LTI离散系统时域分析PPT课件

1、LTI离散系统时域分析一、差分与差分方程1二、差分方程的经典解2三、零输入响应和零状态响应3四、单位序列响应和阶跃响应4五、卷积和5目录CONTENTSf(k)的移位序列：，f(k+2)，f(k+1)，f(k-1)，f(k-2) 1. 差分运算tttftfttfttftkfttfttt)()(lim)()(lim)(limd)(d000离散信号的变化率有两种表示形式：kkkfkfkkf) 1()() 1()() 1() 1()()(kkkfkfkkf前向差分后向差分一、差分与差分方程一、差分与差分方程差分的线性性质： af1(k) + bf2(k) = a f1(k) + b f2(k) 二阶

2、差分定义： 2f(k) = f(k) = f(k) f(k-1) = f(k) f(k-1) = f(k)f(k-1) f(k-1) f(k-2)= f(k) 2 f(k-1) +f(k-2)m阶差分: mf(k) = f(k) + b1f(k-1) + bmf(k-m) 2.差分方程包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。 y(k) + an-1y(k-1) + a0y(k-n) = bmf(k)+ b0f(k-m) 差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。一般不易得到解析形式的(闭合)解。若描述某系统的差分方程为 y(k) + 3y(k

3、 1) + 2y(k 2) = f(k)已知初始条件y(0)=0, y(1)=2,激励f(k)=2k(k), 求y(k)。 解： y(k) = 3y(k 1) 2y(k 2) + f(k) k=2 y(2)= 3y(1) 2y(0) + f(2) = 2 k=3 y(3)= 3y(2) 2y(1) + f(3) = 10 k=4 y(4)= 3y(3) 2y(2) + f(4) = 10 y(k) = yh(k) + yp(k) y(k) + an-1y(k-1) + a0y(k-n) = bmf(k)+ b0f(k-m)齐次方程 y(k) + an-1y(k-1) + + a0y(k-n)

4、= 0 1 + an-1 1 + + a0 n = 0 即 n + an-1n 1 + + a0 = 0其根i( i = 1，2，n)称为差分方程的特征根。二、差分方程的经典解二、差分方程的经典解特征方程1.1.齐次解齐次解y yh h(k) (k) 的情况齐次解特征根为r重根时一对共轭复根r重共轭复根12n knnkkhCCCky2211 krrrrhCkCkCkCky)(012211jejba)cos(kAk)cos(.)cos()cos(002211kAkAkArrrrk二阶差分方程y(k) 5y(k 1) + 6y(k 2) = 0已知y(0) =2， y(1) =1，求y(k) 。3

5、, 221 132112002121CCykCCyk kkky3325解：特征方程0320652齐次解 kkCCky3221定C1， C2解出3, 521 CC特征根求差分方程y(k) + 6y(k 1) + 12y(k 2) +8y(k 3) = 0的解。23 , 2 ,1解：特征方程齐次解 kCkCkCky2)(0122由初始条件定C1， C2 ， C3三重特征根02081263232.2.特解特解y yp p(k)(k)激励激励f(k)响应响应y(k)的特解的特解yp(k)常数常数mkka1110(0mmmmP kPkPkP特征根）1110()(0rmmmmkP kPkPkPr有 重 的

6、特征根）(kPaa不等于特征根）10)(kPkP aa（等于特征根）110)(rrkrrPkP kP aar（等于 重特征根）coskorsinkj12cossin(e)PkPk特征根不等于系统差分方程： y(k)+ 4y(k 1) + 4y(k 2) = f(k)初始条件y(0)=0，y(1)= 1；激励f(k)=2k，k0。求方程的全解。 解： 特征方程为 2 + 4+ 4=0 可解得特征根1=2= 2，其齐次解 yh(k)=(C1k +C2) ( 2)k特解为 yp(k)=P (2)k , k0代入差分方程得 P(2)k+4P(2)k 1+4P(2)k2= f(k) = 2k ，解得 P

