(4.2.1)和(4.2.2)的形式。首先来看家庭成员的瞬时效用函数。根据前面对的形式所作的假定，我们有：把此式及代入(4.2.1)，即可得到： (4.2.10)其中，(这是根据对(4.2.2)所作的假定而知的)。3效用最大化家庭的行为是去选择各个时刻的单位有效劳动的消费，以使家庭在服从预算约束的条件下获得最大的终生效用。显然，这样的效用最大化问题

35、与通常的效用最大化问题有所不同，但是通常用于求解效用最大化问题的拉格朗日乘数法仍然是适用的(关于这一点，可参考西蒙(c. p. simen)和布鲁姆(l. blume)合写的经济数学(mathematics for economists, new york: w.w. norton, 1994)一书)。既然消费的边际效用总为正，家庭成员便无满足(关于无满足性概念，参见高级微观经济学，武康平编著，清华大学出版社，2000.12)。这样，预算约束下的效用最大化必然是在预算约束条件中的等式成立的时候实现的。也就是说，用不等式表示的预算约束可改用等式表示。下面从目标函数(4.2.10)出发，在预算约束

36、(4.2.7)下求解效用最大化问题。首先构造拉格朗日函数：然后让对各个及的偏导数都为零：求解该(无限个方程之)方程组，可得到使终生效用达到最大的消费。换句话说，让家庭在预算约束下实现效用最大化的消费必然在任何时刻都满足如下方程：经济学中讨论的家庭及其成员都是符合理性的，理性家庭在安排终生消费时必然要实现预算约束下的效用最大化。这里讨论的家庭也不例外，可以认为家庭终生消费符合效用最大化条件，家庭选择的单位有效劳动的消费满足如上对一切都成立的等式。我们的目的是想说明消费的增长情况，为此，在上式两边取对数得到：既然这是一个对一切都成立的等式，可在该式两边对求导数，得到如下等式：整理此式，并注意，可得

37、： (4.2.11)这就准确地说明了单位有效劳动的消费增长率情况。公式(4.2.11)通常叫做效用最大化问题的欧拉方程(euler equation)，它表明：在给定的情况下，单位有效劳动的消费必然随时间的推移而发生变化。假如没有按照(4.2.11)的方式来变化，那么家庭就能以一种无需改变家庭终生支出的现值的办法来重新安排它的消费，方可使家庭的终生效用得到提高。对于任何给定的，都可根据(4.2.11)来确定单位有效劳动的消费运行路径。不同的，确定了不同的路径。那么，如何选择呢？一般来说，选择的原则是：从出发所确定的路径必须符合预算约束，即必须保证终生消费的现值等于初始财富加上终生劳动收入的现值

38、。如果把选小了，那么按照的消费将用不完家庭终生财富，这意味着家庭终生效用没有达到最大，从而消费支出还可沿着另一条更高的路径进行。相反，如果把选大了，那么按照进行消费，家庭的终生财富将不够用，从而终生效用达不到最大，这意味着消费支出必须沿着另一条较低的路径进行。最后，我们还希望知道人均消费增长率的具体情况。其实这并不难，只要注意，并代入作计算，便可知道人均消费增长率和单位有效劳动的消费增长率之间具有如下关系：即人均消费增长率等于知识增长率与单位有效劳动的消费增长率之和。然后，把(4.2.11)代入上式，便得到人均消费增长率的具体情况： (4.2.12)公式(4.2.12)表明：只要资本的实际收益

39、率超过未来消费的贴现率，人均消费就要增长。另外，衡量者消费的边际效用递减速度大小情况。在资本实际收益率与未来消费贴现率之差额既定的情况下，越小，人均消费增长率的变化就越大，这意味着家庭越愿意让消费随着时间来变化。三、整体经济的运行弄清了模型中企业和家庭的经济活动情况后，接着需要对整体经济的运行进行分析。一般来说，通过分析单位有效劳动的消费与资本的进化(即逐渐变化)情况来揭示整体经济的运行规律，是分析整体经济运行的一种简便办法。下面采用这种办法。(一) 单位有效劳动的消费和资本的进化我们的讨论分三个步骤，首先讨论资本既定时的消费进化规律，然后讨论消费既定时的资本进化规律，最后把二者结合起来，讨论

40、消费和资本同时进化的规律。1既定资本下的消费进化规律实际上，(4.2.11)已经说明了单个家庭的消费进化情况。由于我们假定了所有家庭都一样，(4.2.11)也就不只是说明家庭消费进化情况，而是说明了整个经济的消费进化情况。把(4.2.3)式(即)代入(4.2.11)，即可得到单位有效劳动的消费进化公式： (4.2.13) 的上 的下 升时期 降时期 图4-4 既定资本下消费的进化显然，当且仅当。设是从方程确定的，即是使的单位有效劳动的资本水平。在边际产出递减规律作用下，当时，从而；而当时，从而。这表明，在的范围内，单位有效劳动的消费处于上升时期；而在的范围内，单位有效劳动的消费处于下降时期。把

