人教版中考数学压轴题解题模型----几何图形之半角模型(含解析汇报)

1、标准实用几何图形之半角模型主 题半角模型教学内容教学目标1 .掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。2 .掌握正方形的性质定理 1和性质定理2。3 .正确运用正方形的性质解题。4 .通过四边形的从属关系渗透集合思想。5 .通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。知识结构正方形的性质因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质(由学生和老师一起总结)。正方形性质定理1:正方形的四个角都是直角，四条边相等。正方形性质定理2:正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。说明：定理2包括了

2、平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。 小结：(1)正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图(2)正方形的性质：正方形对边平行。正方形四边相等。正方形四个角都是直角。正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。文案大全典型例题精讲例1 .如图，折叠正方形纸片ABCD,先折出折痕BD,再折叠使 AD边与对角线BD重合，得折痕DG ,【解析】：作GML BD垂足为 M由题意可知/ ADG=GD M则4 ADG MDGDM=DA=2 AC=GM又易知：GM=BM而 BM=BD-DM=22 -2=2

3、 ( 72-1 ),AG=BM=2 "-1 ).例2 .如图，P为正方形 ABCD内一点，PA PB 10,并且P点到CD边的距离也等于10,求正 方形ABCD的面积？【解析】：过P作EF AB于F交DC于E . 1 设 PF x,则 EF 10 x, BF (10 x).2由 PB2 PF2 BF2.2212可得：10 X 一(10 X).4 故x 6.Sabcd 162256 .例3.如图，E、F分别为正方形 ABCD的边BC、CD上的一点， AM EF , ?垂足为M , AM AB,则有EF BE DF ,为什么？【解析】：要说明EF=BE+DF只需说明BE=EM DF=FM

4、!Rr,而连结AE、AF.只要能说明 AB图 AME ADH AMF即可.理由：连结AE AF.由 AB=AM AB± BC, AML EF, AE公用, .AB珞 AMEBE=ME同理可得， ADF AMF DF=MFEF=ME+MF=BE+DFHG图2例4.如下图，E、F分别在正方形 ABCD的边BC、CD上，且 EAF 45 ,试说明EF BE DF。【解析】：将4ADF旋转到 ABC则4AD阵 ABG AF=AG / ADF=/ BAG DF=BG ./ EAF=45且四边形是正方形， / ADR / BAE=45 / GA& / BAE=45即/ GAE=45 .

5、AEF AEG (SAS EF=EG=EB BG=EB- DF例5.如图，在正方形ABCD的BC、CD边上取E、F两点，使EAF 45°, AG EF 于 G.求证：AG AB【解析】：欲证AG=AB,就图形直观来看，应证Rt ABE与Rt AGE全等，但条件不够./ EAF=45°怎么用呢？显然/ 1 + 7 2=45° ,若把它们拼在一起，问题就解决了 【证明】：把 4AFD绕A点旋转90°至4AHB. . / EAF=45 ,1+Z 2=45° . / 2=/3, .1 + Z 3=45° .又由旋转所得AH=AF, AE=AE

6、.AAEF AEH.例6. (1)如图1,在正方形ABCD中，点E, F分别在边BC,CD上，AE, BF 交于点 O, AOF 90 .求证：BE CF .(2)如图2,在正方形 ABCD中，点E, H , F , G分别在边 AB ,90 , EF 4.BC, CD, DA上，EF , GH 交于点 O, FOH求GH的长.1.已知点E, H , F , G分别在矩形ABCD的边AB, BC , CD, DA上，EF , GH交于点O, FOH 90 , EF 4.直接写出下列两题的答案:如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成，求GH的长;如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成，求

