第二章点线面的投影

1、机械制图中原工学院中原工学院 主讲教师：主讲教师： 机电学院机电学院 制图教研室制图教研室 第二章第二章 点、直线、点、直线、 平面的投影平面的投影第一节第一节 投影法投影法第二节第二节 点的投影点的投影第三节第三节 直线的投影直线的投影第四节第四节 平面的投影平面的投影第五节第五节 直线与平面及两平面直线与平面及两平面 的相对位置的相对位置第一节第一节 投影法投影法一一 投影法的概念投影法的概念投影面投影面Pa 投影投影投射线投射线bS 投影中心投影中心A 空间点空间点B 将光线通过物体向将光线通过物体向选定的平面投影，并在选定的平面投影，并在该平面上得到物体影子该平面上得到物体影子的方法称

2、为投影法。的方法称为投影法。1 1 中心投影法中心投影法 投射线汇交于一点。投射线汇交于一点。2 2 平行投影法平行投影法 投射线互相平行。投射线互相平行。 （1 1）斜投影斜投影 投射线与投影面倾斜的平行投影。投射线与投影面倾斜的平行投影。 （2 2）正投影正投影 投射线与投影面垂直的平行投影。投射线与投影面垂直的平行投影。HSH9090H中心投影法中心投影法斜投影斜投影正投影正投影二二 投影法的分类投影法的分类 机械制图多采用正投影法绘制图样。机械制图多采用正投影法绘制图样。 1 1 实形性实形性 当线当线段或平面平行于投段或平面平行于投影面时，其投影反影面时，其投影反映实长或实形。映实长

3、或实形。 2 2 积聚性积聚性 当线当线段或平面垂直于投段或平面垂直于投影面时，其投影积影面时，其投影积聚为点或线段。聚为点或线段。 3 3 类似性类似性 当线当线段或平面倾斜于投段或平面倾斜于投影面时，其投影变影面时，其投影变短或变小。短或变小。edca（b）CDEBAHCDEedcBAabHCDEBAHabedca三三 正投影法的基本性质正投影法的基本性质edca（b）CDEBAH第二节第二节 点的投影点的投影 P Pb b A AP P 过空间点过空间点A A的投射线的投射线与投影面与投影面P P的交点即为点的交点即为点A A在在P P面上的投影。面上的投影。B1B1B2B2B3B3 点

4、在一个投影面上点在一个投影面上的投影不能确定点的空的投影不能确定点的空间位置。间位置。一一 点的一个投影点的一个投影a H HW WV V投影面投影面正面投影面（简称正面投影面（简称正面正面或或V V面面）水平投影面（简称水平投影面（简称水平面水平面或或H H面面）侧面投影面（简称侧面投影面（简称侧面侧面或或W W面面）投影轴投影轴o oX XZ ZOXOX轴轴 V V面与面与H H面的交线面的交线OZOZ轴轴 V V面与面与W W面的交线面的交线OYOY轴轴 H H面与面与W W面的交线面的交线Y Y三个投影面三个投影面互相垂直互相垂直二二 点的三面投影点的三面投影 1 1 三投影面体系三投

5、影面体系W WH HV Vo oX X2 2 点的三面投影点的三面投影a a 点点A A的正面投影的正面投影a a点点A A的水平投影的水平投影a a 点点A A的侧面投影的侧面投影a a a aa a A AZ ZY Y向右翻向右翻向下翻向下翻不动不动 空间点用大写字母空间点用大写字母表示，点的投影用小写表示，点的投影用小写字母表示。字母表示。W WV VH Ha aa aZ Za aa a y ya ay ya aX XY YH HY YW WO O a az zx x3 3 点的投影特性点的投影特性 a a aOXaOX轴轴 a a a a OZOZ轴轴 投影连线垂直于投影轴投影连线垂直

6、于投影轴； aa aax x=a=a a az z=y=A=y=A到到V V面的距离面的距离 a a a ax x=a=a a ay y=z=A=z=A到到H H面的距离面的距离 aa aay y= =a a a az z=x=A=x=A到到W W面的距离面的距离 点的投影到投影轴的距离等点的投影到投影轴的距离等于空间点到相应投影面的距离于空间点到相应投影面的距离。a a a aa ax x例例1 1 已知点的两个投影，求第三投影。已知点的两个投影，求第三投影。a a a a a aa ax xa az za az z解法一解法一: :通过作通过作4545线线使使a a a az z=aa=a

