四点共圆(一)

1、_第二十四讲四点共圆（一）【知识要点】四点共圆的判定方法：1 、若四个点到一定点的距离相等，则这四个点在同一个圆上（即这四点共圆）。2 、若一个四边形的一组对角的和等于180 度，则这个四边形的四个顶点共圆。3 、若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆。4 、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。5、若 AB 、 CD 两线段相交于 P 点，且 PA PB PCPD，则 A、B、C、D四点共圆。6、若 AB 、 CD 两线段延长后相交于 P 点，且 PA PBPC PD，则 A、 B、C、 D 四点共圆。7

2、 、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆。【典例精讲】例 1、锐角ABC的三条高 AD 、 BE、 CF 交于 H ，在 A、 B、C、 D 、 E、 F 、 H 七个点中能组成四点共圆的组数是（）A、4组B、5组C、6组D、7组AFEHBDC例 2、如图， A 、 B 、 C 、 D 四点在同一圆上，AD 的延长线与 BC 的延长线交于E 点，且 ECED 。（1）证明： CD / AB ；精品资料F ， E 四点共圆，求证：_（2）延长 CD到 F ，延长 DC 到G ，使得 EFEG，证明： A、 B、G 、 F 四点共圆 .EFGDCAB例 3、如图，在梯形

3、 ABCD 中， AD / BC ，点 E ， F 分别在边AB ， CD 上，设 ED 与 AF 相交于点 G ，若 B ，C，AG GFDG GEADGEFBC例 4、已知点 A( 2，0) ， B(3，5) ，直线 l 过点 B 与 y 轴交于点 C (0，c) ，若 O 、 A 、 B 、 C 四点共圆，则c 的值为（）A、 22B、 28C、17D、无法求出55精品资料_例 5、在圆内接等腰三角形ABC 的底边BC 上任取二点D 、 E ，延长AD 、 AE 分别交圆于F 、 G ，求证：AD AFAE AG.ABDECFG例 6、如图， D ， E 分别是 AB ， AC 边上的点

4、，且不与顶点重合，已知AEm ， ACn ， AD ， AB 为方程 x214xmn0 的两根 .（1）证明： C ， B ， D ， E 四点共圆；（ 2 ）若A90 ， m4 ， n6 ，求 C ， B ， D ， E 四点所在圆的半径精品资料_CEADB例 7、如图， AB 为圆 O 的直径， CD 为垂直于AB 的一条弦，垂足为E ，弦 BM 与 CD 交于点 F （1）证明：A 、 E 、 F 、 M 四点共圆；（2）证明： AC 2BFBMAB 2 CEABOFDM例 8、如图，在平行四边形ABCD 中，BAD 为钝角，且AEBC ， AFCD （1）求证：A 、 E 、 C 、

5、F 四点共圆；（ 2 ）设线段 BD 与（ 1）中的圆交于M 、 N 求证： BMND ADNMFBEC精品资料_例 9、如图所示，I 为ABC 的内心，求证：BIC 的外心 O 与 A 、 B 、 C 四点共圆 .AIBCO例 10 、 A 、 B 、 C 三点共线，O 点在直线外，O1 ， O2 ， O3 分别为OAB ，OBC ，OCA 的外心求证：O， O1， O2 ， O3 四点共圆 .OO1O2O3ABC例 11、如图，在ABC 中， AD ， BE 分别是A ，B 的角平分线， O 是 AD 与 BE的交点，若 C ， D ， O ，E 四点共圆，DE3，则ODE 的内切圆半径为

6、多少？精品资料_CEDOBA例 12 、如图，点 F 是ABC 外接圆弧BC 的中点，点 D 、 E 在边 AC 上，使得 ADAB ， BEEC 。证明：B、 E、D、 F 四点共圆 .A例 13、如图， AHAC， EB BC， AEAK，BH BM（ 1）求证： E、H 、M 、 K 四点共圆；（ 2）若 KEEH ， CE 3 求线段 KM 的长CDFEBCKMAEHB精品资料_例 14、在ABC的边 AB， BC，CA上分别取 D， E， F 使得 DEBE， FECE ，又点 O是ADF的外心（ 1）证明： D， E， F ，O四点共圆；（ 2 ）证明： O 在 DEF 的平分线上

