中考数学专题：一次函数中的构造等腰直角三角形法(解析版)

1、专题07 一次函数中的构造等腰直角三角形法 1、如图1，等腰直角三角形ABC中，ACB90°，CBCA，直线ED经过点C，过A作ADED于点D，过B作BEED于点E求证：BECCDA；解：（1）由题意可知：BEOAOD（K型全等），OEAD，k1，yx+4，B（0，4），OB4，BE3，OE，AD；（2）k时，yx+4，A（3，0），当BMAB，且BMAB时，过点M作MNy轴，BMNABO（AAS），MNOB，BNOA，MN4，BN3，M（4，7）；当ABAM，且AMAB时，过点M作x轴垂线MK，ABOAMK（AAS），OBAK，OAMK，AK4，MK3，M（7，3）；当AMBM，且

2、AMBM时，过点M作MHx轴，MGy轴，BMGAHM（AAS），BGAH，GMMH，GMMH，4MHMH3，MH，M（，）；综上所述：M（7，3）或M（4，7）或M（，）；（3）当k0时，AO，过点Q作QSy轴，ABOBQS（AAS），BSOA，SQOB，Q（4，4），OQ，当k1时，QO最小值为4；当k0时，Q（4，4），OQ，当k1时，QO最小值为4，与k0矛盾，OQ的最小值为42、已如，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0）、点B的坐标为（0，8），点C在y轴上，作直线AC点B关于直线AC的对称点B刚好在x轴上，连接CB（1）写出点B的坐标，并求出直线AC对应的函数表达式；（2）点D

3、在线段AC上，连接DB、DB、BB，当DBB是等腰直角三角形时，求点D坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点P从点B出发以每秒2个单位长度的速度向原点O运动，到达点O时停止运动，连接PD，过D作DP的垂线，交x轴于点Q，问点P运动几秒时ADQ是等腰三角形解：（1）A的坐标为（6，0）、点B的坐标为（0，8），OA6，OB8，AOB90°，AB10，B与B'关于直线AC对称，AC垂直平分BB'，BCCB'，AB'AB10，B'（4，0），设点C（0，m），OCm，CB'CB8m，在RtCOB'中，COB'90°

4、，m2+16（8m）2，m3，C（0，3），设直线AC的解析式为ykx+b（k0），把A（6，0），C（0，3）代入可得k，b3，yx+3；（2）AC垂直平分BB'，DBDB'，BDB'是等腰直角三角形，BDB'90°，过点D作DEx轴，DFy轴，DFODFBDEB'90°，EDF360°DFBDEOEOF，EOF90°，EDF90°，EDFBDB'，BDFEDB'，FDBEDB'（AAS），DFDE，设点D（a，a）代入yx+3中，a2，D（2，2）；（3）同（2）可得PDFQD

5、E，DFDE2，PDFQDE，PDFQDE（AAS），PFQE，当DQDA时，DEx轴，QEAE4，PFQE4，BPBFPF2，点P运动时间为1秒；当AQAD时，A（6，0）、D（2，2），AD2，AQ2，PFQE24，BPBFPF102，点P的运动时间为5秒；当QDQA时，设QEn，则QDQA4n，在RtDEQ中，DEQ90°，4+n2（4n）2，n1.5，PFQE1.5，BPBF+PF7.5，点P的运动时间为3.75秒，0t4，t3.75，综上所述：点P的运动时间为1秒或5秒或3.75秒3、定义：在平面直角坐标系中，对于任意P（x1，y1），Q（x2，y2），若点M（x，y）满足

6、x3（x1+x2），y3（y1+y2），则称点M是点P，Q的“美妙点”例如：点P（1，2），Q（2，1），当点M（x，y）满足x3×（12）3，y3×（2+1）9时，则点M（3，9）是点P，Q的“美妙点”（1）已知点A（1，3），B（3，3），C（2，2），请说明其中一点是另外两点的“美妙点”；（2）如图，已知点D是直线y+2上的一点点E（3，0），点M（x，y）是点D、E的“美妙点”求y与x的函数关系式；若直线DM与x轴相交于点F，当MEF为直角三角形时，求点D的坐标解：（1）3×（1+2）3，3×（32）3，点B是A、C的“美妙点”；（2）设点D（m

