九年级数学上册 28.5 弧长和扇形面积的计算 展、围、转解剖圆锥的三把利刃素材 新版冀教版

1、展、围、转解剖圆锥的三把利刃“展、围、转”三把利刃为我们从不同侧面研究圆锥（柱）提供了可以信赖的有效操作手段，架起立体图形与平面图形相互转化的桥梁.对诠释圆锥扇形（侧面展开图）、圆柱矩形（侧面展开图）元素之间的相互关系起到了极为重要的作用.下面结合近年的考题阐释如下.1、“展”把一个圆锥 （柱）的侧面沿它的一条母线剪开，平铺展开在一个平面上得到的图形称为圆锥 （柱）的侧面展开图.圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长；圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即母线长，另一边长等于底面圆的周长（见图甲）.如果我们在解题时能够抓住“

2、展”之前、后相关元素之间的等量关系，可谓是“天堑变通途”计算时便会游刃有余.a图1例1、如图1，小丽自己动手做了一顶圆锥形的圣诞帽，母线长是，底面半径是，她想在帽子上缠一根漂亮的丝带，从出发绕帽子侧面一周，至少需要丝带（）图1adabc d分析：将帽子展开得到如图1所示的扇形oab，其中弧ab的长度就是帽子底面圆的周长，所以2×10=，aob=120°，线段ab的长度就是从出发绕帽子侧面一周，至少需要丝带的长.过点o作odab，oa=ob，根据等腰三角形的三线合一的性质知aod=60°，在rtado中，ad=oa·sin60°ab=2 ad=2

3、oa·sin60°=2×30×=30.故选c.2、“围”cbad图2“围”与“展”是圆锥（柱）与侧面展开图之间逆向转化的两种手段.既可以把扇形围成圆锥侧面也可以把矩形围成圆柱侧面，此时扇形的弧长变成圆锥底面的周长，扇形的半径变成圆锥的母线；矩形的一边长变成圆柱底面的周长，矩形的另一边长等于圆柱的高（或母线长）.例2、已知一个圆柱体侧面展开图为矩形（如图2），若，则该圆柱体的体积约为 （取，结果精确到0.1）分析：由于本题未告诉怎样去“围”，因而应分类来考虑，若用边长ab围成圆柱底面圆的周长，此时圆柱体的体积约为×18.28=59.2 （cm3）

4、或若用边长bc围成圆柱底面圆的周长，此时圆柱体的体积约为×6.28=177.5（cm3）例3、如图3，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形（1）求这个扇形的面积（结果保留）（2）在剩下的三块余料中，能否从第块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由（3）当o的半径为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由析解：（1）连接，由勾股定理求得：图3（2）连接并延长，与弧和交于， 弧的长： 圆锥的底面直径为：，不能在余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥（3）由勾股定理求得： 弧的长： 圆锥的底面直径为：且 即无论半径为何值，不能在余料中剪出一个圆作为底

5、面与此扇形围成圆锥3、“挖”例4（06年贵阳）、如图2，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径ab =，高bc =，求这个零件的表面积；（结果保留）图2分析：本题是一道与零件的表面的计算有关的实际问题，观察零件表面可知其表面是由圆柱的侧面，圆锥的侧面以及圆组成，分别求出圆锥侧面积，圆柱侧面和圆的面积.然后将三者相加即可.解：这个零件的底面积 =，这个零件的侧面积 = ，圆锥母线长ob =.这个零件的内侧面积 = ，这个零件的表面积为：.4、“转”由于圆柱（锥）可以看作是旋转体，直角三角形绕其中的一条直角边旋转

6、一周可以形成一个圆锥，矩形绕其中的一边旋转一周得到圆柱.不同的旋转轴会形成不同的圆柱（锥）.因此，如果碰到圆柱（锥）是由某图形旋转得到，而且没有说明其中的旋转轴的问题时，我们应该分类来考虑.第14题图fabc如图，中，将绕所在的直线旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的侧面积 （取3.14，结果保留两个有效数字）如图，在rtabc中，c=90°，ac=3，bc=4.以直线ab为轴，把abc旋转1周，求所得几何体的表面积.abcd分析：过点d作cdab，则以直线ab为轴，把abc旋转1周，得到两个底面半径为cd相同的圆锥，其中一个圆锥的母线是ac，另一个圆锥的母线是bc.由面积公式得ac&

7、#183;bc=cd·ab cd=2.4，所得几何体的表面积为cd·ac+cd·bc=cd（ac+bc）=2.4×7=16.8.请同学们思考：本题若改为绕rtabc的一边为轴旋转，所得几何体的表面积，应如何解答呢？尝试探究：1、（09年山东省日照市）将直径为60cm的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为（ ）（a）10cm （b）30cm（c）40cm （d）300cm2、（09年杭州市）如图是一个几何体的三视图。（1）写出这个几何体的名称；（2）根据所示数据计算这个几何体的表面积；（3）如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点b出发，沿表面爬到ac的中点d，请你求出这个线路的最短路程3、09黔东南州设矩形abcd的长与宽的和为2，以ab为轴心旋转一周得到一个几何体，则此几何体的侧面积有（ ）（a）最小值4（b）最大值4（c）最大值2（d）最小值2我国经济