大学物理第五章机械振动习题解答和分析要点

1、5-1有一弹簧振子，振幅 A=2.0?10-2m,周期T=1.0s,初相？二3冗/4北写出它的振 动位移、速度和加速度方程。分析根据振动的标准形式得出振动方程，通过求导即可求解速度和加速度方程。解：振动方程为：x=Acost+?=Acos3兀42兀Tt+?代入有关数据得：x=0.02cos2兀t+振子的速度和加速度分别是：v=dx/dt=-0.04 兀 sin2 兀 t+3 冗43兀4(SI) (SI) a=dx/dt=-0.08 兀 cos2 兀 t+222(SI)5-2若简谐振动方程为x=0.1cos20 宜+九/4的：(1)振幅、频率、角频率、周期和初相；(2) t=2s时的位移、速度和

2、加速度.分析通过与简谐振动标准方程对比，得出特征参量。解：(1)可用比较法求解.根据x=Acost+?=0.1cos20冗t+福/4振幅A=0.1m , 角频率 =20兀rad/s频率v=/2兀=帼期T=1/v =0.1s ?=兀/4rad(2) t=2s时，振动相位为：？=20兀t+兀/4=(40兀+兀/4)rad22 由 x=Acos?, v -Aco sn?, a=-Aw cos?- x得-1,x=0.0707m, v-4.44m/s,a=-279m/s5-3质量为2kg的质点，按方程x=0.2sin5t-(兀/6)(S附着x轴振动.求：(1) t=0时，作用于质点的力的大小；(2)作用

3、于质点的力的最大值和此时质点的位置.分析根据振动的动力学特征和已知的简谐振动方程求解，位移最大时受力最大。2解:(1)跟据 f=ma=-m3x, x=0.2sin5t-(兀/6) 2将t=0代入上式中，得：f=5.0N2 (2)由£=-010可知，当x=-A=-0.2m时，质点受力最大，为f=10.0N5-4为了测得一物体的质量m,将其挂到一弹簧上并让其自由振动，测得振动频率v 1=1.0Hz而当将另一已知质量为 m'的物体单独挂到该弹簧上时，测得频率 为v 2=2.0HZ£振动均在弹簧的弹性限度内进行，求被测物体的质量.分析根据简谐振动频率公式比较即可。解：由v

4、=12冗k/m对于同一弹簧(k相同)采用比较法可得：V 1v 2=m'm解得：m=4m'5-5一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅 A=2.0?10(1)物体在正方向端点；(2)物体在平衡位置，向负方向运动；(3)物体在x=1.0? 10-2-2m,周期T=0,当t=0时，m处，向负方向运动；-2 (4)物体在x=-1.0? 10m处，向负方向运动.求以上各种情况的振动方程。分析根据旋转矢量图由位移和速度确定相位。进而得出各种情况的振动方程。解：设所求振动方程为：x=Acos由A旋转矢量图可求出?1=0,?2=兀/2,?3=兀/3,?4=2 几/3 2 兀 Tt+?=0.02cJ

5、)s4兀 t+?题图5-5(1) x=0.02cos4 Ttt(SI)2) x=0.02cos4 兀 t+(3) x=0.02cos4 Ttt+ 兀3 兀 2(SI) 2 兀 3(SI) (SI) x=0.02cos4 兀 t+ 25-6在一轻弹簧下悬挂 m0=100g整码时，弹簧伸长8cm.现在这根弹簧下端悬挂m=250g的物体，构成弹簧振子.将物体从平衡位置向下拉动4cm,并给以向上的21cm/s 的初速度(令这时t=0).选x轴向下，求振动方程.分析在平衡位置为原点建立坐标，由初始条件得出特征参量。解：弹簧的劲度系数k=m0g/?l o当该弹簧与物体m构成弹簧振子，起振后将作简谐振动，可

6、设其振动方程为：x=Acost+?角频率为 =k/mR入数据后求得 =7rad/s以平衡位置为原点建立坐标，有：x0=0.04m,v0=-0.21m/s据A=x0+(v0/得：A=0.05m -122 据?=icosx0A 得？=±0.64rad 由于 v0<0,应取？=0.64(rad)于是，所求方程为：x=0.05cos(7t+0.64)(m)5-7某质点振动的x-t曲线如题图5-7所示.求：(1)质点的振动方程；(2)质点到达P点相应位置所需的最短时间.分析由旋转矢量可以得出相位和角频率，求出质点的振动方程。并根据 P点的相 位确定最短时间。解：(1)设所求方程为：x=A

