概率论 第7章

1、第七章第七章 随机过程及其统计描述随机过程及其统计描述 在概率论中主要研究一个或有限个随机在概率论中主要研究一个或有限个随机变量变量, ,即一维或者即一维或者n n维随机变量维随机变量( (随机向量随机向量),),随着科学技术的发展随着科学技术的发展, ,往往需要接连不断的往往需要接连不断的观察或研究随机变量的变化过程观察或研究随机变量的变化过程, ,这就要同这就要同时考虑无穷多个随机变量时考虑无穷多个随机变量, ,或者说一族随机或者说一族随机变量变量, ,随机过程这是在这种要求下随机过程这是在这种要求下, ,于上世纪于上世纪产生并发展起来的一个数学分支产生并发展起来的一个数学分支, ,它是研

2、究它是研究随机现象变化过程的规律性的理论随机现象变化过程的规律性的理论. .目前以目前以广泛应用于许多现代科学技术领域之中广泛应用于许多现代科学技术领域之中. .随机过程及其统计描述随机过程的基本概念随机过程的基本概念随机过程的分类随机过程的分类泊松过程泊松过程 7.1 随机过程的基本概念随机过程的基本概念一一 引言引言 现实世界中的许多现象是随时间的进展而变化现实世界中的许多现象是随时间的进展而变化与发展的，这些现象通常称为过程。可分为两类：与发展的，这些现象通常称为过程。可分为两类： (1)(1)确定性的变化过程：确定性的变化过程： (2)(2)不确定的变化过程：不确定的变化过程： 如果质

3、点在一个随机的力（它由各种随机因如果质点在一个随机的力（它由各种随机因素形成）的作用下，那么质点的运动也是随机的。素形成）的作用下，那么质点的运动也是随机的。如何描述这样的变化过程如何描述这样的变化过程? ?1. 如果对其变化过程的全过程做一次观察如果对其变化过程的全过程做一次观察, ,得到得到一个位置与时间关系的函数一个位置与时间关系的函数x1(t ),若再次观察，若再次观察，又得到函数又得到函数x2(t ), , ,因而得到因而得到一族时间函数一族时间函数. .2. 2. 如果在时刻如果在时刻t t观察质点的位置观察质点的位置x(t ),则则x(t )是一是一个随机变量个随机变量, ,这样

4、对于每个时刻这样对于每个时刻t便得到一个随便得到一个随机变量机变量x(t ),于是我们就得到于是我们就得到一族随机变量一族随机变量 x(t),t0,（最初始时刻为（最初始时刻为t=0）, ,它描述了此随它描述了此随机的运动过程。机的运动过程。 图图7-17-1它在任一确定时刻的值是随机变量它在任一确定时刻的值是随机变量. .显然这显然这个随机过程的状态空间为个随机过程的状态空间为 。 我们称这种随时间的进展而变化与发展的随我们称这种随时间的进展而变化与发展的随机现象为随机过程。机现象为随机过程。注释：注释：(1) (1) 随机过程随机过程 是定义在是定义在t上的二元函上的二元函数，因此可以从两

5、个角度去理解数，因此可以从两个角度去理解, , 因而有如上的两因而有如上的两个定义。个定义。 在理论分析往往用随机变量族的描述方式，在在理论分析往往用随机变量族的描述方式，在实际测量和处理中往往采用样本函数族的描述方式实际测量和处理中往往采用样本函数族的描述方式 ( ),x t ttcos( ) (,) thx tttt 当出现当出现例3: 考虑抛掷一颗骰子的试验，考虑抛掷一颗骰子的试验，(i)设设 是第是第n次次（ ）抛掷的点数，对于）抛掷的点数，对于n=1,2的不同值的不同值, , 是是不同的随机变量，因而不同的随机变量，因而 构成一随机过程，构成一随机过程，称为贝努利过程或贝努利随机序列

