成考专升本高数第二章笔记

1、成考专升本高数（二）第二章笔 记第二章一元函数微分学§ 2.1导数与微分一、主要内容导数的概念i 导数：y义，f (x)在Xo的某个邻域内有定limX o Xlim f(XoX) f(Xo)X oXX Xo2 左导数:limXXo右导数:f(X) f(Xo)Xof (Xo)f (Xo)f (Xo)dydXX Xolim f(X) f(Xo)XX。X Xolim f(X) f(Xo)X XoX Xo定理：f(x)在X。的左(或右)邻域上连续在其内可导，且极限存在；则：f(X。)limX Xo(x)(或:(Xo)lim f (x)X Xo丿3. 函数可导的必要条件:定理：f (X)在X。

2、处可导f(X)在X。处连续4. 函数可导的充要条件：定理： y x X。 f (x。)存在f (Xo)f (xo)，且存在(a,b)o：x。5. 导函数：y f (x), xf (X)在(a,b)内处处可导。f(x)6. 导数的几何性质：f (x。)是曲线y f(x)上点M xo, yo处切线的斜率求导法则1基本求导公式：2.导数的四则运算：1。（ u v） u v2。（ u v） u v u vu u v u v3。vv2(v 0)3.复合函数的导数：y f(u), u(x),yf (x)dy dy dudx du dx或f (x) f (x)(x)注意f (x)与f (x)的区别：f （x

3、）表示复合函数对自变量x求导； f （x）表示复合函数对中间变量（X）求导。4.高阶导数：f （x）, f（X）,或f（x）f (n)(x) f(n 1)(x) , (n 2,3,4)函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。 微分的概念1微分:f(X)在x的某个邻域内有定义，A(x) x o( x)其中:较高A(x)与x无关，。(x)是比x宀日 lim o( X)o阶的无穷小量，即：x 0 x则称y f (x)在x处可微，记作:(x 0)f (x)在 xdy A(x) xdy A(x)dx2导数与微分的等价关系：定理：f(x)在x处可微处可导，f (x) A(x)3.微分形式不变性:dy f （

4、u）du不论U是自变量，还是中间变量，函数的 微分dy都具有相同的形式。、例题分析例 1. 设f (x)存lim f(xo 2 X)f(xo)x 0则f（X。）等于A.1,B.0,C.2,解：D.f (Xo)2lim f(xo 2 x)仁心2x02f(x。)1（应选D） f （X。）122例 2设 f(x) (x a ) (x),其中(x)在x a处连续；求f (a)解:(a)limf(x)f (a)aa2) (x) (a2 a2) (a)x alim ©x aa)(x a) (x)x a2a (a)lim(xx a22误解：f (x) 2x (x) (x a )a) (x)(x)f

5、 (a) 2a (a) (a2 a2)(a) 2a (a)结果虽然相同，但步骤是错的。因为已知条件并没说(X)可导，所以(X)不一定存在。例3设f (x)在x 1处可导，且f (1)2 ,求：limx 1f(4 3x)f(1)x 11解：设t 43x, x 3(4 t)当x 1时，t 1f(4 3x)f(1) f(t) f(1)limlimx 1 x 1t 1 i(4 t) 13lim 型 3f (1)3 2t 1 t 1例4 .设f (x)是可导的奇函数，f ( xo) k 0 ,则f(X。)等于：1 1A. k , B. k , C. k , D. k . 解：f ( X) f (x)f(

6、 x)f(x)f ( x)(x)f(X)f ( x)f (x)f (Xo)f ( Xo)k(应选A)(结论：可导奇函数的导数是偶函数；可导偶函数的导数是奇函数。)x21 x 1例5.设f(X) 2x x 1在x 1处是否可导？解法:f (1) 2x x 12lim f (x) lim (x21)2x 1x 1lim f (x) lim (2x)2x 1x 1f(X)在x 1处连续f (1)limx 1f(x) f(1)x 1x212lim x 1 x 1x21lim x 1 x 1lim (x 1)2x 1f (1)附皿上1x 1 x 1lim12xlim 2x 1f f (1) f (1)