7、cos(t+70)从图中可见，t=0,x0=A/2,v0>0由旋转矢量法可知；？0=-又 t=1S, 3 t二九3九3=兀2=5几65兀6t-故：x=0.1cos(冗3)m题图5-7(2) P点的相位为0 tp+?0=5 兀璘p 3=0tp=0.4s即质点到达P点相应状态所要的最短时间为0.4s5-8有一弹簧，当下面挂一质量为 m的物体时，伸长量为9.8? 10且规定向下为正方向.(1)当t=0时，物体在平衡位置上方8.0?10-2-2m.若使弹簧上下振动，m,由 静止开始向下运动，求振动方程.(2)当t = 0时，物体在平衡位置并以0.6m/s的速度向上运动，求振动方程.分析 根据初始

8、条件求出特征量建立振动方程。解：设所求振动方程为：x=Acos(t+? mg?lg?l其中角频率 w =k/m=/m=,代入数据得：=10rad/s(1)以平衡位置为原点建立坐标，根据题意有：x0=-0.08m,v0=0据A=x0+(v0/)得：A=0.08m -122 据?=±cosx0A得？=±兀rad于v0 = 0，不妨取？二兀rad于是，所求方程为：x1=0.08cos(10t+兀)(SI)(2)以平衡位置为原点建立坐标，根据题意有：x0=0,v0=-0.6m/s据A=x0+(v0/co)得：A=0.06m -122 据?=±cosx0A 得？=±

9、; 兀 /2rad于 v0<0,应取?=兀 /2rad于是，所求方程为：x2=0.06cos(10t+兀/2)(SI)5-9 一质点沿x轴作简谐振动，振动方程为x=4? 10-2cos(2冗t+起到质点位置在x=-2cm处，且向x轴正方向运动的最短时间.分析由旋转矢量图求得两点相位差，结合振动方程中特征量即可确定最短时间。解：依题意有旋转矢量图从图可见？=冗冗3)(印)求：从t=0时亥ij而?=？t=2 九(-0)解答图5-9故所求时间为：t0=?CD=12s5-10两个物体同方向作同方向、同频率、同振幅的简谐振动，在振动过程中，每 当第一个物体经过位移为A/2的位置向平衡位置运动时，第

10、二个物体也经过此位 置，但向远离平衡位置的方向运动，试利用旋转矢量法求它们的相位差.分析由旋转矢量图求解。根据运动速度的方向与位移共同确定相位。解：由于x10=A/由于 x20=A/2、v10<0 可求得：？1 =兀 /4 2 v20>0可求得：？2=-兀/4如图5-10所示，相位差：？=?1-?2=兀/2题图5-10题图5-11题图5-115-11 简谐振动的振动曲线如题图5-11所示，求振动方程.分析利用旋转矢量图求解，由图中两个确定点求得相位，再根据时间差求得其角 频率。解：设所求方程为x=Acos(t+?当t=0时：x1=-5cm,v1<0由A旋转矢量图可得：？t=0

11、=2兀/3rad当t=2s时：从x-t图中可以看出：x2=0,v2>0据旋转矢量图可以看出，？t=2=3冗/2rad所以,2秒内相位的改变量？=?t=2-?t=0=3兀/22兀/3=5兀/6rad据？=？1可求出：=？?/?t=5兀/12rad/s是：所求振动方程为：x=0.1cos(512 7tt+23 兀)(SI)5-12在光滑水平面上，有一作简谐振动的弹簧振子，弹簧的劲度系数为K,物体的质 量为m,振幅为A.当物体通过平衡位置时，有一质量为m'的泥团竖直落到物体上并 与之粘结在一起.求：(1) m'和m粘结后，系统的振动周期和振幅；(2)若当物体到达最大位移处，泥团

12、竖直落到物体上，再求系统振动的周期和振幅. 分析系统周期只与系统本身有关，由质量和劲度系数即可确定周期，而振幅则由系统能量决定，因此需要由动量守恒确定碰撞前后速度，从而由机械能守恒确定其振幅。解：(1)设物体通过平衡位置时的速度为 v,则由机械能守恒12KA=212mv2v=±当m'竖直落在处于平衡位置m上时为完全非弹性碰撞，且水平方向合外力为零，所以 mv=(m+m')uu=mm+m'v此后，系统的振幅变为A',由机械能守恒，有12KA'=212(m+m')u=2 A'=系统振动的周期为：T=2兀m+m'K(2)当m在