6、，称为贝努利过程或贝努利随机序列，(ii)设设xn是前是前n次抛掷中出现的最大点数，次抛掷中出现的最大点数， 也是一随机也是一随机过程。过程。nx1n nx,1nxn ,1nxn 二二 随机过程的概率分布随机过程的概率分布（一）随机过程的分布函数族（一）随机过程的分布函数族 1.1.一维分布函数族一维分布函数族( , )( ),xfx tp x txx r 2. n n维分布函数族维分布函数族 12121122( ,; ,)( ),( ),( ), 1,2, .xnnnnifx xxt ttp x tx x txx txxinr, 注注: :可以证明（柯尔莫哥洛夫），在一定条件可以证明（柯尔莫

7、哥洛夫），在一定条件下，随机过程的统计特性完全由它的有限维分布下，随机过程的统计特性完全由它的有限维分布函数族决定。函数族决定。（二）二维随机过程的联合分布函数（二）二维随机过程的联合分布函数12121212( ,; , ,:,; , ,)nnmmf x xx t tty yyt tt 1111( ),( ), ( ), ()nnmmp x txx tx y tyy ty例例 6 6 求例求例1 1中的随机过程的一维分布函数中的随机过程的一维分布函数1( ,0),( , )4f xf x和二维分布函数和二维分布函数1( , ,0, )4f x y解：对任意实数解：对任意实数,tr 有有( )x

8、 tcos t t1212p特别的特别的(0)x101212p1( )4x22141212p1(0),()4xx2(1,)21(0,)41212p1()4x22141212p0,0,1( ,0),01,21,1.xf xxx 10,41112( ,),424221,.2xf xxx (0)x101212p三三 随机过程的数字特征随机过程的数字特征tttxetx ),()( 函数函数)()(txetx22 )()()(txdtdtxx 2 )()()()()(),(),(ttxssxetxsxcovtscxxx 为为x(t),t t的的均方值函数均方值函数. . 为为x(t),t t的的方差函数

9、方差函数. . 为为x(t),t t的的自协方差函数自协方差函数. . 为为x(t),t t的的均值函数均值函数. . 1.1.单个随机过程的情况单个随机过程的情况 2( )( , ),xxtrt t 诸数字特征的关系：诸数字特征的关系： 22( )( , )( , )( )xxxxtct trt tt( , )( )( )xrt se x t x s为为 x x( (t t),),t t t t 的的自相关函数自相关函数. . ( , )( , )( )( )xxxxcs trs tst2 2二个随机过程的情况二个随机过程的情况( , )( ) ( ), ,xyrt se x t y st

10、st( , )( )( ) ( )( )xyxyct sex tty ss( , )( )( ) ,xyxyrt stst st例例 7 7 求例求例1 1中的随机过程的均值函数，方差函中的随机过程的均值函数，方差函数，相关函数和协方差函数。数，相关函数和协方差函数。解：解：1( )( )cos22xtte x tt( )x tcost t1212p2221( )( )( )(cos)4xxdte xtttt( ),( )xtxs(cos,cos)ts ( , )t s1212p1( , )( )( )coscos22xtsrt se x t x sts1( , )( , )( )( )(co

11、s)(cos)4xxxxct srt ststtss )2 , 0(0)2 , 0(21)( f02120 dtataetxetx)cos()cos()()(解解: : 的概率密度为的概率密度为 于是于是 )cos()cos()()(),(2 tsaetxsxetsrx dtsa21coscos202 sta cos22.2)(),()(222atttrtxxx ( ) e x te yte z02( ) d x td yt d z21 t )()(),(22122121txettxf 所以一维概率密度为所以一维概率密度为 又由正态分布的性质知，对于任意又由正态分布的性质知，对于任意 服从二维

12、正态分布而服从二维正态分布而 tsztyzsyetsrtscxx 1),(),( 22111,tststsx 所以二维概率密度为所以二维概率密度为 1212222122211222222212121( ,; , )2(1)(1) 11exp22(1) 11(1)(1)f x x t tttxx xxtttt其中其中 12( , )xt t, s tt( ),( )x sx t22( )( )0; ( )1, ( )1e x se x td x ssd x tt 两个随机过程之和的自相关函数为各个随机两个随机过程之和的自相关函数为各个随机过程的相关函数与它们的互相关函数之和。过程的相关函数与它们的互相关函数之和。若两若两个随机过程