函数的奇偶性.ppt

1、xyo1xyoyxoxo1y第三章函数的基本性质3.4.1 函数的基本性质奇偶性奇偶性xyo如何用数学语言表述函数如何用数学语言表述函数图象关于图象关于y轴对称呢？轴对称呢？y = f (x)函数图象关于函数图象关于y轴对称轴对称. .yxoxyo y = f(x)a(x0，f (x0)点点a关于关于y轴的对称点轴的对称点a的坐标是的坐标是_.点点a在函数在函数 y = f (x) 的图象上吗的图象上吗？点点a的坐标还可以表示为的坐标还可以表示为_.你发现了什么你发现了什么？(x0，f (x0)(x0，f (x0)0 x0 x奇偶性定义奇偶性定义那么称 是 偶偶函数( )yf x( )f x如

2、果对于函数 的定义域内的任意任意一个 , 都有都有 x()( )fxf x偶函数的图像是以 轴为对称轴的轴对称图形.一个函数的图像关于 轴对称，那么它是偶函数.yyyxo)0(1)(xxxf3)(xxfxyo奇偶性定义奇偶性定义那么称 是偶偶函数( )yf x( )f x如果对于函数 的定义域内的任意任意一个 , 都有都有 x()( )fxf x那么称 是奇奇函数( )yf x如果对于函数 的定义域内的任意任意一个 , 都有都有 x()( )fxf x ( )f x那么称 是奇奇函数( )yf x如果对于函数 的定义域内的任意任意一个 , 都有都有 x()( )fxf x ( )f x奇偶性定

3、义奇偶性定义奇函数的图像是以原点为对称中心的中心对称图形.一个函数的图像关于原点中心对称，那么它是奇函数. 3 ,(,)(2xxxf 1 , 2,3)(3xxxg 3 ,(,)(2xxxfxyo3xyo1-1-2 1 , 2,3)(3xxxg 具有奇偶性的函数，具有奇偶性的函数，其定义域在数轴上有怎样的特点？其定义域在数轴上有怎样的特点？函数定义域关于原点对称函数定义域关于原点对称. .函数具有奇偶性的函数具有奇偶性的必要条件必要条件是：是：函数定义域关于原点对称函数定义域关于原点对称. .即对于任意的即对于任意的 ，都有，都有adad 例例1:1:判断下列函数是否为奇函数或偶函数：判断下列函

4、数是否为奇函数或偶函数： 1(1)( )f xxx；.) 1()()3(2 xxfrxxxxf, 11)()2(2( )1xxf xx(4)( )0, 1,1f xx (5) 思考：对于定义在思考：对于定义在r上的函数上的函数 f (x)， 下列判断是否正确？下列判断是否正确？若若f (2) = f (2)，则函数，则函数 f (x)是偶函数是偶函数若若f (2) f (2)，则函数，则函数 f (x)不是偶函数不是偶函数判断函数奇偶性的方法：判断函数奇偶性的方法： (1)定义域定义域是否关于原点原点对称？(2) 与 是否相等?()fx( )f x奇函数偶函数)0)( 1)()(0)()()(

5、)(时当xfxfxfxfxfxfxf)0)( 1)()(0)()()()(时当xfxfxfxfxfxfxf例例2.2.判定下列函数的奇偶性：判定下列函数的奇偶性：(2),0( )(2),0 xx xf xxx x(1)(2)1,0( )0,01,0 xf xxx(2),0( )(2),0 xx xf xxx x(2)(2) 解:0 x 0 x 当 时，0 x ()()2()fxxx 综上，对于任意 ，都有()( )fxf x 因此函数 是奇函数.( )f x()()2()fxxx ( )f x 0 x ( )f x 当 时，), 0()0 ,(x例3.已知 是奇函数，且当 时，解析式为( )f

6、 x0 x 为 ，求： 的值.22xx( 1),( 2),( ),0fff a a解：2( 1)(1)(2 1 1 )1ff 2( 2)(2)(2 22 )0ff 当 时，0a 2( )2f aaa当 时，0a 0a( )()f afa 综上：222,0( )2,0aaaf aaaa解毕222)()(2)(aaaaaf)2(2aa 例4.已知 是奇函数，且当 时，解析式为( )f x0 x 为 ，求 时， 的解析式.|3|x x0 x ( )f x当 时，0 x ( )()f xfx 0 x 所以 时，解：思考 如果 是偶函数呢？( )f x()|()3|xx |3|x x( )|3|f xx

7、 x0 x 思考 可以求出 时的函数值吗？ 0 x 解毕例5.(1)已知 ，且3( )1,f xaxbxxr(1)2f求 的值；( 1)f 解: (1)3( ) 1f xaxbx 是奇函数() 1 ( ) 1fxf x ( 1)0f(2 1) 记( )( ) 1g xf x()( )gxg x () 1 ( ) 111ff (2) 已知 是奇函数，求( )|,f xx xaxra(2)已知 是奇函数，求 的值.( )|,f xx xaxra解:显然当 时，等式一定成立.1x | 1|1|aa 0a反之， 时， 显然为奇函数.0a ( )|f xx x所以 是 为奇函数的必要条件.0a ( )f x因此， 是奇函数，当且仅当( )f x0a 成立.解毕)()(,xfxfrx任意的axxaxxrx,任意的例6.已知 对一切 都有( )yf x, x