13、最大位移处m'竖直落在m上，碰撞前后系统在水平方向的动量均为零，因而系统的振幅仍为 A,周期为2Ttm+m'K.5-13设细圆环的质量为m,半径为R,挂在墙上的钉子上.求它微小振动的周期.分析 圆环为一刚体须应用转动定律，而其受力可考虑其质心。解：如图所示，转轴o在环上，角量以逆时针为正，则振动方程为Jd 9dt22=-mgRsin 0当环作微小摆动sin 0曲也d 0dt22+ 9 二0 2二2»答图5-13J=2mR.T=2几=2冗914 一轻弹簧在60 N的拉力下伸长30 cm.现把质量为4 kg的物体悬挂在 该弹簧的下端并使之静止，再把物体向下拉10 cm,然

14、后由静止释放并开始计 时.求（1）此小物体是停在振动物体上面还是离开它？（2）物体的振动方程；（3）物体在平衡位置上方5 cm时弹簧对物体的拉力；（4）物体从第一次越过平衡位置 时刻起到它运动到上方5 cm处所需要的最短时间.（5）如果使放在振动物体上的 小物体与振动物体分离，则振幅 A需满足何条件？二者在何位置开始分离？ 分析小物体分离的临界条件是对振动物体压力为零，即两物体具有相同的加速 度，而小物体此时加速度为重力加速度，因此可根据两物体加速度确定分离条 件。解：选平衡位置为原点，取向下为x轴正方向。由：f=kx k= =fx=200N/m回=7.07rad/s （1小物体受力如图.设小

15、物体随振动物体的加速度为 a, 按牛顿第二定律有mg-N=ma N=m(g-a)当N = 0,即2 = g时，小物体开始脱离振动物体, 已知 A = 10 cm, k=200N/m,题图 514 = 7.07rad/s系统最大加速度为 amax=o A=5m? s此值小于g,故小物体不会离开.(2) t=0 时,x0=10cm=Acos?,解以上二式得 A=10cmv0=0=-Aco sin? 2-2?=0题图5- 14.振动方程x=0.1cos(7.07t)(SI) (3)物体在平衡位置上方5 cm时，弹簧对物体的拉力 f=m(g-a),而 a=-wx=2.5n? s.f=29.2N 2-2

16、设t1时刻物体在平衡位置，此时x=0,即0=Acos t1,;此时物体向上运动，v<0二 cot1=Tt2,t1=兀 23=0Q222s再设t2时物体在平衡位置上方5cm处，此时x=-5cm ,即-5=Acos t2,.此时物体向上运动，v<0 cot2=2兀3,t2=2兀3=0.296s?t=t2-t1=0.074s(5)如使a > g,小物体能脱离振动物体，开始分离的位置由N = 0求得g=a=-a xx=-g/ =19.6cm 22即在平衡位置上方19.6 cm处开始分离，由amax=o A>g,可得A>g/ =19.6cm5-15在一平板下装有弹簧，平板上

17、放一质量为1.0Kg的重物.现使平板沿竖直方向作上下简谐振动，周期为0.50s,振幅为2.0? 10-222m,求：(1)平板到最低点时，重物对板的作用力；(2)若频率不变，则平板以多大的振幅振动时，重物会跳离平板？(3)若振幅不变，则平板以多大的频率振动时，重物会跳离平板？分析重物跳离平板的临界条件是对平板压力为零。解：重物与平板一起在竖直方向上作简谐振动，向下为正建立坐标，振动方程为：x=0.02cos(4兀t+?设平板对重物的作用力为N,于是重物在运动中所受合力为：0 1 l<fuL e干5f=mg-N=ma, 而 a=-w x 2据牛顿第三定律，重物对平板的作用力 N'为

18、：N'=-N=-m(g+co 2x)(1)在最低点处：x=A,由上式得，N'=12.96N(2)频率不变时，设振幅变为 A',在最高点处(x=-A')重物与平板间作用力最小，设 N'=0 可得：A'=g/ =0.062m 2(3)振幅不变时，设频率变为 V在最高点处(x=-A')重物与平板间作用力最 小，设N'=0 可得：v'=cd'/2 兀=3.52Hz5-16 物体沿x轴作简谐振动，振幅为0.06m,周期为2.0s,当t=0时位移为0.03m,且向轴正方向运动，求：(1) t=0.5s时，物体的位移、速度和加速

19、度；(2)物体从x=-0.03m处向x轴负方向运动开始，到达平衡位置，至少需要多少 时间？分析通过旋转矢量法确定两位置的相位从而得到最小时间。解：设该物体的振动方程为x=Acos(t+?依题意知：=2 兀 /T= tt rad/s,A=0.06m x0A 据？=±cos-1 得？=± 兀 /3(rad)由于v0>0,应取?=-冗/3(rad)可得：x=0.06cos(无叱 /3)(1) t=0.5s时，振动相位为：？=兀-t兀/3=兀/6rad据 x=Acos?,得 x=0.052m,v=-Aco sin?,v=-0.094m/s,a=-Aco cos?=- x a=