7、GH的长(用n的代数式表示).AB降 BCF,BE=CF图i图2(2)解：如图2,过点A作AM GHIx BC于M 过点B作BN/ EF交CD于N, AM与BN交于点O, 则四边形AMHG:四边形BNFE匀为平行四边形，EF=BNGH=A M /FOHk 90 , AM/ GH EF/BN, ，/ N&90 故由得，AABIW BCNAM=BNGHEF=4.(3) 8 . 4 n.巩固训练【双基训练】1.如图6,点A在线段BG上，四边形ABCD与DEFG都是正方形，？其边长分别为3cm和5cm,则CDE的面积为 cm2 .(6)2 .你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图 7所示图形.？

8、如果你所拼得的图形中正方形的面积为1 ,且正方形与正方形的面积相等，？那么正方形的面积为 .3 .如图9,已知正方形 ABCD的面积为35平方厘米，E、F分别为边 AB、BC上的点.AF、CE 相交于G,并且 ABF的面积为14平方厘米， BCE的面积为5平方厘米，？那么四边形 BEGF的面积是4 .如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB 2BC。分别以AB、BC为边作正方形 ABEF和正方形BCMN，连接FN , EC。求证：FN EC。AG 于 E , BF AG 于 F .5 .如图，ABCD是正方形. G是BC上的一点，DE(1)求证：ABFzXDAE；求证：DE EF FB .【纵

9、向应用】6 .在正方形ABCD中，12.,-1求证：OF BE22. AE DF,7 .在正方形ABCD中，1 求证：OG 1 CE2B DC8 .如图13,点E为正方形 ABCD对角线BD上一点，EF BC ,EG CD求证：AE FG13DGC9 .已知：点E、F分别正方形 ABCD中AB和BC的中点，连接 AF和DE相交于点G ,GH AD于点H.1、 求证：AF DE ；2、 如果AB 2,求GH的长;3、 求证：CG CD【练习题答案】21 . 6cm.2 . 36.3 . 4 20cm （面积法）.274 .证明：FN=EC证明：在正方形 ABEF和正方形BCMNKAB=BE=EF

10、 BC=BN / FEN=/ EBC=90 AB=2BCEN=BC . FE阵 EBCFN=EC5 .略6 .提示：注意到基本图形中的 AE=AF.1 .两次应用内角平分线定理和CE=CF证2 .过点。作 OGII DE和 CO=CG,CF=CET证.1 13 , 过点。作 OHI BE, OF= OH=- BE27 .提示：一条线段的一半或 2倍这两者的位置关系有哪两种8 .提示：延长 AE交GF于点M, DC,使CH=DGa接HF,证四边形又扪I互补，法2:延长FE, AE证全等三角形一一49 . （1）略（2） （3）作 CML DG,证 DM=AG=0.5DG5专题(1)定义：有一组邻

11、边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。(2)特征：边：两组对边分别平行；四条边都相等；内角：四个角都是 90° ;对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角。(3)主要识别方法：1: 对角线相等的菱形是正方形2: 对角线互相垂直的矩形是正方形3: 四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形4: 一组邻边相等的平行四边形是正方形5: 一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形依次连接四边形各边中点所得的四边形称为 中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。正方形的中点四 边形是正方形。典例精讲例1.已知：如图，P是正

12、方形ABCD内PAD PDA 15 .求证： PBC是正三角形.【证明】：如下图做 DGC与4ADP全等，可得 PD助等边,从而可得 DG冬 APN CGP, 得出 PC=AD=DC,口/ DCGW PCG= 150所以/ DCP=30,从而得出 PBC是正三角形例2.如图，分别以 ABC的AC和BC为一边，在ACDE和正方形CBFG,点P是EF的中点.求证：点P到边AB的距离等于 AB的一半.【证明】：过 E,C,F点分别作AB所在直线的高 EG CIEG+ FH可得PQ=。2由 EG冬 AIC,可得 EG=AI,A Q由BFHACBI,可得 FH=BI。从而可得PQ=公仁二任，22从而得证