7、=1/4所以得特解： yp(k)=2k2 , k0故全解为 y(k)= yh+yp = (C1k +C2) ( 2)k + 2k2 , k0 代入初始条件解得 C1=1 , C2= 1/4 三、零输入响应和零状态响应三、零输入响应和零状态响应零输入响应：输入为零，差分方程为齐次 kC齐次解形式：零状态响应：初始状态为0，即021zszsyy求解方法经典法：齐次解+特解卷积法 y(k) = yzi(k) + yzs(k) 系统方程为 y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k)已知激励f(k)=2k , k0，初始状态y(1)=0, y(2)=1/2, 求系统的零输入响应、零状

8、态响应和全响应。（1 1）求解零输入响应）求解零输入响应解：（1）yzi(k)满足方程yzi(k) + 3yzi(k 1)+ 2yzi(k 2)= 0 ，yzi(1)= y(1)= 0， yzi(2) = y(2) = 1/2首先递推求出初始值yzi(0), yzi(1), yzi(k)= 3yzi(k 1) 2yzi(k 2) yzi(0)= 3yzi(1) 2yzi(2)= 1 yzi(1)= 3yzi(0) 2yzi(1)=3特征方程：2 + 3+ 2=0；特征根为1= 1 ，2= 2解为 yzi(k)=Czi1( 1)k+Czi2(2)k 将初始值代入 并解得 Czi1=1 , Czi

9、2= 2 yzi(k)=( 1)k 2( 2)k , k0 yzs(k) + 3yzs(k 1) + 2yzs(k 2) = f(k) yzs(1)= yzs(2) = 0递推求初始值 yzs(0), yzs(1)， yzs(k) = 3yzs(k 1) 2yzs(k 2) + 2k , k0 yzs(0) = 3yzs(1) 2yzs(2) + 1 = 1 yzs(1) = 3yzs(0) 2yzs(1) + 2 = 1（2 2）求解零状态响应）求解零状态响应分别求出齐次解和特解，得 yzs(k) = Czs1(1)k + Czs2(2)k + yp(k) = Czs1( 1)k + Czs

10、2( 2)k + (1/3)2k代入初始值求得 Czs1= 1/3 , Czs2=1 yzs(k)= ( 1)k/3+ ( 2)k + (1/3)2k , k0 四、单位序列响应和阶跃响应四、单位序列响应和阶跃响应l 单位序列响应单位序列响应l 阶跃响应阶跃响应1.1.单位单位序列响应序列响应Niih, 3 , 2 , 10单位序列(k)所引起的零状态响应，记为h(k) 。 h(k)=T0,(k)某系统的差分方程为 y(k) -y(k-1)-2y(k-2)= f(k)求单位序列响应h(k)解 根据h(k)的定义 有 h(k) h(k 1) 2h(k 2) = (k) （1） h(1) = h(

11、2) = 0（1）递推求初始值h(0)和h(1)。 h(k)= h(k 1) + 2h(k 2) +(k) h(0)= h(1) + 2h(2) + (0) = 1 h(1)= h(0) + 2h(1) + (1) = 1 （2）求h(k)对于k 0， h(k)满足齐次方程 h(k) h(k 1) 2h(k 2) = 0特征方程: 2 2=0 ，特征根为1= 1 ，2= 2 h(k) = C1( 1)k + C2(2)k ， k0 h(0) = C1 + C2 =1 , h(1)= C1+2C2 = 1 解得C1= 1/3 , C2=2/3 h(k) = (1/3)( 1)k + (2/3)(

12、2)k , k0或写为 h(k) = (1/3)( 1)k + (2/3)(2)k (k) 系统方程为 y(k) -y(k-1)-2y(k-2)= f(k) -f(k-2) 求单位序列响应h(k)。 解 h(k)满足 h(k) h(k 1) 2h(k 2)=(k) (k 2)令只有(k)作用时，系统的单位序列响应h1(k) ,它满足： h1(k) h1(k 1) 2h1(k 2)=(k) 根据线性时不变性， h(k) = h1(k) h1(k 2) = (1/3)( 1)k + (2/3)(2)k(k) (1/3)( 1)k 2 + (2/3)(2)k2(k 2) 2.2.阶跃响应阶跃响应g(

