大学生数学竞赛非数试题及答案

1、大学生数学竞赛（非数学类）试卷及标准答案考试形式：闭卷考试时间： 120分钟 满分： 100分.题 号一二三四五六七八总分满分205101510101515100：业得分专注意： 1. 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无得分一、填空（每小题5分，共 20分）.效. 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记 .评阅人 (1)计算 lim1cosx=.x0x(1 cos x )：(2)设 f (x) 在 x2 连续，且 limf ( x)3 存在，则 f (2)=.x 2x2级1线)2 tx年(3)若 f (t )lim t (1，则 f(t ).xx(4)已知 f

2、 ( x) 的一个原函数为 ln 2x ，则 xf ( x)dx =.封（1(2t1)e2t.(4)2 ln xln2xC .1）.(2)3.(3)：2校得分二、 （5 分）计算yx2 dxdy ，其中院在密评阅人D所D ：0x1，0y1 .解：yx2 dxdy =(x 2y)dxdy +( yx 2 )dxdy -2 分DD1 :y x2D2 :y x2：=1x2y) dy +11号dx(x 2dxx2 ( y x 2 )dy -4 分证00011 -5 分 .份=身30得分f ( x 2 ) ，其中 f三、（ 10 分）设 ysin具有二阶评阅人导数，求 d 22y .dx解： dy2xf

3、 (x 2 ) cos f ( x2 ), -3分：dx名姓d 2 y2 f ( x 2 ) cos f (x 2 )4x2f ( x 2 ) cos f (x 2 )4x 2 f ( x 2 ) 2 sin f (x 2 ) -7 分dx2= 2 f( x 2 ) cos f (x 2 ) 4x 2 f(x2 ) cos f ( x 2 ) f( x2 ) 2 sin f ( x2 ) -10 分.得分ln aex四、（ 15 分）已知评阅人01ln a3 2ex dx解：ex023 2ex dx1 ，求 a 的值 .3ln a32ex d (32ex ) -3 分0令 32ext ，所以l

4、n axx13 2ae3 2edxt dt -6 分021= 1 2 t2 332 3 2 a1-7 分=1(32a)31 ， -9分31 ，故11 = 1 ，-12由ln aex32ex dx(32a)3分0333即 (32a)3 =0-13 分亦即 32a0 -14分所以 a3 -15 分.2得分评阅人五、（ 10 分）求微分方程 xy y ex0 满足条件 y x 1 e的特解 .解：原方程可化为：y1 yex-2分xx业这是一阶线性非齐次方程，代入公式得专1ex1yedxdxCxxe x dx-4分= eln xexln xdxC -5分xe：=1exdxC -6分级x年线封=1(ex

5、C ) .-7 分x1 (ex所以原方程的通解是 yC ) .-8 分x再由条件 y x 1 e，有 eeC ，即 C 0 ，-9 分因此，所求的特解是 yex.-10 分 .x得分六（ 10 分）、若函数f (x) 在 (a, b) 内具有二阶导评阅人数，且 f ( x1 )f (x2 )f (x3 ) ，其中ax1x2x3b ，证明：在 ( x1 , x3 ) 内至少有一点，使 f ( )0 。证：由于 f (x) 在 ( a, b) 内具有二阶导数，所以f ( x) 在 x1 , x2 上连续，在 (x1 , x2 ) 内可导，再根据题意 f ( x1 ) f ( x2 ) ，由罗尔定理

6、知至少存在一点1 (x1 , x2 ) ，使 f ( 1 ) =0； -3分同理，在 x2 , x3 上对函数 f (x) 使用罗尔定理得至少存在一点2( x2 , x3 ) ，使f ( 2 ) =0；-6 分对于函数 f ( x) ，由已知条件知 f ( x) 在 1， 2上连续，在（ 1 ， 2 ）内可导，且 f ( 1 ) = f ( 2 ) =0，由罗尔定理知至少存在一点（ 1，2 ），使 f ( ) 0 ，而 1 ， 2 ） ( x1 , x3 ) ，故结论得证 -10 分.：得分x0 ， x1 围成平面图形 D .业七、（ 15 分）已知曲线 ye ，y sin x 和直线 x专评

7、阅人（1）求平面图形 D 的面积 A ；（ 2）求 D 绕 x 轴旋转所成立体的体积 .1sin x)dx -2 分解：（ 1） A(ex0(excosx) 10 -4 分ecos1 2 -5 分：级线年封（2）因为 Vxb2 ( x)dx ，-6f分a所以 Vx1sin 2 x)dx -9 分0(e2 x1 e2 x1 x1 sin 2x1=-11 分2240=1 (e21)11 sin 2-13分224=1(e21sin 2)1 .-15分 .22得分f ( x, y, z) 有连续的一阶偏导数，又函数yy( x) 及 zz( x) 分别由八、（ 15 分）设 u评阅人下列两式确定：exyxy2和exx z sin tdt ，求du0.tdx解： duffdyfdz ，（ 1） -4 分dxxydxzdx由 exyxy2两边对 x 求导，得exy ( yx dy )( yx dy ) =0，-7分dxdx即 dyy -9分dxx又由 exx z sin td