7、ax x解法二解法二: :用圆规直接量用圆规直接量取取a a a az z=aa=aax xa a HVXZYWOayaxazxyza aa Ha aa VWXOZYWYHaxayazay4 4 点的投影与坐标之间的关系点的投影与坐标之间的关系yAxAzAaaaax x= a= a a az z=A=A到到V V面的距离面的距离=y=ya a a ax x= a= a a ay y=A=A到到H H面的距离面的距离=z=zaaaay y= = a a a az z=A=A到到W W面的距离面的距离=x=xyA例例2 2 已知空间点已知空间点D D的坐标的坐标(15,10,20),(15,10,

8、20),试作其投试作其投影图和直观图。影图和直观图。1515101020201515101020205 5 特殊位置点的投影特殊位置点的投影O OX Xc c c cH HV VO OX XCcCc c ca a b bBbBb AaAaa a a ab b b bXOZYa a a 两点的相对位置是根据两点同面两点的相对位置是根据两点同面投影的相对位置投影的相对位置或或坐标大坐标大小小来确定的。来确定的。X X坐标值大的点在左；坐标值大的点在左；Y Y坐标值大的点在前；坐标值大的点在前；Z Z坐坐标值大的点在上。标值大的点在上。 1 1 两点的相对位置两点的相对位置 两点的相对位置指两点在两

9、点的相对位置指两点在空间的空间的上下、前后、左右上下、前后、左右位置关系。位置关系。XZYWYHOa a ab bb b b bBA三三 两点的相对位置两点的相对位置 2 2 重影点重影点 空间两点在某一投影面上的空间两点在某一投影面上的投影重合为投影重合为一点一点时，则此两点称为时，则此两点称为该投影面该投影面的的重影点重影点。cc(d)da(b)abABCDC C、D D为为V V面面的重影点的重影点A A、B B为为H H面面的重影点的重影点XYHZYWOc(d)ba(b)acda b c d 判别某投影面的判别某投影面的重影点的可见性重影点的可见性时，需要看重影点在其它时，需要看重影点

10、在其它投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可不可见点的投影加括号表示见点的投影加括号表示。 判别重影点的可见性原则：判别重影点的可见性原则：上遮下、左遮右、前遮后上遮下、左遮右、前遮后。重重影影点点的的可可见见性性 例例3 3 已知已知A A点在点在B B点的右点的右1010毫米、前毫米、前6 6毫米、上毫米、上1212毫米，求毫米，求A A点的投影。点的投影。a a aX XZ ZY YW WY YH HO Ob b b bb b 121210106 6思考题思考题: : 指出图中的指出图中的最高点最高点：最低点：最低点：最左

11、点：最左点：最右点：最右点：最前点：最前点：最后点：最后点：C CB BC CA AA AC C第三节第三节 直线直线的投影的投影OXZYABbb a b aa 一一 直线的投影直线的投影 两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的同面投影。连接，就得到直线的同面投影。 直线与直线与H H面、面、V V面、面、W W面的夹面的夹角分别为角分别为、。ZXa b aOYYa bb 1 1 投影面平行线投影面平行线 平行于某一投影面，与另外两个投影面平行于某一投影面，与另外两个投影面倾斜的直线。倾斜的直线。二二 各种位置直线的投影特性各种位置直

12、线的投影特性投影特性：投影特性： 在其平行的投影面上的在其平行的投影面上的投影反映实投影反映实长长，与投影轴的夹角，与投影轴的夹角反映反映直线与另两投直线与另两投影面影面倾角倾角。 另两个投影另两个投影平行平行于相应的于相应的投影轴投影轴。(1) (1) 水平线水平线(2) (2) 正平线正平线(3) (3) 侧平线侧平线X XZ ZbaaabbO OY YH HY YW W实长实长V VH HabAaaBbbW WZoXY以水平线为例以水平线为例例例1 1 判断下列直线是什么位置的直线？判断下列直线是什么位置的直线？侧平线侧平线正平线正平线实长实长 实长实长 b b a a a ab ba