7、，m+2），M是点D、E的“美妙点”x3（3+m）9+3m，y3（0+m+2）m+6，故mx3，y（x3）+6x+3；由得，点M（9+3m，m+6），如图1，当MEF为直角时，则点M（3，4），9+3m3，解得：m2；点D（2，）；当MFE是直角时，如图2，则9+3mm，解得：m，点D（，）；当EMF是直角时，不存在，综上，点D（2，）或（，）4、如图，过点A（1，3）的一次函数ykx+6（k0）的图象分别与x轴，y轴相交于B，C两点（1）求k的值；（2）直线l与y轴相交于点D（0，2），与线段BC相交于点E（i）若直线l把BOC分成面积比为1：2的两部分，求直线l的函数表达式；（）连接AD，

8、若ADE是以AE为腰的等腰三角形，求满足条件的点E的坐标解：（1）将点A的坐标代入一次函数ykx+6并解得：k3；（2）一次函数y3x+6分别与x轴，y轴相交于B，C两点，则点B、C的坐标分别为：（2，0）、（0，6）；（i）SBCOOB×CO2×66，直线l把BOC分成面积比为1：2的两部分，则SCDE2或4，而SCDE×CD×xE4×xE2或4，则xE1或2，故点E（1，3）或（2，0），将点E的坐标代入直线l表达式并解得：直线l的表达式为：y±x+2；（）设点E（m，3m+6），而点A、D的坐标分别为：（1，3）、（0，2），则

9、AE2（m1）2+（33m）2，AD22，ED2m2+（43m）2，当AEAD时，（m1）2+（33m）22，解得：m或；当AEED时，同理可得：m；综上，点E的坐标为：（，）或（，）或（，）5、建立模型：如图1，等腰RtABC中，ABC90°，CBBA，直线ED经过点B，过A作ADED于D，过C作CEED于E则易证ADBBEC这个模型我们称之为“一线三垂直”它可以把倾斜的线段AB和直角ABC转化为横平竖直的线段和直角，所以在平面直角坐标系中被大量使用模型应用：（1）如图2，点A（0，4），点B（3，0），ABC是等腰直角三角形若ABC90°，且点C在第一象限，求点C的坐标

10、；若AB为直角边，求点C的坐标；（2）如图3，长方形MFNO，O为坐标原点，F的坐标为（8，6），M、N分别在坐标轴上，P是线段NF上动点，设PNn，已知点G在第一象限，且是直线y2x一6上的一点，若MPG是以G为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点G的坐标解：（1）过点C作CDx轴于点D，BDC90°AOB，BCD+DCB90°，ABC90°，ABO+DBC90°，ABOBCD，ABBC，AOBBDC（AAS），DCOB3，BDOA4，故点C（7，3）；若AB为直角边，则除了的情况以外，另外一个点C（C）与中的C关于点B对称，故点C（1，3）；故点C

11、的坐标为：（7，3）或（1，3）；（2）如图2，当MGP90°时，MGPG，过点P作PEOM于E，过点G作GHPE于H，点E与点M重合，GFAB4设G点坐标为（x，2x6），6（2x6）4，得x4，易得G点坐标（4，2）；如图3，当MGP90°时，MGPG时，同理得G点坐标（，），综上可知，满足条件的点G的坐标分别为（4，2）或（，）6、如图1，直线l：yx+2与x轴交于点A，与y轴交于点B已知点C（2，0）（1）求出点A，点B的坐标（2）P是直线AB上一动点，且BOP和COP的面积相等，求点P坐标（3）如图2，平移直线l，分别交x轴，y轴于交于点A1B1，过点C作平行于y

