高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的简单性质二作业 北师大版选修11

1、我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 进 进 入 入 新 新 常 常 态 态 ， ， 需 需 要 要 转 转 变 变 经 经 济 济 发 发 展 展 方 方 式 式 ， ， 改 改 变 变 粗 粗 放 放 式 式 增 增 长 长 模 模 式 式 ， ， 不 不 断 断 优 优 化 化 经 经 济 济 结 结 构 构 ， ， 实 实 现 现 经 经 济 济 健 健 康 康 可 可 持 持 续 续 发 发 展 展 进 进 区 区 域 域 协 协 调 调 发 发 展 展 ， ， 推 推 进 进 新 新 型 型 城 城 镇 镇 化 化 ， ， 推 推 动 动 城 城 乡 乡 发 发 展 展

2、一 一 体 体 化 化 因 因 ： ： 我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 还 还 面 面 临 临 区 区 域 域 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 、 、 城 城 镇 镇 化 化 水 水 平 平 不 不 高 高 、 、 城 城 乡 乡 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 不 不 协 协 调 调 等 等 现 现 实 实 挑 挑 战 战 。 。2.3.22.3.2 双曲线的简单性质（二）双曲线的简单性质（二）a.基础达标1直线ykx2 与双曲线x2y22 有且只有一个交点，那么k的值是()a1b 3c1， 3d 2解析：选 c.把ykx2 代入x2y22，整理得，(1k2)

3、x24kx60.当 1k20，即k1 时，ykx2 与双曲线渐近线平行，满足要求当 1k20 时，当ykx2 与x2y22 相切时，满足要求，即0，得k 3.综上可知，满足条件的k的值为1， 3.2已知双曲线e的中心在原点，f(3，0)是e的焦点，过f且斜率为 1 的直线l与e相交于a，b两点，且ab中点为n(12，15)，则e的方程为()a.x23y261b.x24y251c.x26y231d.x25y241解析： 选 b.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，e的方程为x2a2y2b21(a0，b0)， 则x21a2y21b21，x22a2y22b21，得（x1x2） （x1x2）a2（y

4、1y2） （y1y2）b20，因为x1x224，y1y230，y1y2x1x21，所以 4b25a2，又因为c3，所以a2，b 5，故e的方程为x24y251.3已知双曲线的方程为x2a2y2b21(a0，b0)，过左焦点f1作斜率为33的直线交双曲线的右支于点p，且y轴平分线段f1p，则双曲线的离心率为()a. 3b. 51c. 2d2 3解析： 选a.由题意得p的横坐标为c， 由c2a2y2b21得yb2a， 即p(c，b2a)，kf1pb2ac（c）c2a22ace212e33得e 3.4已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)，若过右焦点f且倾斜角为 30的直线与双曲线的右支有两个交

5、点，则此双曲线离心率的取值范围是()a(1，2)b(1，233)c2，)d233，)我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 进 进 入 入 新 新 常 常 态 态 ， ， 需 需 要 要 转 转 变 变 经 经 济 济 发 发 展 展 方 方 式 式 ， ， 改 改 变 变 粗 粗 放 放 式 式 增 增 长 长 模 模 式 式 ， ， 不 不 断 断 优 优 化 化 经 经 济 济 结 结 构 构 ， ， 实 实 现 现 经 经 济 济 健 健 康 康 可 可 持 持 续 续 发 发 展 展 进 进 区 区 域 域 协 协 调 调 发 发 展 展 ， ， 推 推 进 进 新 新 型

6、型 城 城 镇 镇 化 化 ， ， 推 推 动 动 城 城 乡 乡 发 发 展 展 一 一 体 体 化 化 因 因 ： ： 我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 还 还 面 面 临 临 区 区 域 域 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 、 、 城 城 镇 镇 化 化 水 水 平 平 不 不 高 高 、 、 城 城 乡 乡 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 不 不 协 协 调 调 等 等 现 现 实 实 挑 挑 战 战 。 。解析：选 b.双曲线x2a2y2b21 的渐近线为ybax，由题意得，0batan 3033，即c2a2a33.又因为e1，所以e(1，2 33)5已

7、知直线y12x与双曲线x29y241 交于a，b两点，p为双曲线上不同于a，b的点，当直线pa，pb的斜率kpa，kpb存在时，kpakpb()a.49b.12c.23d与p点位置有关解析：选 a.设点a(x1，y1)，b(x2，y2)，p(x0，y0)，则由y12x，x29y241得y2367，则y1y20，y1y2367，x1x20，x1x24367.由于kpakpby1y0 x1x0y2y0 x2x0y20y1y2x20 x1x2y203679（y2041）4367y2036794（y20367）49，即kpakpb为定值49，故选 a.6双曲线x29y2161 的左、右焦点分别为f1，