13、a b b b b a aa a b b b ba a Z ZO OX XY YW WY YH HZ ZO OX XY YH HY YW W判断直线与投影面位置的关键判断直线与投影面位置的关键: : 投影是否积聚；投影是否积聚；投影是否与投影轴平行。投影是否与投影轴平行。2 2 投影面垂直线投影面垂直线 垂直于某一投影面的直线。垂直于某一投影面的直线。投影特性投影特性: : 在其垂直的投影面上的投影有在其垂直的投影面上的投影有积积聚性聚性。 另外两个投影另外两个投影反映线段实长反映线段实长，且，且垂直于相应的投影轴。垂直于相应的投影轴。(1) (1) 铅垂线铅垂线(2) (2) 正垂线正垂线(

14、3) (3) 侧垂线侧垂线 铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线a a b b a a( (b b) )a a b b c c ( (d d ) )c cd dd d c c e e f f e ef fe e ( (f f ) )Z ZX XO OY YH HY YW WZ ZO OX XY YH HY YW WZ ZX XO OY YH HY YW W3 3 一般位置直线一般位置直线 与三个投影面都倾斜的直线。与三个投影面都倾斜的直线。投影特性：投影特性： 三个投影都三个投影都小于实长小于实长，与投影轴倾斜且与投影轴倾斜且其夹其夹角角不反映不反映直线与投影面的直线与投影面的倾角倾角。OXZ

15、YABbb a b aa ZXa b aOYYa bb 三三 直线上的点直线上的点A AB Bb bb b a aa a X XO Oc cc c C Cc c直线上的点的特性：直线上的点的特性： 1 1 从属性从属性 直线上的点的直线上的点的投影在直线的同面投影上。投影在直线的同面投影上。 2 2 定比性定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。 即即 ACAC:CB=ac:cb=a:CB=ac:cb=a c c :c:c b b =a=a c c :c:c b b 利用这两个特性可以作直线上点的投影，或判断利用这两个特性可以作直线上点的投影

16、，或判断点是否在直线上。点是否在直线上。b b X Xa a a ab bc cc c 例例2 2 已知线段已知线段ABAB的投影图，试将的投影图，试将ABAB分成分成1:21:2两段，两段，求分点求分点C C的投影。的投影。O Oa ab bc ca a b b c c c c a ab bc ca a b b 判断判断C C是否在直线是否在直线ABAB上上C C在直线在直线ABAB上上C C不在直线不在直线ABAB上上例例3 3 已知点已知点C C在线段在线段ABAB上，求点上，求点C C的正面投影。的正面投影。b b X Xa a b ba ac cc c X XO OA AB Bb b

17、b b a aa a c c C Cc cH HV VO Oa ab bk ka a b b k k K K不在直线不在直线ABAB上上判断判断K K是否在直线是否在直线ABAB上上四四 两直线的相对位置两直线的相对位置（1 1）平行两直线的）平行两直线的同面投影同面投影相互相互平行平行。 反之，若两直线的同反之，若两直线的同面投影相互平行，则该两直线平行。面投影相互平行，则该两直线平行。（2 2）平行两线段之比等于其投影之比平行两线段之比等于其投影之比。X Xb b a aa a d d b bb bc cc c A AB BC CD Dd dc c d d c c1 1 平行两直线平行两直

18、线Xb a abO OO O2 2 相交两直线相交两直线 相交两直线的同面投影相交，且相交两直线的同面投影相交，且交点属于两直线交点属于两直线。反之，。反之，若两直线的同面投影相交，且交点属于两直线，则该两直线若两直线的同面投影相交，且交点属于两直线，则该两直线相交。相交。X XB BD DA AC CK Kb bb b a aa a c c c cd dd d k k k kb b X Xa a a ab bk k c c d d d dc ck kO OO O3 3 交叉两直线交叉两直线 既不平行也不相交的直线称为交叉两直线，其投既不平行也不相交的直线称为交叉两直线，其投影特性影特性既不满

