高中数学 第一章 解三角形 阶段复习课 第1课 解三角形学案 新人教A版必修5

1、第一课解三角形核心速填1正弦定理(1)公式表达：2r.(2)公式变形：a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c；sin a，sin b，sin c；abcsin asin bsin c；2r.2余弦定理(1)公式表达：a2b2c22bccos_a，b2a2c22accos_b，c2a2b22abcos_c.(2)推论：cos a，cos b，cos c.3三角形中常用的面积公式(1)sah(h表示边a上的高)；(2)sbcsin aacsin babsin c；(3)sr(abc)(r为三角形的内切圆半径)体系构建题型探究利用正、余弦定理解三角形在abc中，内角a，b，c所对的边分

2、别为a，b，c.已知bc2acos b.(1)证明：a2b；(2)若abc的面积s，求角a的大小. 【导学号：91432090】解(1)证明：由正弦定理得sin bsin c2sin acos b，故2sin acos bsin bsin(ab)sin bsin acos bcos asin b，于是sin bsin(ab)又a，b(0，)，故0<ab<，所以，b(ab)或bab，因此a(舍去)或a2b，所以a2b.(2)由s，得absin c，故有sin bsin csin 2bsin bcos b，因为sin b0，所以sin ccos b，又b，c(0，)，所以c±

3、b.当bc时，a；当cb时，a.综上，a或a.规律方法解三角形的一般方法：,(1)已知两角和一边，如已知a、b和c，由abc求c，由正弦定理求a、b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和c，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用abc，求另一角.(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和a，应先用正弦定理求b，由abc求c，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况.(4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求a、b、c.跟踪训练1如图1­1，在abc中，b，ab8，点d在bc边上，cd2，cosadc.图1­1(1)求sinbad

4、；(2)求bd，ac的长解(1)在adc中，因为cosadc，所以sinadc.所以sinbadsin(adcb)sinadc cos bcosadc sin b××.(2)在abd中，由正弦定理，得bd3.在abc中，由余弦定理，得ac2ab2bc22ab×bc×cos b82522×8×5×49.所以ac7.判断三角形的形状在abc中，若b60°，2bac，试判断abc的形状思路探究：利用正弦定理将已知条件中边的关系，转化为角的关系求角或利用余弦定理，由三边之间的关系确定三角形的形状解法一：(正弦定理边化角)由

5、正弦定理，得2sin bsin asin c.b60°，ac120°.2sin 60°sin(120°c)sin c.展开整理得sin ccos c1.sin(c30°)1.0°<c<120°，c30°90°.c60°，则a60°.abc为等边三角形法二：(余弦定理法)由余弦定理，得b2a2c22accos b.b60°，b，2a2c22accos 60°，化简得(ac)20.ac.又b60°，abc.abc为等边三角形规律方法根据已知条件(通

6、常是含有三角形的边和角的等式或不等式)判断三角形的形状时，需要灵活地应用正弦定理和余弦定理转化为边的关系或角的关系.判断三角形的形状是高考中考查能力的常见题型，此类题目要求准确地把握三角形的分类，三角形按边的关系分为等腰三角形和不等边三角形；三角形按角的关系分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解.跟踪训练2在abc中，若，试判断abc的形状. 【导学号：91432091】解由已知，得.可有以下两种解法法一：(利用正弦定理，将边化角)由正弦定理得，即sin ccos cs

7、in bcos b，即sin 2csin 2b.b，c均为abc的内角，2c2b或2c2b180°.即bc或bc90°.abc为等腰三角形或直角三角形法二：(利用余弦定理，将角化边)，由余弦定理得，即(a2b2c2)c2b2(a2c2b2)a2c2c4a2b2b4，即a2b2a2c2c4b40.a2(b2c2)(c2b2)(c2b2)0，即(b2c2)(a2b2c2)0.b2c2或a2b2c20，即bc或a2b2c2.abc为等腰三角形或直角三角形.正、余弦定理的实际应用如图1­2所示，某市郊外景区内有一条笔直的公路a经过三个景点a、b、c.景区管委会开发了风景优