8、f2.给定四条直线：5x3y0；xy40；5x3y520；4x3y150.如果上述直线上存在点p，使|pf2|pf1|6，则满足这样条件的直线对应的序号是_解析：由x29y2161，所以a29，b216，所以c225，c5，由双曲线的定义，双曲线上任意一点p满足|pf2|pf1|610.当直线上存在点p满足|pf2|pf1|6 时，说明直线与双曲线的左支有公共点由已知双曲线的渐近线方程为y43x，对于两直线的斜率均为5343，故均与双曲线左支无公共点，经验证表示的直线与双曲线有交点答案：7 直线l与双曲线x22y21 相交同一支于a，b两点， 线段ab的中点在直线y2x上，则直线ab的斜率为_

9、解析：设l的方程为ykxb，由x22y21，ykxb消去y得：(12k2)x24kbx2b220.因为l与双曲线交于a，b两点，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 进 进 入 入 新 新 常 常 态 态 ， ， 需 需 要 要 转 转 变 变 经 经 济 济 发 发 展 展 方 方 式 式 ， ， 改 改 变 变 粗 粗 放 放 式 式 增 增 长 长 模 模 式 式 ， ， 不 不 断 断 优 优 化 化 经 经 济 济 结 结 构 构 ， ， 实 实 现 现 经 经 济 济 健 健 康 康 可 可 持 持 续 续 发 发 展 展 进 进 区

10、 区 域 域 协 协 调 调 发 发 展 展 ， ， 推 推 进 进 新 新 型 型 城 城 镇 镇 化 化 ， ， 推 推 动 动 城 城 乡 乡 发 发 展 展 一 一 体 体 化 化 因 因 ： ： 我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 还 还 面 面 临 临 区 区 域 域 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 、 、 城 城 镇 镇 化 化 水 水 平 平 不 不 高 高 、 、 城 城 乡 乡 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 不 不 协 协 调 调 等 等 现 现 实 实 挑 挑 战 战 。 。故8b2816k20，12k20，由根与系数的关系知：x1x24kb

11、12k2，则y1y2k(x1x2)2b2b12k2.因为线段ab的中点在直线y2x上，所以有b12k24kb12k2，得k14，满足式当直线l的斜率不存在时，不符合题意答案：148已知双曲线c：x2a2y2b21(a0，b0)，若存在过右焦点f的直线与双曲线c相交于a，b两点，且af3bf，则双曲线离心率的最小值为_解析：因为过右焦点的直线与双曲线c相交于a，b两点且af3bf，故直线与双曲线相交只能是如图所示的情况，即a点在双曲线的左支，b点在右支，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，右焦点f(c，0)，因为af3bf，所以cx13(cx2)，3x2x12c，由图可知，x1a，x2a，所以

12、x1a，3x23a，故 3x2x14a，即 2c4a，ca2，即e2，所以离心率的最小值为 2.答案：29已知双曲线c：x2a2y2b21(a0，b0)的焦距为 4，且经过点(3，2 6).(1)求双曲线c的方程和其渐近线方程；(2)若直线l：ykx2 与双曲线c有且只有一个公共点， 求所有满足条件的k的取值解：(1)由题意可知：双曲线的焦点为(2，0)和(2，0)，根据定义有 2a| （32）2（2 60）2 （32）2（2 60）2|2，所以a1，由以上可知：a21，c24，b23.所以所求双曲线c的方程为x2y231.渐近线方程为y 3x.(2)由ykx2x2y231，得(3k2)x24

13、kx70.当 3k20 即k 3时，此时直线l与双曲线相交于一个公共点，符合题意；当 3k20 即k 3时，由0 得k 7，我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 进 进 入 入 新 新 常 常 态 态 ， ， 需 需 要 要 转 转 变 变 经 经 济 济 发 发 展 展 方 方 式 式 ， ， 改 改 变 变 粗 粗 放 放 式 式 增 增 长 长 模 模 式 式 ， ， 不 不 断 断 优 优 化 化 经 经 济 济 结 结 构 构 ， ， 实 实 现 现 经 经 济 济 健 健 康 康 可 可 持 持 续 续 发 发 展 展 进 进 区 区 域 域 协 协 调 调 发 发 展

14、展 ， ， 推 推 进 进 新 新 型 型 城 城 镇 镇 化 化 ， ， 推 推 动 动 城 城 乡 乡 发 发 展 展 一 一 体 体 化 化 因 因 ： ： 我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 还 还 面 面 临 临 区 区 域 域 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 、 、 城 城 镇 镇 化 化 水 水 平 平 不 不 高 高 、 、 城 城 乡 乡 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 不 不 协 协 调 调 等 等 现 现 实 实 挑 挑 战 战 。 。此时直线l与双曲线相切于一个公共点，符合题意，综上所述：符合题意的k的所有取值为 3， 3， 7， 7.10已

