2020高一数学必修一：指数函数和幂指函数(1对1讲义)

1、3（1）n N， 且 n 1；nn aaa a 0a a 0（3）负数没有偶次方根；3、我们规定：m（ 1 ） an nama4）零的任何次方根都是零。0,m,n N ,n 1 ；2）an10,m,n N ,n 1指数函数和幂指函数一、知识梳理1、有理数指数幂的分类6 4 7n个 48（ 1）正整数指数幂 an a a a L a （n N ）； （2）零指数幂 a0 1 （a 0） ； （ 3）负整数指数幂 a n 1n a 0,n Nan（4）0的正分数指数幂等于 0, 0 的负分数指数幂没有意义。2、有理数指数幂的性质（1）aman am n a 0,m,n Q（2）amamn a 0,

2、m,n Q3） abambm a 0,b 0,m Q3、无理数指数幂 若a > 0， P是一个无理数，则 ap 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的 运算性质，对于无理数指数幂都适用。4、根式1、根式的定义：一般地，如果 xn a，那么 x叫做 a的 n次方根，其中 n 1,n N n a 叫做根式， n 叫做根指数， a 叫被开方数。2、对于根式记号 n a ，要注意以下几点：2）当n是奇数，则 n an a ；当n是偶数，则例题精讲】一）有理数指数幂及运算性质 例 1、把下列各式中的 a 写成分数指数幂的形式1）a5 256 ；（ 2） a 4 28 ；（3） a 3n 35m m,

3、n N例 2、计算 （1） 92=；3（2）16 2 =同步练习：1；（2）100 2 =2求值： 1、（1） 83 =2、下列式子中字母均为正数21111 5 1 31）（2a3b2）（ 6a2b3） （ 3a6b6） =；（2）（m4n8）8=要熟悉分数指数幂的概念及运算。总结：该部分主牢记mannmaa0,m,n N ,n 1m an1 m an 无理数指数幂 例 3 、化简（式中字母都是正数） 2x 2 3y 31a 0,m,n N ,n 1 nma2x 2 3y 3同步练习：11化简 4x 2 ?3x 23y3 ?y 3（三）根式例 4 、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）a2

4、 ? a（2） a3?3 a2同步练习：1、用根式的形式表示下列各式 （ a 0）331） a4= ； （2） a 5=2、用分数指数幂的形式表示下列各式：3a?4a=2）题型二、 指数函数1、指数函数定义：形如 y ax（a 0,且a 1） 称指数函数2、指数函数 y ax 在底数 a>1 及 0<a<1 这两种情况下的图象和性质如下表所示：a>10<a<1图象性质定义域： R值域：（0,+ ）过点（ 0,1 ）, 即 x=0时 y=1在 R上是增函数 , 当 x<0 时,0 <y <1; 当 x>0 时 , y>1在 R上是

5、减函数 ,当 x<0时, y >1; 当 x>0 时,0 <y<1：指数函数的图像例 1、在同一坐标系中作出 y=2 和 y=（ 1 ） 两个函数的图象，并描述他们的图像 2例2、设a,b,c,d都是不等于1的正数， y ax,y bx,y cx,y d x在同一坐标系中的图像如图所示，则 a,b,c,d 的大小顺序是（ ）A. a b c dD.b a c dB. a b d cC. b a d c总结：在函数 y a例1、函数 f（x） a2 1 x在R上是减函数，则 a的取值范围是中，当 x=1时， y 与底数值相同，所以只需要画出直线 x=1 与各个函数的

6、交点即可比较同步练习：1、函数 y ax 2 1（a>0且 a 1） 恒过定点： 。二：函数的图像变换例 1、为了得到函数 y 9 3x 5的图象，可以把函数 y 3x 的图象（）A向左平移 9个单位长度，再向上平移 5 个单位长度B向右平移 9个单位长度，再向下平移 5 个单位长度C向左平移 2个单位长度，再向上平移 5 个单位长度D向右平移 2个单位长度，再向下平移 5 个单位长度同步练习：1、已知 0 a1,b 1, 则函数 y axb 的图像必定不经过（）A、第一象限B 、第二象限 C、第三象限 D、第四象限2、把函数 y2x 向 个单位得到1y (1) x 1的图像。2三：指数