12、轴的直线m，在直线m上是否存在点Q，使得A1B1Q是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标解：（1）设y0，则x+20，解得：x4，设x0，则y2，点A的坐标为（4，0），点B的坐标的坐标为（0，2）；（2）点C（2，0），点B（0，2），OC2，OB2，P是直线AB上一动点，设P（m，m+2），BOP和COP的面积相等，×2|m|2×（|m|+2），解得：m±4，当m4时，点P与点A重合，点P坐标为（4，4）；（3）存在；理由：如图1，当点B1是直角顶点时，B1QB1A1，A1B1O+QB1H90°，A1B1O+OA1B190

13、76;，OA1B1QB1H，在A1OB1和B1HQ中，A1OB1B1HQ（AAS），B1HA1O，OB1HQ2，B1（0，2）或（0，2），当点B1（0，2）时，Q（2，2），当点B1（0，2）时，B（0，2），点B1（0，2）（不合题意舍去），直线AB向下平移4个单位，点Q也向上平移4个单位，Q（2，2），当点A1是直角顶点时，A1B1A1Q，直线AB的解析式为yx+2，由平移知，直线A1B1的解析式为yx+b，A1（2b，0），B1（0，b），A1B124b2+b25b2，A1B1A1Q，直线A1Q的解析式为y2x4bQ（2，44b），A1Q2（2b+2）2+（44b）220b2+40b+

14、20，20b240b+205b2，b2或b，Q（2，4）或（2，）；当Q是直角顶点时，过Q作QHy轴于H，A1QB1Q，QA1C1+A1QC90°，A1QC+CQB190°，QA1CCQB1，my轴，CQB1QB1H，QA1CQB1H在A1QC与B1QH中，A1QCB1QH（AAS），CQQH2，B1HA1C，Q（2，2）或（2，2），即：满足条件的点Q为（2，2）或（2，2）或（2，12）或（2，）7、如图1，等腰直角三角形ABC中，ACB90°，CBCA，直线DE经过点C，过A作ADDE于点D，过B作BEDE于点E，则BECCDA，我们称这种全等模型为“K型全

15、等”（不需要证明）【模型应用】若一次函数ykx+4（k0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点（1）如图2，当k1时，若点B到经过原点的直线l的距离BE的长为3，求点A到直线l的距离AD的长；（2）如图3，当k时，点M在第一象限内，若ABM是等腰直角三角形，求点M的坐标；（3）当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接OQ，求OQ长的最小值解：（1）由题意可知：BEOAOD（K型全等），OEAD，k1，yx+4，B（0，4），OB4，BE3，OE，AD；（2）k时，yx+4，A（3，0），当BMAB，且BMAB时，过点M作MNy轴，BMNA

16、BO（AAS），MNOB，BNOA，MN4，BN3，M（4，7）；当ABAM，且AMAB时，过点M作x轴垂线MK，ABOAMK（AAS），OBAK，OAMK，AK4，MK3，M（7，3）；当AMBM，且AMBM时，过点M作MHx轴，MGy轴，BMGAHM（AAS），BGAH，GMMH，GMMH，4MHMH3，MH，M（，）；综上所述：M（7，3）或M（4，7）或M（，）；（3）当k0时，AO，过点Q作QSy轴，ABOBQS（AAS），BSOA，SQOB，Q（4，4），OQ，当k1时，QO最小值为4；当k0时，Q（4，4），OQ，当k1时，QO最小值为4，与k0矛盾，OQ的最小值为48、【模型建

17、立】（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，ACB90°，CACB，直线ED经过点C，过A作ADED于点D，过B作BEED于点E求证：CDABEC【模型运用】（2）如图2，直线l1：yx+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2，求直线l2的函数表达式【模型迁移】如图3，直线l经过坐标原点O，且与x轴正半轴的夹角为30°，点A在直线l上，点P为x轴上一动点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，过点B的直线BC交x轴于点C，OCB30°，点B到x轴的距离为2，求点P的坐标证明：【模型建立】（1）ADDE，B