13、k)=T(k), 0由于0)()()(jkjjkik，(k) =(k) (k 1) = (k) 所以0)()()(jkjjkhihkg，h(k) =g(k) 11111212121akkaaaaakkkkjj (k2k1 )两个常用的求和公式：2) 1)(121221kkkkjkkj五、卷积和五、卷积和卷积和的定义1卷积的图解法2不进位乘法求卷积3卷积和的性质4序列的时域分解任意序列f(k) 可表示为 f(k)=+f(-1)(k+1) + f(0)(k) + f(1)(k-1)+ f(2)(k-2) + + f(i)(k i) + iikif)()(任意序列作用下的零状态响应yzs(k)f (

14、k)根据h(k)的定义：(k) h(k) 由时不变性：(k -i)h(k -i)f (i)(k-i)由齐次性：f (i) h(k-i)由叠加性：f (k)yzs(k)iikif)()(iikhif)()(izsikhifky)()()(1.1.卷积卷积和的定义和的定义已知定义在区间（ ，）上的两个函数f1(k)和f2(k)，则定义为f1(k)与f2(k)的卷积和，简称卷积；记为 f(k)= f1(k)*f2(k)注意：求和是在虚设的变量 i 下进行的， i 为求和变量，k 为参变量。结果仍为k 的函数。 iikfifkf)()()(21)(*)()()()(khkfikhifkyizsf (k

15、) = a k(k), h(k) = b k(k) ，求求yzs(k)。解解： yzs(k) = f (k) * h(k)当当i k时，时，(k - i) = 0iikiiikbiaikhif)()()()(bakkbbakbababkbabkbakykkkkiikkiikizs,)() 1(,)(11)()()(100(k)*(k) = (k+1)(k)2.2.卷积卷积的图解法的图解法卷积过程可分解为四步：（1）换元： k换为 i得 f1(i)， f2(i)（2）反转平移：由f2(i)反转 f2(i)右移k f2(k i)（3）乘积： f1(i) f2(k i) （4）求和： i 从 到对乘

16、积项求和。注意：k 为参变量。iikfifkf)()()(21例：f1(k)、 f2(k)如图所示，已知f(k) = f1(k)* f2(k)，求f(2) =？解：（1）换元（2） f2(i)反转得f2( i)（3） f2(i)右移2得f2(2i)（4） f1(i)乘f2(2i)（5）求和，得f(2) = 4.5iififf)2()()2(21012k-1f1( k )1.511.521f2( k )01233-2-2-1kiiiif2(i )f2(2i)012i-1f1( i )f2( k- - i )11.5233.3.不不进位乘法求卷积进位乘法求卷积f(k)=所有两序列序号之和为所有两序

17、列序号之和为k 的那些样本乘积之和。的那些样本乘积之和。如如k=2时时f(2)= +f1(-1)f2(3) + f1(0)f2(2) + f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) + =+f1(-1)f2(k+1) + f1(0)f2(k) + f1(1)f2(k-1)+ f1(2)f2(k-2) + + f1(i) f2(k i) + iikfifkf)()()(21例例 f1(k) =0， f1(1) ， f1(2) ， f1(3)，0 f2(k) =0， f2(0) ， f2(1)，0f1(1) ， f1(2) ， f1(3)f2(0) ， f2(1)f1(1) f2(0) ，f1(

18、2) f2(0) ，f1(3) f2(0) f1(1)f2(1) ，f1(2) f2(1) ，f1(3) f2(1) + f1(3) f2(1) f1(2)f2(1)+ f1(3)f2(0) f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) f1(1) f2(0)f(k)= 0， f1(1) f2(0)， f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) f1(2)f2(1)+ f1(3)f2(0) ， f1(3) f2(1) ，0 排成排成乘乘法法不进位乘法适用有限长序列卷积若： ，序列21 )(nknkf43 )(nknkh序列序列则)(kyzs例如： 个元素：4 30 )( kkf个元素：5 40 )( kkh个元素： 8 70 )( kkyzs