19、足平行两直线的投影特性既不满足平行两直线的投影特性，也不满足相也不满足相交两直线的投影特性交两直线的投影特性。 X XO OB BD DA AC Cb bb b a aa a c c c cd dd d 2 21 11 1 (2(2 ) )2 21 1b b X Xa a a ab bc c d d d dc c1 11 1 (2(2 ) )2 2O OX XO OB BD DA AC Cb bb b a aa a c c c cd dd d (3(3 )4)4 1(2)1(2)4 43 33 34 41 1 2 2 1 12 2判别交叉两直线的可见性判别交叉两直线的可见性bbcddcXaa3

20、(4)34121(2)O例例4 4 判断两直线的相对位置。判断两直线的相对位置。相交相交相交相交平行平行b b d d c c a a c cb ba ad dd d b b a a c c 对于特殊位置直线，对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行，空间直线不一定平行。平行。求出侧面投影后可知：求出侧面投影后可知：ABAB与与CDCD不平行。不平行。例例5 5 判断图中两条直线是否平行。判断图中两条直线是否平行。求出侧面投影求出侧面投影如何判断？如何判断？是否有其是否有其它方法？它方法？d d a a c c b b o oY YW WY YH HZ

21、 ZX Xa a a ac c d d d dc cb bb b 例例6 6 判断两直线的相对位置。判断两直线的相对位置。 是否有其是否有其它的方法？它的方法？ AB AB与与CDCD为交为交叉两直线。叉两直线。c ca ab bb b a a c c d d k k k kd d例例7 7 过过C C点作水平线点作水平线CDCD与与ABAB相交。相交。先作正先作正面投影面投影第四节第四节 平面平面的投影的投影一一 平面的表示法平面的表示法a ab bc ca a b b c c 不在同一直线不在同一直线上的三个点上的三个点a ab bc ca a b b c c 直线及线外直线及线外一点一点

22、a ab bc ca a b b c c d dd d 两平行直线两平行直线a ab bc ca a b b c c 两相交直两相交直线线a ab bc ca a b b c c 平面平面图形图形用几何元素表示平面用几何元素表示平面二二 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性1 1 投影面垂直面投影面垂直面 垂直于某一投影面，倾斜于另两垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面的平面。个投影面的平面。 (1) (1) 铅垂面铅垂面 (2) (2) 正垂面正垂面 (3) (3) 侧垂面侧垂面投影特性：投影特性： 在垂直的投影面上的投影在垂直的投影面上的投影积聚成直线积聚成直线, ,且与投影轴的夹

23、角且与投影轴的夹角反反映映平面与另外两投影面的平面与另外两投影面的倾角倾角。 另外两个投影面上的投影另外两个投影面上的投影有有类似性类似性。以铅垂面为例以铅垂面为例 a b a b bacc c VWHPPHABCacb 正垂面正垂面a b a b ba c c c侧垂面侧垂面a b b baa cc c 例例1 1 判断下列平面与投影面的位置。判断下列平面与投影面的位置。判断平面与投影面位置的关键判断平面与投影面位置的关键: : 投影是否积聚；投影是否积聚；积聚的投影是否与投影轴平行。积聚的投影是否与投影轴平行。2 2 投影面平行面投影面平行面 平行于某一投影面，垂直于另两平行于某一投影面，

24、垂直于另两个投影面的平面。个投影面的平面。 (1) (1) 水平面水平面 (2) (2) 正平面正平面 (3) (3) 侧平面侧平面投影特性：投影特性： 在其平行的投影面上的投影在其平行的投影面上的投影反反映实形映实形。 另两个投影分别另两个投影分别积聚成直线积聚成直线, ,且与相应的投影轴平行。且与相应的投影轴平行。VWHCABa b c baca b c ca b b baa c c 以水平面为例以水平面为例cabbacbcaabbbaccca例例2 2 判断下列平面与投影面的位置。判断下列平面与投影面的位置。 正平面正平面侧平面侧平面3 3 一般位置平面一般位置平面 与三个投影面都倾斜的