7、2.f(x)在x 1处可导解法二：f (1)2Xx 12lim f (x) lim (x2 1)2x 1x 1lim f (x) lim (2x)2x 1x 1f(x)在x 1处连续2x x 11时，f (1) lim f (x) lim 2x 2x 1x 1f (1) lim f (x) lim 22x 1x 1-f (1) f (1) f (1) 2 f(x)在x 1处可导。1 bx x 0f(x)2x门例6 .设ae x 0求a,b的值，使f(x)处处可导。解：f (x)的定义域：x (,)当x 0时，f (x)1 bx是初等函数，在(，0)内有定义，.不论a和b为何值，f (x)在(，

8、0)内连续;当x 0时，/、2xf (x) ae 是初等函数，在(0,)内有定 义，.不论a和b为何值，f(x)在(0,)内连续;f(0) (1 bx) 1lim f(x) lim (1 bx) 1x 0x 0lim f (x) lim ae2x ax 0x 00处连续;只有当a 1时，f(x)在x1时，f (x)处处连续;0时，f (x)b x2ae2xb1 2e2x0可导x 0可导f (0) limx 0f (x)lim bx 0f (0) lim f (x) lim 2e2xx 0x 0只有当b 2时，f (x)在x 0处可导;.当a 1, b 2 , f (x)处处可导例7 求下列函数

9、的导数 y cosln(1 2x)解：y cosu u In v v 1 2x21 2xsinln(1 2x)dy dy du dvdx du dv dx1sinu v y arctan(tan2 x)解:2arctan(tan x)上 2 (ta n2x)1(tan2 x)22ta nx1 (tan2 x)2(tan x)Ztanxsec2 x1 (tan2 x)2sin2x44sin x cos x10xta n2x解：y (10xtan2x) ln10 10xtan2x(xtan2x)ln10 10xtan2x(tan2x 2xsec22x)2 2 22 y cos(xy) 1 y r

10、( r为常数)解法一：y弋r2x* 2r2P r2 x2)z 22解法二：（x2xxy2)x2(r2)2y y解法一：y cos(xy)sin (xy)(xy)sin(xy) (y ysin(xy)xy)解法二:设 F(x, y) y cos(xy)Fxysin (xy), Fy 1 xsin (xy)dy 旦 ysin (xy) dxFy1 xsin (xy)隐函数求导! yin x xln 解法一：(ylnx)(xln y)In x yIn y y £yxxy. x ln y yyxyln y y2xylnx x2解法二:设F (x, y)yin x xln yIn y,FyIn

11、 x yy2dyFxIny xyln y y2(x 1)(x 2)dx Fy j In x xylnx xy 解：（对数法）In y In(x 1)(x 2)畀n(x 1)In(x 2) ln(x 3)(Iny) il n(x1) In(x 2) ln(x 3)-y fy 2x1九尢）2x 1 xt xb)(x 1)(x 2)x 3y X解法一：（对数法）ln y ln xx xln x-y ln x yIn x 1 y xx（ln 解法二：（指数法）1)In x exln x exln x、y (e )xln x /e(xln x)xx(ln x1)cosx y 2x (sin x)解法一：

12、(对数法)xcosx设 yi 2x , y2 (sinx)y yi y2, y 屮 y?ln y1 ln2x x ln2 xlnxInx2 xx (I nx 2vx2x xEx 2)v x丄x 1 2 (I nxy2y解法.yVx xsinxln siiIn y2 cosxln sin x1icosxy2sin xl nsinx cosx y2sin x(sinx)c°sx(cosxcotx sinxlnsin x)yiy2xx (In x 1) (sinx)cosx(cosxcotx(Inx 1) (sinx)cosx(cosxcotx sinxlnsin二:(指数法)小 Jxln

13、xcosxlnsinx2e ec v x I nx，-、 cosxl nsi nx，.、2e (Vx In x) e(cosxInsinx)x yy x解法一：xln y yln xIn yy lnx y $yxxyln y y2 xy ln x x2解法二：设F(x,y)xy yy 1Fx yxyxln yIn yln y)xyFyxy In xx 1xyxy ln xdy F dx Fylny)xy In x)xyxylnyx x y y2 y_xylnx x2(:例&已知解：设t Vxsinx，求 f (x)。t2f(t) sint2 f(x) sin x2 .f (x) cos

14、x2(x2) 2xcosx2 例9.求下列函数的二阶导数 y ln(1 x2)2xy 2解：1 x2(1 x2) 2x 2x 2 2x2y(122x )(1 x2)xyIny010yxy_y解法一：y2yxyy y02yy1xy2yy(1 xy) y (y xy)(1 xy)22y(1 xy)：r4 y2(y x/y)(1 xy)22y3(1 xy) y2y(1 xy) xy2(1 xy)33y3 2xy4(1xy)31门yxyy 0 y2yxyyy o2yy1 xy(y2xyyy) o2yyyyx(y)2解法二:xyy y 02 2 23yy x(y)23y 亡 x 击1 xy1 xy3y3