41、的这种进化方式用图形表示，即图4-4所示。图中，横轴表示资本的变化轴，纵轴为消费的变化轴。在的区域内，的运动方向向上，；而在的区域内，的运动方向向下，。图中的箭头代表的运动方向。使的资本变化范围，就是由所确定的直线。鉴于此，我们把直线叫做“直线”。2既定消费下的资本进化规律我们再来看资本的进化情况。从出发，应用求导法则可得：这里不考虑折旧，资本的增加量等于总产出中扣除消费后所剩下的部分，即总产出除了用于消费之外，就储蓄起来用于投资以增加资本。因此，我们有：把该式代入上面的式子后，便得到： (4.2.14)该式正是第一章中折旧率时的索洛方程，它表明了单位有效劳动的资本进化情况。式中前面的项是单位

42、有效劳动的实际投资(actual investment)，表示单位有效劳动的产出中储蓄起来用于投资的数量。后面的项是持平投资(break-even investment)，表示为了让单位有效劳动的资本保持在原有水平上而必须进行的投资。进行这种投资的原因在于有效劳动数量以增长率在增长，如不追加足够的投资使资本总额增长，那么单位有效劳动的资本水平就要下降。为了防止单位有效劳动的资本减少，就必须追加一定数量的投资，即进行持平投资。单位有效劳动的实际投资减去持平投资，就是单位有效劳动的资本增长率。如果单位有效劳动的实际投资超过持平投资，那么单位有效劳动的资本数额就要上升；相反，如果单位有效劳动的实际投

43、资低于持平投资，那么单位有效劳动的资本数额就要下降；只有当二者相等时，单位有效劳动的资本才保持原有水平不变。 图4-5 既定消费下资本的进化还可以从消费的角度来解释进化式(4.2.14)的含义。当单位有效劳动的消费达到使的水平时，即等于实际产出与持平投资之差。方程表达了使的与之间的关系，我们把表示这种关系的曲线叫做“曲线”。 由于递减，曲线具有如图4-5所示的形状：在的地方(即在下降到之前)，曲线处于上升阶段，相应的随的增加而增加；在的地方(即下降到之后)，曲线处于下降阶段，相应的随的增加而递减；当时，曲线到达最高点。可以看出，由方程确定的资本，正是资本的黄金律水平。当单位有效劳动的消费超过的

44、水平时，从而，即处于下降时期；而当低于的水平时，从而，即处于上升时期。图4-5中，曲线上方是的下降区，下方是的上升区。图中的箭头代表的变动方向。3消费与资本的同时进化 图4-6 消费与资本的同时进化把图4-4和图4-5合并起来，就得到消费和资本的同时进化图，如图4-6所示，图中的垂直和水平箭头分别指向消费和资本的进化方向。直线和曲线把平面分成四个部分：左上、左下、右上、右下。“左上”是指直线以左和曲线以上的部分，其余三个部分的含义可类似地加以说明。在左上部分，且，即在上升，而在下降，因此垂直箭头指向上，水平箭头指向下。类似地，可说明其余三个部分的箭头方向的意义。在直线或曲线上，和当中只有一个能

45、够变动。比如，直线上位于曲线上方的点处，不变，而在下降，所以箭头指向左方。但是，直线和曲线的交点是一个例外。该点处，且，因此和都不变，也就没有箭头方向。还有两个点需要加以注意：一个是坐标原点，它表示经济在无资本投入和无消费的情况下启动，因而经济保持在这个点不动(即无法启动)，故和都不变；另一个是曲线与水平轴的交点，该点表示所有的产出都用于维持单位有效劳动的资本水平不变，因此且。如果经济运行到该点处，那么任何一种让消费从无到有的做法都将破坏家庭的最优化条件，因此经济为了满足(4.2.13)和(4.2.14)，只有停留在该点处不动。稍候，我们将会看到，经济是不会运行到点的。图4-6的一个特点是,使

46、的资本水平低于资本的黄金律水平(即曲线最高点处的资本的水平)。实际上，这是必然的,原因在于，而我们已知，因而。再根据是的递减函数这一事实，我们便知。4初值的确定图4-6展示了和如何进化去满足家庭的最优化条件(4.2.13)和联系资本、产出和消于一体的方程(4.2.14)。但是，这其中涉及到和的初值问题。对于来说，的初值既定时的初值也就既定了。但对于就不一样了，的初值既定时的初值有多种选择。因此，的初值问题必须得到确定。图4-7展示了初值问题的重要性：的不同初值确定了经济的不同运行道路和运行状态。为了讨论上具体起见，假定的初值小于使的资本水平。于是，的变化处于上升阶段。图4-7描绘了不同的初值所

47、决定的消费与资本的运行轨迹，即从初始点出发的运动路径。整体经济的运行，就是通过这条路径得以反映的(作为练习，请读者自己分析时的经济运行路径)。 图4-7 初值决定的经济运行路径情形1：初值高于的水平如果初值高于的水平，比如经济初始时刻位于点：且，即单位有效劳动的消费在增长，而单位有效劳动的资本在减少，那么经济就向左上方运动。情形2：初值等于的水平如果初值等于的水平，比如经济初始时刻位于点：且，即单位有效劳动的消费在增长，而单位有效劳动的资本不变，那么经济就要首先直接向上方运动，到达且的区域后，再向左上方运动。情形3：初值略低于的水平假如初值略低于的水平，比如经济初始时刻位于点：且，即单位有效劳

