偏导数与全微分(4)课件

1、8.2 8.2 偏导数与全微分偏导数与全微分一、偏导数的概念一、偏导数的概念二、高阶偏导数二、高阶偏导数三、全微分三、全微分偏增量定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0，而x在x0处有增量x时，相应函数有增量0000(,)(,).f xx yf xy 称为关于x的偏增量记为xz0000(,)(,).xzf xx yf xy 相应的0000(,)(,).yzf xyyf xy 即一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法1.1.偏导数的定义偏导数的定义如果极限如果极限00000(,)(,)limxf xx yf x yx 存在，则称此极限值为函

2、数存在，则称此极限值为函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)处对处对x的偏的偏导数导数. .记作记作即即0000000(,)(,)(,)limxxyf xx yf xyzxx 00000000(,)(,),(,),(,)xxxyxyzffxyzxyxx00(,)xyzy 记为记为0000(,)(,)yyfxyzxy 或或类似地，函数类似地，函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)处对处对y的偏导数为的偏导数为00000(,)(,)limyf xyyf xyy 00(,),xyfy如果函数如果函数z=f(x,y)在区域在区域D内每一点内每一点(x,y)都存在对都存在对x的偏导数，即的偏导数

3、，即0(, )( , )lim, ( , )xf xx yf x yx yDx 存在，显然这个偏导数仍是存在，显然这个偏导数仍是x，y的的函数，称它为函数函数，称它为函数z=f(x,y)对对x的偏导函数，记作的偏导函数，记作,( , )( , )xxzffx yzx yxx 或或2.2.偏导函数偏导函数: :类似地，可以定义函数z=f(x,y)在区域D内对自变量y的偏导函数为0( ,)( , )limyf x yyf x yy 记作,( , )( , )yyzffx yzx yyy 或或偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 ),(zyxfu ),

4、(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 偏导数的记号是个整体记号，不能看作分子与分母之商.这一点与一元函数导数记号 是不同的， 可看成函数的微分dy与自变量微分dx之商.xyddxydd3.偏导数的求法偏导数的求法对于函数对于函数( , )zf x y:zx只要把只要把y看作常量而对看作常量而对x求导数；求导数；:zy只要把只要把x看作常量而对看作常量而对y求导数；求导数；解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21

5、yxyz.72213 问题：计算偏导数问题：计算偏导数00(,)xfxy时能否将时能否将0yy先代入先代入( , )f x y中再对中再对x求导？求导？xyxfyxxfx),(),(lim00000),(00yxfx分析：分析：记记0( )( ,)xf x y则则0000()()()limxxxxxx xyxfyxxfx),(),(lim0000000(,)xfxy求一点偏导数的方法：求一点偏导数的方法：1.先求偏导函数，再代值；先求偏导函数，再代值；3.分段函数在分段点用定义。分段函数在分段点用定义。2.0000( ,)(, ),x xy ydf x ydf xydxdy证证 xz,1 yy

6、x yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立例例3. 求求的偏导数的偏导数 . 解解:2sinzxy2 sinzxyx2coszxyy4.二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:00),(dd00 xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲线是曲线0),(xxyxfzyTM0在点在点 M0 处的切线处的切线对对 x 轴的斜率轴的斜率.在点在点M0 处的切线处的切线斜率斜率.是曲线是曲线0 xyTyxzOxT0y对对 y 轴的轴的0M),(00yx例4 设222

7、222, 0,( , )0, 0 xyxyxyf x yxy ，求f(x,y)在原点(0,0)处的偏导数.解 原点(0,0)处对x的偏导数为0(0,0)(0,0)(0,0)limxxfxffx 200() 00()0limlim 00.xxxxx 在原点(0,0)处对y的偏导数为yfyffyy)0 , 0()0 , 0(lim)0 , 0(0. 00lim0)(0)(0lim020yyyyy222222, 0,( , )0, 0 xyxyxyf x yxy ，5.偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. .偏导数存在偏导数存在 连续连续. .一

8、元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，二、高阶偏导数二、高阶偏导数设设 z = f (x , y)在域在域 D 内存在连续的偏导数内存在连续的偏导数),(, ),(yxfyzyxfxzyx若这两个偏导数仍存在偏导数，若这两个偏导数仍存在偏导数，)(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy则称它们是则称它们是z = f ( x , y ) 的的二阶偏导数二阶偏导数 . 按求导顺序不同按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导有下列四个二阶偏导22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2