25、平面。与三个投影面都倾斜的平面。a a b b b b a a c c c c b ba ac ca a b b c c b ba ac ca a b b C CA AB B投影特性：投影特性： 三个投影均为缩小的三个投影均为缩小的类似形类似形。三三 平面内的直线与点平面内的直线与点1 1 平面上取直线和点平面上取直线和点平面上取直线平面上取直线a b c abcd de eABCEDFff （1 1） 平面上的直线平面上的直线 直线在平面上的几何条件是：直线在平面上的几何条件是：通过平面上的两点通过平面上的两点； 通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线通过平面上的一点且平行于平面上的一条直

26、线。（2 2） 平面上的点平面上的点 点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。例例3 3 已知已知K K点在平面点在平面ABCABC上，求上，求K K点的水平投影。点的水平投影。d d k kd利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解b ba ac cc c a a k k b b a ab bc ca ab b k k c c k k例例4 4 已知平面已知平面 ABC ABC ，判断点，判断点K K是否属于该平面是否属于该平面, , 并作出平面上点并作出平面上点E E的水平投影的水平投影e

27、e 。k kabcabcddee11XO结论：点结论：点K K不在平面不在平面 ABCABC V VH HP P平面上投影面平行线平面上投影面平行线既在平面上又平行于投影面的直线。既在平面上又平行于投影面的直线。 平面上的投影面平行线既具有平面上的投影面平行线既具有投影面平行线的投影特性投影面平行线的投影特性，又与所属平面保持又与所属平面保持从属关系从属关系。水平线水平线正平线正平线平面上投影面平行线平面上投影面平行线例例5 5 已知平面已知平面 ABCABC，试过点，试过点C C作属于该平面的作属于该平面的 正平线，过点正平线，过点A A作属于该平面的水平线。作属于该平面的水平线。a b c

28、 bacm n nm例例6 6 已知点已知点E E 在在 ABCABC平面上，且点平面上，且点E E距离距离H H面面1515， 距离距离V V 面面1010，试求点，试求点E E的投影。的投影。Xa b c bacrsr s 1015e eb bc ck ka ad da a d d b b c c a ad da a d d b b c c k k b bc c例例7 7 已知已知ACAC为正平线，补全平行四边形为正平线，补全平行四边形ABCDABCD的的 水平投影。水平投影。解法一解法一解法二解法二第五节第五节 直线与平面及直线与平面及 两平面的相对位置两平面的相对位置一一 平行问题平行

29、问题P PC CD DB BA A1 1 直线与平面平行直线与平面平行 若平面外的一条直线与若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。该直线与该平面平行。 2 2 平面与平面平行平面与平面平行 若平面内的两相交直线对若平面内的两相交直线对应地平行于另一平面内的两相应地平行于另一平面内的两相交直线，则这两个平面平行。交直线，则这两个平面平行。P PS SE EF FD DA AC CB B例例1 1 试判断直线试判断直线ABAB是否平行于平面是否平行于平面 CDECDE。f fg g f f g gb b a a a ab bc c e e d d

30、e ed dc c结论：直线结论：直线ABAB不平行于平面不平行于平面 CDECDE。X XO Od例例2 2 已知定平面由相交两直线已知定平面由相交两直线FGFG和和SRSR给定，给定，ababcdcdgfgf。 判断直线判断直线ABAB、MNMN和平面和平面CDECDE是否与定平面平行。是否与定平面平行。结论：结论：直线直线ABAB、MNMN与定平面平行。与定平面平行。 平面平面CDECDE与定与定平面平行。平面平行。gf g fsr s a ab brXOed e cc m m(n)n 例例3 3 过点过点K K作正平线作正平线KAKA平行于已知平面平行于已知平面CDECDE。a a f f f fa ac c e e d d e ed dk k k kc cX XO O例例5 5 已知定平面由平行两直线已知定平面由平行两直线ABAB和和CDCD给定。给定。 试过点试过点K K作一平面平行于已知平面作一平面平行于已知平面 。e em m n n m mn nf f e e f fs sr r s s rd d d dc c a a a ac cb b b bk k k kX XO O二二 相交问题相交问题PABKDBCALKEF1 1 交点与交线