7、函数的单调性例 2、比较 0.40.2,20.2,21.6 三数的大小1. 底数相同，指数不同，利用单调性比较大小 2. 底数不同，指数相同，利用商或者图像比较 . 3. 底数不同指数也不同，利用介值法比较，通常引入中间变量“1-10”2例 3、 函数 y 0.7 的单调递减区间是 注：复合函数的单调性规律服从同增异减例4、已知(a2 2a 5)3x>(a2 2a 5)1x，则 x的取值范围是 例 5、求函数 y 1 6x 2 的定义域和值域同步练习：11、设 y14 ，y28 ， y3( 2) ，则( )Ay3>y1>y2B y2>y1>y3 Cy1>y2

8、>y3 D y1>y3>y2ax，x>12、若函数 f(x) a是 R上的增函数，则实数 a 的取值42 x2，x 1范围为 ( )A(1 ， ) B (1,8)C (4,8) D 4,8)3、若函数 f (x) ax(a 1)在区间 0,2上的最大值与最小值之差为 a，求实数 a的 值4、已知，求函数的值域25、求函数 y 2 x 2x 2 的定义域，值域和单调区间26、解不等式： ax 2 x 2>a(a>0且a 1)四：指数函数与二次函数的综合例 1、函数 y a2x 2ax 1(a 0且a 1)在区间 1，1 上有最大值 14，则 a 的值是分析：令

9、 t ax可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后 t的取值 范围同步练习：111、已知 x3,2 ，求 f (x) 1x 1x 1的最小值与最大值4 x 2x2、解不等式： 4x 2 x 2 12>023、若函数 f(x) 3x ax a 的值域为 1, ) ，求实数 a的取值范围再找指数式之间4、若 2 2x 2x a 0恰有一个实数根，求 a 的取值范围总结：指数加减型的最值或者方程不等式问题一般先统一底数， 的关系，采用换元法转化为二次式来解决 五：指数型函数与函数的性质综合例 1、若函数是奇函数，求 的值同步练习：1、已知函数 f(x)xaxa(a>0 且 a 1)

10、.(1) 求 f(x) 的定义域和值域； (2) 讨论 f(x) 的奇偶性； (3) 讨论 f(x) 的单调 性.总结：函数的单调性奇偶性的判定方法对指数式仍然适用， 但是在运算量上会有 些复杂，需要重点提升运算能力 题型三、幂函数1、幂函数的概念：一般地，形如 y xa (a R) 的函数称为幂函数，其中 a 为常 数概念解读：幂函数的底数为自变量 幂函数的幂为因变量 幂函数的指数为常量2、幂函数的图像及性质y=x2 y=x3 y=x1y x2-1 y=x定义域RRR0 ， )x|x R且x 0值域R0 ， )R0 ， )y| y R且y 0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0 ， )时， 增

11、；x ( ,0 时，减增增x(0,+ ) 时， 减；x (- ,0) 时， 减定点(1，1)一：幂函数的概念1例 1、已知 y(m2 2m 2) xm2 5、下列函数式中，满足 f(x 1) f(x) 的是() (2n 3)是幂函数，求 m、n 的值同步练习已知幂函数 f (x) k·x的图象过点，则 k总结：幂函数的概念中，系数为 1、不含其他项。二：幂函数的性质例 1、比较大小：11( 1)1.5 2 ,1.7 2 (2)( 1.2)3,( 1.25)3(3)5.25 1,5.26 1,5.26 2(4)0.53,30.5,log3 0.5例 2、当 x 为正数时，若 2 x ，

12、则 x 的取值范围是x2<2x同步练习：21、讨论函数 y x5的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图总结： 1在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数 幂化为分式形式再去进行讨论；2对于幂函数 y x ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，<0， 0< <1由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即0，±1 三个曲线的形状；对大竖小和 > 1 三种情况下曲线的基本形状，还要注意 于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆： “正抛负双，横”，即 >0( 1)时图象是抛物线型； <0

13、 时图象是双曲线型； 图象是竖直抛物线型；>1 时0<<1 时图象是横卧抛物线型课堂练习】1、化简11 2 3212 16124122，结果是A、11212 32B、11 2 32、112 321322、3 6 a9 46 3 a94等于(A、a16B、a8C、a4D、 a1 3、若 a 1,b0, 且 aba b 2 2,则 abab 的值等于()A、6B 、2 C、2 D、24、函数 f (x)2xa1在 R 上是减函数，则a 的取值范围是()A、a1B 、a 2 C、a 2 D、 1 a 2A、1(x 1) B2、 x 1 C4、2xD、 2 x6、下列 f (x) (