7、AODFCEB例 15 、如图， CD 为ABC 外接圆的切线， AB 的延长线交直线CD于点 D，E、F 分别为弦 AB与弦 AC上的点，且 BC AEDC AF， B、E、F 、C四点共圆（ 1）证明： CA 是ABC 外接圆的直径；（ 2）若 DB BEEA，求过 B 、 E 、 F 、 C 的圆的面积与ABC 外接圆面积的比值精品资料_CFDBEA例 16、如图，锐角ABC 的内心为 D ，过点 A 作直线 BD 的垂线，垂足为F ，点 E 为内切圆 D 与边 AC 的切点（ 1）求证：A， D ， F ， E 四点共圆；（2）若C50 ，求DEF 的度数AEFDBC例 17 、如图，

8、在正1BC，CE1ABC 中，点 D ， E 分别在边 BC 、 AC 上，且 BDCA， AD ，BE相33交于点 P，求证：（ 1） P，D，C，E四点共圆；（ 2） APCPAEPBDC精品资料_【强化训练】1、 如图， AB 是 O 的直径，弦BD ， CA 的延长线相交于点E ， EF 垂直 BA 的延长线于点F 求证：（1） BEDEAC CECE 2 ；（2） E ， F ， C ， B 四点共圆EDFABC2 、如图，已知 AP 是 O 的切线， P 为切点， AC 是 O 的割线，与 O 交于 B ， C 两点，圆心 O 在PAC 的内部，点 M 是 BC 的中点（1）证明

9、A ， P ， O ， M 四点共圆；（2）求OAMAPM 的大小POABMC3 、如图，已知 AB 为半圆 O 的直径， BE 、 CD 分别为半圆的切线，切点分别为 B 、 C ， DC 的延长线交BE 于F ，AC 的延长线交 BE 于 E ADDC ，D 为垂足（ 1 ）求证： A 、D 、F 、B 四点共圆；（2）求证： EFFB 精品资料_EFCDABO4 、如图，已知ABC 中的两条角平分线AD 和 CE 相交于 H ，B60 ， F 在 AC 上，且AE AF（1）证明： B ， D ， H ， E 四点共圆；（2）证明： CE 平分DEF AFEHBCD5 、如图，已知BA

10、是 O 的直径， AD 是 O 的切线，割线BD、 BF 分别交 O于 C、 E，连接 AE、CE求证： BE BFBC BD精品资料_DCEFBOA6、如图， O 与 P 相交于 A 、 B 两点，圆心 P 在 O 上，O 的弦 BC 切 P 于点 B ， CP 及其延长线交 P于 D， E两点，过点 E作 EFCE ，交 CB 的延长线于点 F （ 1）求证： B 、 P 、 E 、 F 四点共圆；（ 2）若 CD2，CB2 2 ，求出由四点 B 、 P 、 E 、 F 所确定圆的直径FBCDEOPA7 、如图所示，已知PA切圆 O于 A，割线 PBC交圆 O于 B 、C， PDAB 于

11、D ， PD 与 AO 的延长线相交于点 E ，连接 CE 并延长交圆 O 于点 F ，连接 AF （ 1 ）求证： B ， C ， E ， D 四点共圆；（ 2 ）当 AB 12 ， tan EAF2时，求圆 O 的半径3精品资料_PBDACOEF8 、如图，ABC 是直角三角形，ABC90 以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E 点 D 是 BC 边的中点， 连 OD交圆 O 于点 M （1）求证： O ， B ， D ， E 四点共圆；（2）求证： 2DE 2DMACDMAB .AEOMBDC精品资料_9 、如图所示， 在 RtABC 中，ACB90 ，点 O 为三角形外的一点，以

12、 O 为圆心， OC 为半径的圆与边AB 相切，切点为E ，圆 O 与边 BC 相交于 D 点，直径 EF 与边 BC 交于 G 点，连接 AG 求证： AG / ED AEDBCGOF10 、如图， 在 AGF 中， AGF 是直角， B 是线段 AG 上一点， 以 AB 为直径的半圆交AF 于 D，连接 DG交半圆于点 C，延长 AC交 FG 于 E（1）求证 D、C、 E、 F 四点共圆；（2）若GE3，求2GA 的值GB2GFFDCEABG精品资料_11 、如图所示，AB 是 O 的直径， G 为 AB 延长线上的一点，GCD 是 O 的割线，过点 G 作 AB 的垂线，交AC 的延长线于点E ，交 AD 的延长线于点F ，过 G 作 O 的切线，切点为H 求证：（1） C ， D ， F ， E 四点共圆；（2） GH 2GE GF ADOBHCFEG12 、如图，已知PA 与 O 相切于点 A ， PBC 为 O 的割线，弦 CD / AP ， AD 与 BC 相交于点 E ， F 为 CE上一点，且DE 2EFEC 。（1）求证：A 、 P 、 D 、 F 四点共圆。（2）若 AE6 ， DEEB4 ，求 PA