2012年普通高等学校招生全国统一考试——文数(陕西卷)

1、2012年普通高等学校招生全国统一考 试 文数（陕西卷）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1 集合 M 叫x|lgx 0 , N =x|x2 乞4，则 M “N 二（）A （1,2）B 1,2）C. （1,2D 1,2【答案】C【解析】MN=&2Ex 兰2，贝 U M cN =x1cx 兰 2，故选 C.2下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A y = x 1B y = -x31C y =_xD y = x| x I【答案】D【解析】选项中是奇函数的有 B、C、D，增函数有A、D，故选D 3 对某商店一个月内每天的顾

2、客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则改样本的中位数、众数、极差分别是（）A 46, 45, 56B 46, 45, 53C 47, 45, 56D. 45, 47, 53【答案】A【解析】根据图形，知共有 30个数据，所以中位数是（45+47）吃=46，众数是45,极差是68- 12=56 .故选 A .K4设a,bR , i是虚数单位，则 ab =0 ”是复数a -为纯虚数”的（）iA .充分不必要条件B 必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】ab =0 ”则a =0或b =0 ,复数a -为纯虚数”则a = 0且b = 0，贝y ab = 0

3、 ”iK是 复数a -为纯虚数”的必要不充分条件，故选 B.i5.下图是计算某年级 500名学生期末考试（满分为 100分）及格率q的程序框图，则图中空白框内应填入（）NC. q -M +NMD. q =M +N【答案】D【解析】根据程序框图，知 M表示及格人数，N表示不及格人数再由及格率的定义，得 及格率q =及格人数=及格人数=_ .故选 d.总人数 及格人数+不及格人数M + N6.已知圆C:x2 y2 -4x =0,丨过点P（3,0）的直线，则（）B .丨与C相切C. l与C相离D.以上三个选项均有可能【答案】A【解析】点P（3,0）在圆内，则丨必与C相交，故选A .+ +7.设向量

4、a = （1, cost ）与 b = （ 1,2cosv ）垂直，则 cos2v 等于（）C. 0【答案】C【解析】向量 a 与 b 垂直， a b = 0，即 1-1 - cost 2cos -0，二 2cos -1 .2 cos2： - 2cos v -1=0 .故选 C.&将正方体（如图图为（）【答案】B【解析】显然从左边看到的是一个正方形，不可见，所以用虚线表示故选B .29.设函数f xIn x ,则（）x1A. x 为f X的极大值点1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视因为割线AD1可见，所以用实线表示；而割线B1CB . X 为f x的极小值点

5、C . x = 2为f x的极大值点D . x = 2为f x的极小值点21 x _2【解析】f ' x 22，令f'x= 0 ,贝U x=2 .x x x c21 x 2 c当 x : 2 时，f ' x22 0 ;x x x21x-2小当 x 2 时，f ' X220.x x x即当x ： 2时，f x是单调递减的；当 x 2时，f X是单调递增的.所以x = 2是f x的极小值点故选 D .10.小王从甲地到乙地的时速分别为a和b （ acb）,其全程的平均时速为 ,则（）a v ；： 7abC.ab : v :2a +bv =22s【解析】设从甲地到乙地

6、的全程为s，则v二上一a b2ab 0 : a : b , a b 2b , a b 2 ab，所以: _2ab ： 2ab2b a b 2. ab贝V a < ab ，即 a v ： 、. ab 故选 A.二、填空题：把答案填写在答题 卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分,共 25 分)11.设函数f(x)=,x_0,则 f f-4=x ：0,【答案】4【解析】根据题意，知 f -4 = 112丿=16 ,f 16 -16=4 .所以 f f ：；： 一4= 4.12.观察下列不等式彳131 2 21331【解析】观察不等式的左边发现，第n个不等式的左边1 ，右边=2n

7、1 一1，所以第五个不等式为1_丄工2T2222 ；23456613.在三角形ABC中，角A兀B, C所对应的长分别为a, b, c，若a = 2 , B =-,6c = 2 J3，则 b =【答案】2【解析】根据余弦定理，得二a2 c2 -2 accosB=22 2 " -2 2 2、3 弓=4，所1 121 . . _1 -32423照此规律，第五个不等式为【答案】1 y右6 1米后,【解析】建立如图所示的直角坐标系，使拱桥的顶点O的坐标为（0, 0）,14.右图是抛物线形拱桥，当水面在I时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降米.水面宽设丨与抛物线的交点为 A B，根据题意，知

8、 A （- 2, 2）, B （2,- 2）.设抛物线的解析式为 y = ax2 , 则有 一一22，- 抛物线的解析式为 y =_x22水位下降1米，贝U y = 3,此时有x= 6或X-.6 .此时水面宽为2 6 米.15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A.（不等式选做题）若存在实数x使|x-a|+|x-1|兰3成立，贝U实数a的取值范是【答案】一 2乞a乞4【解析】|xa|+|x1臣3表示在数轴上，a至U 1的距离小于等于 3,即卩a 1乞3，则2 _a _4.B. (几何证明选做题)如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E , EF _