9、yxfxyzxyx数数:类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为3322)(xzxzxz = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶) (yyxznn1偏导数为11nnxz例例 5 5 设设13323 xyxyyxz， 求求22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及33xz . 解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx例例

10、6 6 设设byeuaxcos ，求二阶偏导数求二阶偏导数. . 解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 问题：问题：混合偏导数都相等吗？混合偏导数都相等吗？定理定理 如果函数如果函数),(yxfz 的两个二阶混合偏导的两个二阶混合偏导数数xyz 2及及yxz 2在区域在区域 D内连续，那么在该区域内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等内这两个二阶混合偏导数必相等 问题：问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？具备怎样的条件才能使混合偏导数

11、相等？例如例如, 对三元函数对三元函数 u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx本定理对本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立元函数的高阶混合导数也成立.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx当三阶混合偏导数当三阶混合偏导数在点在点 (x , y , z) 连续时连续时, 有有说明说明: :函数在其定义区域内是连续的函数在其定义区域内是连续的, , 故求初等函数的高阶导故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序数可以选择方便的求导顺序. .因为初等函数的偏导数仍为初等函数因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , ,

12、 而初等而初等例例 7 7 验证函数验证函数22ln),(yxyxu 满足拉普拉满足拉普拉斯方程斯方程 . 02222 yuxu解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 2222yuxu. 0 2222222222)()(yxyxyxxy 证毕证毕（1）全增量的概念）全增量的概念三、全微分三、全微分1.定义定义定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ),(),(yxfyyxxfz可表示成,

13、 )(oyBxAz其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，称为函数),(yxf在点 (x, y) 的全微分全微分, 记作yBxAfz dd若函数在域 D 内各点都可微,22)()(yx则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微可微，处全增量则称此函数在在D 内可微内可微.Ax +By（2）全微分的定义）全微分的定义证：由证：由),( oyBxAz , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 2.可微分与连续可微分与连续3.可微的条件可微的条件一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在

14、多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在xz同样可证,Byzyyzxxzzd证证:因函数在点(x, y) 可微, 故 , )(oyBxAz,0y令)(xoxA得到对 x 的偏增量因此有 xzxx0limA(, )( , )xzf xx yf x y定理( (必要条件必要条件) )若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微可微 ,则该函数在该点的偏导数yzxz,yyzxxzzd必存在,且有注意注意: 定理 的逆定理不成立 .多元函数偏导数存在函数 不一定可微 !一元函数在某点的导数存在是微分存在的充要条件，对于多元函数，当函数的各偏导数都存在时，虽然能形式

15、地写出 zzxyxy，但它与z之差并不一定是较高阶的无穷小，因此它不一定是函数的全微分。即：如如: 函数),(yxf易知 但)0, 0()0, 0(yfxfzyx因此,函数在点 (0,0) 不可微 .)(o22)()(yxyx22)()(yxyx22)()(yxyx00,2222yxyxyx0, 022 yx(0,0)(0,0)0 xyff定理2(充分条件充分条件)yzxz,若函数),(yxfz 的偏导数,),(连续在点yx则函数在该点可微分.习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为.dyyzdxxzdz 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.dzzudyy

16、udxxudu 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况微分之和这件事称为二元函数的微分符合微分之和这件事称为二元函数的微分符合例例8 8 求 在点(2,1)处的全微分.xyz = e解解 由于 与 是连续函数，且exyzyx ,e212yxxz22212.xyxyzde de d所以在点(2,1)处的全微分为,e2 212yxyzxyzxye例例9 9 求 的全微分.sin2yuxyze解解, 1xu.dede2cos21ddzyyzyxuyzyz,e2cos21yzzyyu,eyzy

17、zu多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导小结1. 偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续 混合偏导数连续与求导顺序无关2. 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)3. 全微分（注意：与一元函数有很大区别）多元函数全微分的概念多元函数全微分的求法多元函数连续、可导、可微的关系思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能. .,),(22yxyxf 例如例如, ,一一、 填填空空题题: :1 1、 设设yxztanln , ,则则 xz_ _ _ _ _ _ _ _ _; ; yz_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 设设 x