8、美的景点d.经测量景点d位于景点a的北偏东30°方向上8 km处，位于景点b的正北方向，还位于景点c的北偏西75°方向上已知ab5 km.图1­2(1)景区管委会准备由景点d向景点b修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；(2)求景点c与景点d之间的距离(结果精确到0.1 km)(参考数据：1.73，sin 75°0.97，cos 75°0.26，tan 75°3.73，sin 53°0.80，cos 53°0.60，tan 53°1.33，sin 38°0.62，cos 38&#

9、176;0.79，tan 38°0.78)思路探究：(1)以bd为边的三角形为abd和bcd，在abd中，一角和另外两边易得，所以可在abd中利用余弦定理求解db.(2)以cd为边的两个三角形中的其他边不易全部求得，而角的关系易得，考虑应用正弦定理求解解(1)设bdx km，则在abd中，由余弦定理得5282x22×8xcos 30°，即x28x390，解得x4±3.因为43>8，应舍去，所以x433.9，即这条公路的长约为3.9 km.(2)在abd中，由正弦定理得，所以sinabdsincbd·sinadb0.8，所以coscbd0.

10、6.在cbd中，sindcbsin(cbdbdc)sin(cbd75°)0.8×0.260.6×0.970.79，由正弦定理得cdsindbc×3.9.故景点c与景点d之间的距离约为3.9 km.规律方法正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用.常用的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等.解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求.跟踪训练3如图1­3，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在

11、a上点a处有一个水声监测点，另两个监测点b，c分别在a的正东方20 km和54 km处某时刻，监测点b收到发自静止目标p的一个声波信号，8 s后监测点a,20 s后监测点c相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.图1­3(1)设a到p的距离为x km，用x表示b，c到p的距离，并求x的值；(2)求静止目标p到海防警戒线a的距离(精确到0.01 km). 【导学号：91432092】解(1)由题意得papb1.5×812(km)，pcpb1.5×2030(km)pbx12，pc18x.在pab中，ab20 km，cospab.同理

12、cospac.cospabcospac，解得x.(2)作pda于d，在rtpda中，pdpacosapdpacospabx·17.71(km)所以静止目标p到海防警戒线a的距离为17.71 km.与三角形有关的综合问题探究问题1如图1­4所示，向量与的夹角是b吗？在abc中，两向量·的数量积与余弦定理有怎样的联系？图1­4提示：向量与的夹角是b的补角，大小为180°b，由于·|·|cos abccos a.所以·bccos a(b2c2a2)，有时直接利用此结论解决与向量数量积有关的解三角形问题2在解三角形的过程中

13、，求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？提示：用余弦定理可以根据角的余弦值的符号直接判断是锐角还是钝角，但计算比较复杂用正弦定理计算相对比较简单，但仍要结合已知条件中边的大小来确定角的大小，所以一般选择用正弦定理去计算比较小的边所对的角，避免讨论在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且a>c，已知·2，cos b，b3.求：(1)a和c的值；(2)cos(bc)的值. 【导学号：91432093】思路探究：(1)由平面向量的数量积定义及余弦定理，列出关于a，c的方程组即可求解(2)由(1)结合正弦定理分别求出b，c的正、余弦值，利用

14、差角余弦公式求解解(1)由·2得cacos b2.又cos b，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22accos b.又b3，所以a2c292×6×13.解得或因为ac，所以a3，c2.(2)在abc中，sin b，由正弦定理，得sin csin b×.因为abc，所以c为锐角，因此cos c.于是cos(bc)cos bcos csin bsin c××.母题探究：1.(变条件，变结论)将本例中的条件“a>c，·2，cos b，b3”变为“已知sabc30且cos a”求·的值解在abc中，cos a，a为锐角且sin a，sabcbcsin abc·30.bc156.·|·|cos abccos a156×144.2(变条件，变结论)在“母题探究1”中再加上条件“cb1”能否求a的值？解由余弦定理得a2b2c22bccos a(bc)22bc(1cos a)12×156×25，a5.规律方法正、余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值