20、0.512m/s 222(2)由A旋转矢量图可知，物体从x=-到达平衡位置时，mm处向x轴负方向运 动，A矢量转过的角度为？?二5冗16该过程所需时间为：？t=?/=0.833s 题图5-165-17地球上(设g=9.8m/s)有一单摆，摆长为1.0m,最大摆角为5,求：(1)摆的角频率和周期；(2)设开始时摆角最大，试写出此摆的振动方程；(3)当摆角为3时的角速度和摆球的线速度各为多少？分析由摆角最大的初始条件可直接确定其初相。解：(1)=3.13rad/s T=2 兀/=2.01s? 2 (2)由t=0时，9=9 max=5得振动初相？=0,则以角量表示的振动方程为0 = TT36cos3

21、.13t(SI)(3)由8=冗36cos3.13t(SI),当 9 =3寸，有 cos?= 9 / 9 max=0.6J - COS-甲而质点运动的角速度为：d 0 /dt=8 maxo sin?- 0 maxo =0.218rad/s线速度为：v=l?d 8 /dt=0.218m/s5-18有一水平的弹簧振子，弹簧的劲度系数K=25N/m,物体的质量m=1.0kg,物体静 止在平衡位置.设以一水平向左的恒力F=10 N作用在物体上（不计一切摩擦），使之 由平衡位置向左运动了 0.05m,此时撤除力F,当物体运动到最左边开始计时，求物体 的运动方程.分析恒力做功的能量全部转化为系统能量，由能量

22、守恒可确定系统 的振幅。解:设所求方程为x=Acos（t+?0） =5rad/s因为不计摩擦，外力做的功全转变成系统的能量，故Fx=12KA-.A=2 =0.2m又 t=0,x0=-A, . . ?0=Tt故所求为 x=0.2cos（5t+ 兀）（SI）5-19如题图519所示，一质点在x轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A点时作为计时起点（t = 0 ）,经过2秒后质点第一次经过B点，再经过2秒后质 点第二次经过B点，若已知该质点在A、B两点具有相同的速率，且 AB = 10 cm 求：（1）质点的振动方程；（2）质点在A点处的速率.分析由质点在A、B两点具有相同的速率可知 A、B两点在

23、平衡位置两侧距平衡 位置相等距离的位置，再联系两次经过 B点的时间即可确定系统的周期，而相位 可由A、B两点位置确定。解：由旋转矢量图和vA=vB可知T2=4s,T=8s,厂 18s,-1 题图5-19二2九、二 冗4rad? s -1(1)以AB的中点为坐标原点，x轴指向右方.t=0时，x=-5cm=Acos?t=2s 时,x=5cm=Acos(2 +?=-Asin ?由上二式解得tg?=1因为在A点质点的速度大于零，所以？=A=x/cos?=-3九4或5九4A 6题解图5-19振动方程因x=10dxdt-23兀cos(-)SI)44速率-5&V父1广4v=九4)(SI)当t = 0

24、时，质点在A点v= dxdt=10-2sin(-3九4)=3.93? 10-2 m? s-15-20物体放在水平木板上，这木板以v =2HZ勺频率沿水平直线作简谐振动，物体和水平木板之间的静摩擦系数Ps=0.50求物体在木板上不滑动时的最大振幅 Amax.分析物体在木板上不滑动的临界条件是摩擦力全部用来产生其加速度。解：设物体在水平木板上不滑动竖直方向：N-mg=0 水平方向：fx=-ma且 fx & n sN又有 a=-w Acos( t+)2(1)(2)(3)(4)由(1)(2)(3)得 amax即 smg/m=i sg再由此式和(4)得 Amax=i sg/ =寸 sg/(4 兀

25、、)=0.031m2225-21在一平板上放一质量为 m=2kg的物体，平板在竖直方向作简谐振动，具振动 周期(1)物体对平板的压力的表达式.T=0.5s,振幅A=4cm,求：(2)平板以多大的振幅振动时，物体才能离开平板？分析首先确定简谐振动方程，再根据物体离开平板的临界位置为最高点，且对平 板压力为零。解：物体与平板一起在竖直方向上作简谐振动，向下为正建立坐标，振动方程为：x=0.04cos(4 Ttt-)(SI)设平板对物体的作用力为N,于是物体在运动中所受合力为：f=mg-N=ma=-mco x(1)据牛顿第三定律，物体对平板的作用力N'为：N'=-N=-m(g+co