15、知中心在原点的双曲线c的右焦点为(2，0)，右顶点为( 3，0)(1)求双曲线c的方程；(2)若直线l：ykx 2与双曲线c恒有两个不同的交点a和b，且oaob2(其中o为原点)，求k的取值范围解：(1)设双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)由已知得a 3，c2，再由a2b222，得b21.故双曲线c的方程为x23y21.(2)将ykx 2代入x23y21 得(13k2)x26 2kx90.由直线l与双曲线交于不同的两点得13k20，（6 2k）236（13k2）36（1k2）0，即k213且k22 得xaxbyayb2，而xaxbyaybxaxb(kxa 2)(kxb 2)(k21)

16、xaxb 2k(xaxb)2(k21)913k2 2k6 2k13k223k273k21.于是3k273k212，即3k293k210，解此不等式得13k23.(*)由(*)(*)得13k21.故k的取值范围为(1，33)(33，1)b.能力提升1已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线平行于直线l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()a.x25y2201b.x220y251c.3x2253y21001d.3x21003y2251解析：选 a.由题意得：ba2，左焦点为(c，0)在y2x10 上，得c5，a 5，b2 5.故双曲线的标准方程为x25y220

17、1.2设双曲线c的中心为点o，若有且只有一对相交于点o，所成的角为 60的直线a1b1和a2b2，使|a1b1|a2b2|，其中a1，b1和a2，b2分别是这对直线与双曲线c的交点，则该双我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 进 进 入 入 新 新 常 常 态 态 ， ， 需 需 要 要 转 转 变 变 经 经 济 济 发 发 展 展 方 方 式 式 ， ， 改 改 变 变 粗 粗 放 放 式 式 增 增 长 长 模 模 式 式 ， ， 不 不 断 断 优 优 化 化 经 经 济 济 结 结 构 构 ， ， 实 实 现 现 经 经 济 济 健 健 康 康 可 可 持 持 续 续 发

18、发 展 展 进 进 区 区 域 域 协 协 调 调 发 发 展 展 ， ， 推 推 进 进 新 新 型 型 城 城 镇 镇 化 化 ， ， 推 推 动 动 城 城 乡 乡 发 发 展 展 一 一 体 体 化 化 因 因 ： ： 我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 还 还 面 面 临 临 区 区 域 域 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 、 、 城 城 镇 镇 化 化 水 水 平 平 不 不 高 高 、 、 城 城 乡 乡 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 不 不 协 协 调 调 等 等 现 现 实 实 挑 挑 战 战 。 。曲线的离心率的取值范围是()a.2 33，2b

19、.2 33，2c.2 33，d.2 33，解析： 选 a.由双曲线的对称性知， 满足题意的这一对直线也关于x轴(或y轴)对称 又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30且小于等于 60，即 tan 30batan 60，所以13b2a23.又e2ca2c2a21b2a2，所以43e24，所以2 330，b0)的渐近线方程为y 3x，o为坐标原点，点m( 5， 3)在双曲线上(1)求双曲线c的方程；(2)若直线l与双曲线交于p，q两点，且opoq0，求|op|2|oq|2的最小值解：(1)双曲线c的渐近线方程为y 3x，所以b23a2，双曲线的方程可设为

20、 3x2y23a2.因为点m( 5， 3)在双曲线上，可解得a24，所以双曲线c的方程为x24y2121.(2)设直线pq的方程为ykxm，点p(x1，y1)，q(x2，y2)，将直线pq的方程代入双曲线c的方程，可化为(3k2)x22kmxm2120，所以3k20，（2km）24（3k2） （m212）0.x1x22km3k2，x1x2m2123k2.由opoq0 x1x2y1y20，即(1k2)x1x2km(x1x2)m20，所以(1k2)m2123k2km2km3k2m20，化简得m26k26，|op|2|oq|2|pq|2(1k2)(x1x2)24x1x224384k2（k23）2.当

21、k0 时，|pq|224384k2（k23）224 成立，且满足，又因为当直线pq垂直于x轴时，|pq|224，所以|op|2|oq|2的最小值是 24.6(选做题)已知双曲线c：x2a2y2b21(a0，b0)，如图，b是右顶点，f是右焦点，点a在x轴正半轴上，且满足：|oa|，|ob|，|of|成等比数列，过f作双曲线c在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为p.我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 进 进 入 入 新 新 常 常 态 态 ， ， 需 需 要 要 转 转 变 变 经 经 济 济 发 发 展 展 方 方 式 式 ， ， 改 改 变 变 粗 粗 放 放 式 式 增 增 长 长 模 模 式 式 ， ，