13、。AC , AE与CD相交于F .例4.如图，四边形 ABCD为正方形，DE/AC, AE 求证：CE CF .【证明】：顺时针旋转 ADE到 ABG连接CG.由于/ ABGW ADE=90+450=1350从而可得B, G, D在一条直线上，可得 AGBACGB 推出AE=AG=AC=G3得 AGC等边三角形。/AGB=30,既彳导/ EAC=30,从而可得/ A EC=75°。又/ EFC=/ DFA=45+300=750.可证：CE=CF例6.设P是正方形 ABCD 一边BC上的任一点， PF AP, CF平分 DCE .求证：PA PF .【证明】：作 FG1 CD FE&#

14、177; BE,可以得出 GFEC正方形。令 AB=Y , BP=X ,CE=Z ,可得 PC=Y-X 。tan / BAP=tanZ EPF=X =,可得 YZ=XY-X+XZ,Y Y- X + Z即 Z(Y-X)=X(Y-X),既得 X=Z ,得出 AB国 PEF , 得至I PA= PF ,得证。例7.已知：P是边长为1的正方形 ABCD内的一点，求 PA PB PC的 最小值.【证明】：顺时针旋转 BPC 600 ,可得 PBE为等边三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+寰使最小只要 AP, PE, EF在一条直线上，即如下图：可得最小 PA+PB+PC=AF既得af= : +2+

15、 3J4 + ；3=J> 22( 3+1)PA a, PB 2a, PC 3a,求正方形的 边长.【证明】顺时针旋转 ABP 90 0 ,可得如下图:既得正方形边长L =(2+ C-)2 ga = 5+ 2'/2 ga【双基训练】1 .如图，四边形 ABCD是正方形，对角线 AC、BD相交于O,四边形BEFD是菱形，若正方形的边长为6,则菱形的面积为 2 .如图，ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AFEC?恰是一个菱形，？则 EAB=【纵向应用】3 .如图，四边形 ABCD是边长为a的正方形，点 G, E分别是边 AB , BC的中点， AEF 90 ,且EF交正方形外角的

16、平分线 CF于点F .(1)证明：BAEFEC ;(2)证明：AGEECF ;(3)求 AEF的面积.【横向拓展】4 .如图，四边形 ABCD是正方形， ABE是等边三角形， M为对角线BD （不含B点）上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM .求证：AMB ENB;当M点在何处时， AM CM的值最小；当M点在何处时， AM BM CM的值最小，并说明理由；当AM BM CM的最小值为 J3 1时，求正方形的边长.【练习题答案】1 . 362 .【解析】连结 BD交AC于点O,彳EML AC于点M设正方形边长为 a,贝U AC=BD=AE=2a又 AC/ BF,

17、 BOL AC, EML AC,-12BO=EM=BD=-a. 正在 RtAEM中，AE=V2 a, EM=- a./ CAE=30 .则/ EAB=15 .3 . (1)证明：AE=90°,/ FEG/AEE=90°.在 RtMBE中,/ AEE+Z BAE=90o, / BAE：/ FEC(2)证明：: G, E分别是正方形 ABCD勺边AB BC的中点, AG=GB=BE=EC/ AGE180o 45o=135o.又 CF是/ DCH勺平分线，/ EC=900+45o=135°.在 AG序口 EC升，AG EC,AGE ECF 1350,GAE FECAGE

18、2 ECF(3)解：由 AG日 ECF 彳导 AE=EF 又AEF=900,.AEF是等腰直角三角形.1,5由 AB=a BE= a,知 AE=-a,. Sa aef= a2.84.【解析】： ABE是等边三角形， .BA= BE, Z ABE= 60° . / MBNk 60° , / MBNb / ABNk / ABE- / ABN.即/ BMA= / NBE.又 MB= NR .AM军 ENB (SAS . 5分当M点落在BD的中点时，AW CM的值最小.如图，连接 CE,当M点位于BD与CE的交点处时，AM BM CM勺值最小.理由如下：连接 MN由知， AM望 ENBAM= EN. . / M