陕西省周至县高中数学第一章推理与证明1.4数学归纳法第二课时教案北师大版选修2_2

1、1.4数学归纳法教学目标：1、知识与技能(1) 了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。(2) 会证明简单的与正整数有关的命题。2、过程与方法努力创设课堂愉悦的情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，提高学生 学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。3、情感态度价值观通过本节课的教学，使学生领悟数学思想和辩证唯物主义观点，激发学生学习 热情，提高学生数学学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质， 以及发现问题、提出问题的意见和数学交流能力。教学重点、难点：教学重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤， 运

2、用它证明一些简单的与正整数 n ( n取无限多个值)有关的数学命题。教学难点：(1) 学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易 根据归纳假设作出证明。(2) 运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。第2课时一、复习巩固数学归纳法的两个步骤二、实例应用例1、平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且无3个圆交于一点。求证：这 n个圆将平面分成f n二n2 - n 2个部分。解析：当n =1时，一个圆将平面分成 2个部分，f 1V-2，结论成立；假设当n =k时，结论成立，即n个圆将平面分成f/ _k - 2个部分，当n = k 1时，第(

3、k+1)个圆与前面k个圆有2k个交点，这2k个交点将第(k+1)个圆分成2k段，每段将各自所在区域一分为二，于是增加了2k个区域，所以k+1个圆将平面分成了 f kf k2k个部分，2 2 2f (k +1)= k2 -k +2 +2k = k2 +k + 2 =(k +1)-(k +1) + 2 ；所以，当n -k 1时，结论成立。综上所述，这n个圆将平面分成 f n = n2 - n 2个部分。例2、对于nw N*，求证：(x+1芦+(x + 2)2n，可被(x2 +3x + 3 )整除。2 1 2证明：(1)当 n =1 时，左=(x 1) (x 2)=x 3x 3成立(2)假设n=k时

4、成立k -12k i2即: (x 1) (x 2)=(x 3x 3) f (x)k'- 22k 1当 n = k 1 时，(x 1) (x 2)k 十22 k 1=(x1)(x1)(x4x4)( x2)k +2k 122k 1=(x1)(x1)(x1)(x2) (x3x 3) (x 2)=(x 1) (x2 3x 3) f (x) (x2 3x 3)(x 2)2k= (x2 3x 3) (x 1) f(x) (x 2严 n = k 1时成立综上所述由(1) (2)对一切n N*例3、用数学归纳法证明：(1出'=)n _1 n (其中用二-1, n是正整数).n 1 n 2 n

5、3的最大值，并证明你的结论。3n 124解析：从特例入手，探求正整数a的最大值，然后用数学归纳法证明。证明：取n=1,1 11 23 1124令26 .旦=2424a : 26,而a N .,取a = 25例 4、若不等式一1一-1-1-1 对一切正整数 n都成立，求正整数a4丄，.丄冬F面用数学归纳法证明：n 1 n 2 3n 1 24。n=1，已证结论正确;假设n=k时,1+.k 21253k 124成立,则当n=k+1时，有1 1+(k 1) 1 (k 1) 21 1 1 1+ +3k 1 3k 2 3k 3 3(k 1)1丄)J 11)3k 1 3k 2 3k 3 3k 4 k 125 J 1-24 3k 2 3k 4 3(k 1)116(k 1)23k 2 3k 4 9k2 18k 83(k 1)0.1 1 2+3k 2 3k 4 3(k 1)(k 1) 1 (k 1) 21253(k 1) 124即n=k+1时，结论也成立。丄+丄+丄启由(1)(2)可知，对一切 nN +，都有 n+1 n+