48、动的消费和资本都在增长。由于并不比的水平低得很多，很快就会上升到的水平，而且还会继续上升，因而经济将会首先向右上方运行到达且的位置，然后向上方运行到达且的区域，接着就一直向左上方运动。情形4：初值远低于的水平在初值远低于的水平，比如经济初始时刻位于点的情况下，且，即单位有效劳动的消费和资本都在增长。但由于比的水平低得太多，不论怎么增长也很难立即上升到的水平。结果，还没有来得及上升到的水平，却提前上升到了的水平，于是经济达到且的位置(经济是从点出发向右上方运动到达这一位置的)。现在，消费到达了保持不变的状态，而资本还在增长，因而经济直接向右方继续运动，进入且的区域。从此以后，经济就要向右下方运动

49、，一直奔向点(无消费的状态)。情形5：初值的临界水平在情形1、2、3的情况下，经济最终都是奔向单位有效劳动的消费不断变大，而单位有效劳动的资本不断变小，直至为零的状态。而在情形4的情况下，经济最终奔向单位有效劳动的资本不断变大，而单位有效劳动的消费不断变小，直至为零的状态。可见，这四种情况下的经济运行路径都不是我们所期望的，初值的选择应该避免这四种情形的发生。是否能够选择到合适的初值以避免情形1、2、3、4的发生呢？答案是肯定的，这是因为和都是和的连续函数。经济从点以上部分出发，最终走向左上方；而从点以下出发，最终走向右下方。于是，根据连续函数的介值原理，必然有介于和之间的一点，经济从这点出发

50、，既不最终走向左上方，也不最终走向右下方，而是向右上方运动最终达单位有效劳动的消费和资本都不变的点(且)，经济的运行路径是。鉴于此，我们把点代表的初值，称为初值的临界水平，点称为临界点。出现情形1、2、3、4的根源何在？原来，虽然我们对和的进化分析都是在(4.2.13)和(4.2.14)的前提下进行的，但我们没有考虑家庭的预算约束，也没有考虑经济中的资本额不能为负这样的事实。如果考虑经济受到的这些限制条件，那么经济就不会沿着情形1、2、3、4所描绘的路径运行，而只能沿着路径运行，也就是说，情形1、2、3、4就根本不可能出现了。事实上，如果经济从点以上的某处开始运行，那么单位有效劳动的资本最终会

51、变为负值，而和依然满足(4.2.13)和(4.2.14)。这与“资本不能为负值”之要求不符。所以，经济不会从点上方启动。经济从点下方启动也是不可能的，这主要是由于经济受家庭预算约束(4.2.9)的限制所致。假如不是这样，经济从点下方某点启动。那么，的进化将导致在某个时刻要超过资本的黄金律水平。把这个时刻看成的时刻，从这个时刻起，资本的进化将始终表现为，而且还是不断上升的。注意，在的阶段，实际利率小于，这就导致。再注意，说明随着的不断上升，将越来越小，从而将不断上升直至趋向无穷。既然不断上升，也就不断上升直至趋于无穷，即这等同于说，家庭终生收入的现值将无限大于家庭终生消费的现值。因此，家庭还能够

52、获得更大的效用，这与已经是终生效用最大化的消费相矛盾。可见，经济从点下方某点启动是不可能的。排除了从点上方、下方启动的可能性，经济就只有从临界点启动了，从而资本趋向于，实际利率趋向于。再结合，可知：既然目前经济处于的阶段，故，从而，这说明随着时间的推移，将不断下降。同时，上述关于的增长率的极限式又表明：的最终下降率为。把这一事实同从点启动的经济的特点“”结合起来考虑，我们便知：由此可见，经济从临界点启动是符合预算约束的。以上分析论述，证明了从临界点启动的路径是经济的唯一可行的运行路径。5鞍状路径 图4-8 鞍状路径以上得出的经济运行路径是在初值的情况下得到的。类似地，可以得出初值情况下经济运行

53、的路径(这已留作读者的练习题)。总之，对于资本的任何初值，都存在消费的唯一初值，它既符合家庭消费最优化条件和预算约束条件，又符合资本进化规律，而且在资本进化过程中资本始终保持非负。于是，的这种初值与的初值之间便产生了一种对应关系，即产生了一个函数关系：。由此函数关系所确定的平面上的曲线，称为鞍状路径(saddle path)(如图4-8所示)。上面分析得出的经济从资本的任何初值出发的运行路径，都是鞍状路径的一部分。所以，鞍状路径正是整体经济的运行轨道。(二) 经济福利以上分析是建立在均衡的基础上的，那么经济达到均衡是否就是人们所期望的结果？这个问题容易得到答案。回想一下微观经济学中的第一福利定理，它告诉我们在完全竞争和无外部性条件下，经济的均衡状态是帕累托有效的(pareto efficient)，此时如还想提高一些人的福利，就必