14、1ax)2ga x 是()A、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数D 、既奇且偶函数7、已知 a b,ab 0，下列不等式(1)a2b2 ；(2) 2a 2b ；(3)1 1 13 13 ；(4) a3 b3 ； abA、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限11、F(x)2xf(x)(x 0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则 f(x)( )A、是奇函数B 、可能是奇函数，也可能是偶函数C、是偶函数D 、不是奇函数，也不是偶函数(5)a1b1 中恒成立的有()33A、1个B、 2 个C、3 个D、 4 个8、函数 y2x 12x 1 是()2x 1A、奇函数B 、偶函数C、既奇又偶函数D 、

15、非奇非偶函数9、函数 y1x1 的值域是()2x 1A、,1B 、 ,0 U 0,C、 1, D、( , 1)U 0,xb 的图像必定不经过10、已知 0)1,baa1,则函数 y12、一批设备价值 a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低 b% ，则n年 后这批设备的价值为( )A、 na (1 b%) B 、a(1 nb%) C 、 a1 (b%)n D 、 a(1 b%)小结：图象特征函数性质a10a1a10a1向 x、 y 轴正负方向无限延伸函数的定义域为 R图象关于原点和 y 轴不对称非奇非偶函数函数图象都在 x 轴上方函数的值域为 R+函数图象都过定点( 0，1)a0 1自左向右

16、看， 图象逐渐上升自左向右看， 图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的 图象纵坐标都大 于1在第一象限内的 图象纵坐标都小 于1x 0,ax 1x 0,ax 1在第二象限内的 图象纵坐标都小 于1在第二象限内的 图象纵坐标都大 于1x 0,ax 1x 0,ax 1图象上升趋势是 越来越陡图象上升趋势是 越来越缓函数值开始增长 较慢，到了某一 值后增长速度极 快；函数值开始减小 极快，到了某一 值后减小速度较 慢；课后作业：31化简 3 ( 5)2 4的结果为C 5D5A 5B 52化简 (3 6 a9 )4 (6 3 a9 )4 的结果为( )A a16Ba8Ca4Da22 x 1,x 0,3

17、设函数 f(x)1,若f(x0) 1,则x0的取值范围是x2,x 0.()A(1，1)B( 1， )C (, 2) (0,) D(, 1) (1,)4设0.9y1 40.9, y20.441 1.580.44,y3 (2) 1.5 ，则()Ay3>y1>y2By2>y1>y3Cy1>y2>y3Dy1>y3>y25当x 2，2) 时， y=3x1的值域是()A 8，88B 8 ，8C1( 1 ， 9)D11 ， 999996在下列图象中，二次函数 y=ax2bxc 与函数 y=( b ) x的图象可能是()7已知函数 f ( x)的定义域是(0 ，

18、 1) ，那么 f (2 x)的定义域是()A(0，1)B( 1 ， 1)C( ， 0)D(0 ， )23x3x8若 a2x 2 1，则axa x 等于()aaA2 2 1B22 2C2 2 1D 2 19设 f(x)满足 f(x)f(4x)，且当 x>2 时f ( x)是增函数，则 af (1.1 0.9)， b= f (0.9 1.1)，c f (log1 4)的大小关系是2()A a>b>c B b>a>cC a>c>b D c>b>a10若集合M y|y 2x,P y|y x 1，则 MP=( )Ay|y 1By|y 1Cy|y 0Dy| y 011若集合 Sy|y3x，xR，Ty|yx21，xR，则 ST是()ASBTCD有限集12下列说法中，正确的是()任取 xR都有 3x>2x当 a>1 时，任取 x R都有 ax>axy=( 3) x是增函数y=2| x| 的最小值为 1在同一坐标系中， y=2x与 y=2x 的图象对称于 y 轴ABCD二、填空题：113计算： (1) 1 4 ( 2) 19求函数 y=3 x2 2x 3 的定义域、值域和单调区间 (1)0 9 2414函数 y a x在 0,1 上的最大值与最小值的和为 3，则a15