26、x)即：N'=-m(g+16兀 x)=19.6-1.28 兀 cos(4 兀)+?(2)当频率不变时，设振幅变为 A',在最高点处(x=-A')物体与平板间作用力最小 令N'=0可得：A'=g/=0.062m5-22氢原子在分子中的振动可视为简谐振动.已知氢原子质量m=1.68? 10频率 v =1.0101422222-27振动 Kg, Hz,振幅 A=1.0? 10-11m试计算：(1)此氢原子的最大速度；(2)与此振动相联系的能量.分析振动能量可由其最大动能(此时势能为零)确定。解：(1)最大振动速度：vm=Ao =2兀v A=6.28 10m/s

27、氢原子的振动能量为：E=12mvm=3.31? 102-203J5-23物体质量为0.25Kg,在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的劲度系数 k=25N/m,如果起始振动时具有势能 0.06J和动能0.02J,求：振幅；动能恰等于势能时的位移；(3)经过平衡位置时物体的速度.分析简谐振动能量守恒，其能量由振幅决定。解：(1) E=EK+EP=A=2(EK+EP)/k1/212kA 2=0.08(m)因为E=EK+EP=2212kA,当 EK=EP 时，有 2EP=E,又因为EP=kx/2 = 0.0566(m) 22 得:2x=A ,即 x=彷/过平衡点时，x=0,此时动能等于总能量 E=EK+E

28、P=v=2(EK+EP)/m1/212mv 2= m/s)5-24一定滑轮的半径为R,转动惯量为J,其上挂一轻纯，纯的一端系一质量为 m的物体，另一端与一固定的轻弹簧相连，如题图5-24所示.设弹簧的劲度系数为k,纯与滑轮间无滑动，且忽略轴的摩擦力及空气阻力.现将物体m从平衡位置拉下一微小距离后放手，证明物体作简谐振动，并求出其角频率.分析由牛顿第二定律和转动定律确定其加速度与位移的关系即可得到证明。解：取如图x坐标，平衡位置为原点O,向下为正，m在平衡位置时弹簧已伸长x0 mg=kx0(1)设m在x位置，分析受力，这时弹簧伸长 x+x0T2=k(x+x0)(2)由牛顿第二定律和转动定律列方程

29、：mg-T1=maT1R-T2R=J0 (4) a=R 0 (5) k(J/R)+m2 题图 5-24 联立(1)(2)(3)(4)(5)解得 a=-x由于x系数为一负常数，故物体做简谐振动，其角频率为：=k(J/R)+m2=kR22J+mR工4号心衣衣题图5-245-25两个同方向的简谐振动的振动方程分别为：x1=4? 10x2=3? 10-2-2cos2 兀(t+18)(SI),cos2 兀(t+-2)(SI)求：(1)合振动的振幅和初相；(2)若另有一同方向同频率的简谐振动x3=5? 10cos(2 Ttt+?SI),则？为多少时，x1+x3的振幅最大？ ？又为 多少时，x2+x3的振幅

30、最小？分析合振动的振幅由其分振动的相位差决定。解：(1) x=x1+x2=Acos(2冗t+?按合成振动公式代入已知量，可得合振幅及初相为yj4 + 3 + 24cos（7T/2 -/ 4）A=10-2 =6.48? 10-2 m?=arctg兀 /2）4cos（兀 /4）+3cos（兀 /2）4sin（兀 /4）+3sin（-2=1.12rad所以，合振动方程为 x=6.48? 10cos(2 Ttt+1.12)(SI)(2)当?-?1=2kTt,即?=2kTt +九时，x1+x3 的振幅最大.当？-?2=(2k+1)式即 ?=2k兀+3兀/2, x2+x3的振幅最小.5-26有两个同方向同频率的振动，其合振动的振幅为0.2m,合振动的相位与第一个振动的相位差为九/6第一个振动的振幅为0.173m,求第二个振动的振幅及两 振动的相位差。分析根据已知振幅和相位可在矢量三角形中求得振幅。解：采用旋转矢量合成图求解取第一个振动的初相位为零，则合振动的相位为小=九/据A=A1+A2可知A2=A-A1,如图：A2=A1+A-2AA1cos ?=0.1(m) 22由于A、A1、A2的量值恰好满足勾股定理，故A1与A2垂直.即第二振动与第一振动的相位差为8 =兀/25- 27一质点同时参与两个同方向的简谐振动，具振动方程分别为x1=5? 10-