15、(1 xy) xy4 3y3 2xy4例 10(10) y()(n) y()解：y9x8(1 xy)3n 10 o2e2x9 8x722e7x6x92x23e(1xy)3e2x2x(9) y()1x929e2x9! 29e2x(10)y(210e:2x494948x(47)( 1)248 47x(佝(1x21)311 2xm(n) c结论：对于y X，若n m,则y °49(50)例ii.设y x inx，求y丿。解：y49x(48)x 150y(50)( 1)50 1(50 1)!x 5049! x例12.求下列函数的微分yx2 e sin x解法一x2:y e sin xex 2

16、sin xcosxx /2e (sin xsin 2x)dy ex(sin2x sin 2x)dx解法二dy d(exsin2x)d(ex) sin2 x exd(sin2 x)ex sin2 xdx ex 2 sin xd (sin x)ex(sin2 xdx 2sin xcosxdx)ex(sin2 x sin 2x)dx2y x y ey 12y解法一：(x y) (e )02xy x2y eyy 02xyy s y解法一：d(x2y) d(ey)02xydx x2dy eydy 0在(a,b)内至少存在一点§ 2.2中值定理及导数的应用一、主要内容中值定理1. 罗尔定理:f(

17、X)满足条件:10在a,b上连续； 2°在(a,b)内可导;a oEbx3°f(a)f (b).2. 拉格朗日定理：f (X)满足条件:10在a,b上连续,f(b)f(a)20在(a,b)内可导;罗必塔法则：(0，型未定式) 定理：f (x)和g(x)满足条件:lim f (x)0(或)x aiolim g(x) 0(或)；x a2。在点a的某个邻域内可导，且limx a(f (x)g(x)A,(或)lim f(x) lim f凶 A,(或)x a( ) g(x) x a( ) g (x)注意：1o法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。2。若不满足法则的条件

18、，不能使用法则。0即不是0型或型时，不可求导。3。应用法则时，要分别对分子、分母 求导，而不是对整个分式求导。4。若f (x)和g (x)还满足法则的条件，可以继续使用法则，即： f(X)f (x)f (x) A /flimlimlimA (或x a( ) g(x) x a( ) g (x) x a( ) g (x)°彳 c°°形，化成0或型；若是1 ,° , 型°采用对数或指数变形，化成0或型。导数的应用1. 切线方程和法线方程：设：y f(x), M(x°,y°)切线方程：y y° f (x°)(x

19、x°)法线方程：1y y° (x x°), ( f(x°) o)f (x°)2. 曲线的单调性：f (x)0 x (a,b)f (x)在(a,b)内单调增加;f (x)0 x (a,b)f (x)在 (a,b)内单调减少；f (x) 0 x (a,b)在(a,b)内严格单调增加；f (x) 0 x (a,b)在(a,b)内严格单调减少。3.函数的极值：极值的定义：设f(x)在(a,b)内有定义，X。是(a,b)内的 一占.八、J若对于X。的某个邻域内的任意点X X。，都 有：f(X。) f (x)或f(X。)f (x)则称f (xo)是f(x)

20、的一个极大值(或极小 值),称X。为f(X)的极大值点(或极小值点)极值存在的必要条件：定理f(Xo)01o.f (x)存在极值f (x0)20.f (x0)存在。X。称为f (x)的驻点极值存在的充分条件：定理一：f (x0)是极値 冷是极值点C10. f (x)在x0处连续；20.f (x0)0或f (沧)不存在;30. f (x)过x0时变号。当X渐增通过x0时，f(x)由(+)变(-)；则f (Xo)为极大值;则f(X。)为极小值定理一：10.f(X。)0；f (x0)是极值；2 .f (x0)存在。Xo是极值点。若 f (X。)0，则f(X0)为极大值；若 f (Xo)0，则f(X0