18、EDE，DE90°ACB90°，ACD90°BCECBE，且CABC，DE90°CDABEC（AAS）【模型运用】（2）如图2，在l2上取D点，使ADAB，过D点作DEOA，垂足为E直线yx+4与坐标轴交于点A、B，A（3，0），B（0，4），OA3，OB4，由（1）得BOAAED，DEOA3，AEOB4，OE7，D（7，3）设l2的解析式为ykx+b，得解得直线l2的函数表达式为：【模型迁移】（3）若点P在x轴正半轴，如图3，过点B作BEOC，BE2，BCO30°，BEOCBC4，将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，APBP，

19、APB30°，APCAOC+OAPAPB+BPC，OAPBPC，且OACPCB30°，APBP，OAPCPB（AAS）OPBC4，点P（4，0）若点P在x轴负半轴，如图4，过点B作BEOC，BE2，BCO30°，BEOCBC4，将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，APBP，APB30°，APE+BPE30°，BCE30°BPE+PBC，APEPBC，AOEBCO30°，AOPBCP150°，且APEPBC，PAPBOAPCPB（AAS）OPBC4，点P（4，0）综上所述：点P坐标为（4，0）或（4，

20、0）9、如图1，在平面直角坐标系中，直线yx+b与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C（m，0）在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DEx轴于点E（1）求m和b的数量关系；（2）当m1时，如图2，将BCD沿x轴正方向平移得BCD，当直线BC经过点D时，求点B的坐标及BCD平移的距离；（3）在（2）的条件下，直线AB上是否存在一点P，以P、C、D为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，写出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由解：（1）直线yx+b与y轴相交于B点，B（0，b）OBb，点C（m，0）OCmBCO+ECD90

21、76;，BCO+OBC90°，OBCECD在OBC和ECD中，OBCECD（AAS）BOCEb，DEOCm，点D（b+m，m）m（b+m）+bb3m（2）m1，b3，点C（1，0），点D（4，1）直线AB解析式为：yx+3设直线BC解析式为：yax+3，且过（1，0）0a+3a3直线BC的解析式为y3x+3，设直线BC的解析式为y3x+c，把D（4，1）代入得到c13，直线BC的解析式为y3x+13，当y3时，x当y0时，xB（，3），C'（，0）CC，BCD平移的距离是个单位（3）当PCD90°，PCCD时，点P与点B重合，点P（0，3）如图，当CPD90

22、6;，PCPD时，BCCD，BCD90°，CPD90°BPPD点P是BD的中点，且点B（0，3），点D（4，1）点P（2，2）综上所述，点P为（0，3）或（2，2）时，以P、C、D为顶点的三角形是等腰直角三角形10、如图，已知一次函数yx+7与正比例函数yx的图象交于点A，且与x轴交于点B（1）求AOB的面积：（2）在y轴上找一点C，使AC+BC最小，求最小值及C点坐标（3）点P从O出发向B点以1个单位每秒的速度运动，点Q从B点出发向A点以同样的速度运动，两个点同时停止，当BPQ为等腰三角形时，求Q点坐标解：（1）一次函数yx+7与正比例函数yx的图象交于点A，且与x轴交于

23、点B点B（7，0），x+7xx3，点A（3，4）SAOB×7×414；（2）如图1，作点B关于y轴的对称点H（7，0），连接AH，交y轴于点C，此时AC+BC最小值为AH，点A（3，4），点H（7，0），AH2，AC+BC最小值为2，设直线AH解析式为：ykx+b，且过点A（3，4），点H（7，0），解得：直线AH解析式为：yx+；（3）如图2，过点Q作QEOB，以同样的速度运动，BQOP，一次函数yx+7与y轴交于点D，点D（0，7），ODOB7，且DOB90°，DBO45°，且QEOB，QBEEQB45°，QEBE，QBQEEB，若PBQB，且OPBQ，OPPBBQ，BEEQ，OE7，点Q（7，），若QPQB，且QEOB，PEBE，OB7OP+PE+BE，7BE+2BE，BEQE，OE点Q（，），如图3，若BPPQ，过点P作PFBQ，BFFQBQ，ABO45°，PFAB，FPBABO45°，PFBF，PBBF，7BQBQ，BEQE，点Q坐标为（7，）11、一边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中，其中O为原点，点A、B分别在x轴