21、)为极小值。注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。4 .曲线的凹向及拐点：若 f (x) 0,xa,b ；则 f(x)在(a,b)内是上凹的(或凹的),(U)；若 f (x)°,x a,b ；则 f(x)在(a,b)内是下凹的10.f(Xo)0,Xo, f (Xo)称为f(X)的拐点。2°.f (x)过乞时变号。5。曲线的渐近线：水平渐近线：若 lim f (x) AX或 lim f (X) AX铅直渐近线：若 lim f (x)x C或 lim f (x)x Cy A是f (x)的水平渐近线。x C 是 f (x)的铅直渐近线。】、例题分析例1.函数f(x)32

22、X X在-1 , 0上是否满足罗尔定理的条件？若满足，求出 的值解：. f(x) X X是初等函数，在-1 , 0 上有定义；. f(x) x x 在-1, 0上连续。.f (x) 3x? 2x 在(_1,0)内有定义；f(x) x x 在(-i, 0)内可导又 f( 1) (x3 X2)|x 10f(0) (x3 x2) f(x)满足罗尔定理的条件。由定理可得:3 2 2解得:21 3,0不在(-1,230)内，舍去;0 x例2。证明：当2时，不等式x tanx成证法一：(采用中值定理证明)F(t) tant, t 0,x, x (0,匚) 设：2. F(t) tant是初等函数，在0,x上

23、有 定义， F(t) tant 在0,x上连续。F (t) sect -2；.COS t在(0,x)内有定义F(t) tant在(0,x)内可导。 F(t) tant满足拉格朗日定理的条件，由定理可得F ()1F(x)F(0)tanx20cosxxx cos2tanx,(0, x), x(0,刃2.O cos 1, tanx 0.x cos2 tanx tanxx tan x, 0毕。证法二:（采用函数的单调性证明）f(x)tan x x,(0,-)设:f (x)2 sec xtan2 x0,x (0,2)（0,2）f(x) f(0)tanO即：tanx x 0x tanx x (0,)2 ；

24、证毕1 xln(x证x2)x2, (x 0)设f(x) 1 xln(xx2)x2, (x 0)f (x) ln(xx2)x(x(x 1x2)x2)2x21 x2ln(xx2)x（1、亠）(x 5 x2)1ln(xx2)x(、1 x2 x)x2(x 1 x2)x1x2ln(xx2)0, x 0 f(x),f(x) f(0) 1 xln(x v 1 x2) v 1 x2x oxln(xx2)x2(x 0)；证.-、arctanxln(1 x)例4 证明：当x 0时，1 x解：设：f(x)(1 x)ln(1 x) arctanx x 0f (x)ln(1x)11 x2ln(1 x)2x0, (x 0

25、)f(x) , x 0f(x) f (0) (1 x)ln(1 x) arctanxx 00, x 0ln(1 x)证毕。例5 求下列极限:xx e e lim x 0 tanxx解：xxe e lim 0 tanxlimxIn xaxlim晋解：x xlimxXa 1axxe2sec x!imW解：令:时，limx 0tlime- tlimetlimlimlime x)ex(ex xe )elim2xe2xeX)eX)e1X(eX(eXe/IX0-0XeXeXeXe1 - 八/kmoH Xe mo n zxX2 mo H X1 - 八/VmoH X0-0X In 2X mo X !/6Iim

26、 x2 In x Iimx 0(0 )x 01解:xIim0-Iim x202x0Iimx解法一1(Inx)x（对数法）0未定式）设：y1(In x)xIn y1In (I n x)xIn In xIimxInIimxIn In xIimxxln xInlnx limlimexixln xIn In x0)xlim elim y lim (In x)x 1xx解法二：（指数法）1lim (In x)xX(ilim x (1未定式)11 x解法一：设：y x. In xIn y1 x In x lim x 11 xlim 乂limx 1 1x 1 xlim y lim x1 x e 1x 1x

27、1解法lim x1x lim(1)x 1一ln xe代limineex11解法三：设：t1lim x1 xx 1limx 01lim ex 1 1001 x,1时,Jm0(1 t)tlim解: x 0lim(1t 0（00未定式）xxln xx lim e(00) x(0t)lim)x 0ln xe xXrlim e x2 lim e x 1x 0x 01limx 0例6.(1x)；e1丄X(1 x)xye解：设：In yIn1(1 x)xe丄1门(1 x)xxIn e11ln(1 x) xln(1 x) 1厂x xxln(1 x) xlim In y lim 才x 0x 0xlimx 02xlimx 01 1 X2x(1 x)lim -x 0 2(1 x) 2lim yx 0limx 0(1 x)xlim例