9、DB ,垂足为 F，若 AB =6, AE =1，则 DF DB =.【答案】5【解析】 AB =6，则圆的半径为3，连接0D，则0D =3 .又 AE =1,贝U 0E =2 ,在直角三角形 OED中，ED2 = 0D2 -0E2 = 5 ,根据射影定理，在直角三角形EDB中，DF DB =ED2 =5.C. (坐标系与 参数方程)直线2cost -1与圆：=2cos相交的弦长为 .【答案】, 3【解析】2Pcos0=1是过点 身,0且垂直于极轴的直线，P = 2cos0是以(1,0 )为圆心，1为半径的圆，则弦长三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)

10、116.已知等比数列faj的公比为q =n 2(i)若a3二1，求数列an 的前n项和；4(n)证明：对任意 N ., ak , ak 2， ak d成等差数列.2 11“【解析】(i)由a3二ag 及q，得印=1,421（所以数列f的前n项和Sn = (n)证明：对任意 k N .,2ak 2 -k ak 1) =2aqk 1 -(aq aqk)二 a1qk'(2q2 -q -1),1 2由 q 八孑得 2q -q T =0，故 2ak 2 -何 ak 1)=0.所以，对任意kN ., ak, ak.2，ak 1成等差数列.17. (本小题满分12分)函数f(x)=Asi n(.x)

11、1( A .0,.0 )的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之6间的距离为】.2(I)求函数f (x)的解析式；、l/小 JC、0(.(n)设圧三(0,)，则f ()=2，求的值.22【解析】(I)：函数f x的最大值是3, A 3，即A = 2 .HT函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为一，最小正周期 Th恵， =2 .2故函数f x的解析式为f(x)=2sin(2x-§)1.,、 1(n)： f (?) =2sin(： -石)1 =2，即 sin(：knnjinJin-0 ：:： 一，一 一：一 一：:：一， 一 一=，故 =.266366318. (本小题满分12分)直三棱柱 A

12、BC - AB1C1 中，AB 二 AA，- CAB =-.2(I)证明 CB_! _ BA ;(n)已知AB =2，BC = J5，求三棱锥GABA的体积。【解析】(I)如图，连结AB1，I I兀ABC - A B1G 是直三棱柱，CAB =.2AC _ 平面 ABRA，故 AC _ BA .又叮AB = AA，二四边形ABBA是正方形,.BA - AB1，又 CA“ AB1 = A,BA - 平面 CAR，故 CR 一 BA| .(n). AB=AA=2 , BC、5 , A AC1 .由(I)知，AC1丄平面ABA ,VC1 .ABA,1 “1 2寸ABA12 仁 3.19. (本小题满

13、分12分)为了解它们的使用寿命，现假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下:(I)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率;(H)这两种品牌产品中，某个产品已使 用了 200小时，试估计该产品是甲品牌的概率.斤 + 201【答案】(I)甲品牌产品寿命小于 200小时的频率为，用频率估计概率，所以,10041甲品牌产品寿命小于 200小时的概率为 丄.4(H)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有75+70=145个，其中甲品牌产品是 75个,7515145 一 29用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概

14、率为1529所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是20. (本小题满分13分)2已知椭圆C1 :y2 =1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与 C1有相同的离心率.4(I)求椭圆C2的方程；-H T(n)设O为坐标原点，点A, B分别在椭圆C1和C2上，0B = 20A，求直线AB的方程.2 2y x【答案】(I)由已知可设椭圆 c2的方程为七1 a 2 ,a 4其离心率为 f，故=2，则日二4.2 2故椭圆C2的方程为164二1.(n)解法一：A, B两点的坐标分别为 xA, yA , xB, yB ,由 AB 二 20A及(I)知,O, A, B三点共线且点A, B不在y轴上

15、,因此可设直线 AB的方程为y二kx .将 y =kx代入-y2 =1 中，得 1 4k2 x2 =4，所以 x；二42 2将y =kx代入+-1中，得4k2x2=16，所以164了2Xb162 2 16又由 AB = 20A,得 xB =4xa，即16解得k = 1，故直线AB的方程为y = x或y =x .解法二：A, B两点的坐标分别为 xA, yA , xB, yB ,由AB =20A及（i）知，O, A, B三点共线且点 A,B不在y轴上,因此可设直线 AB的方程为y = kx .将y = kx代入 y2 = 1中，得1 4k2 x2 = 4，所以x；42 ?1 4k又由 AB =2

16、0A,得xB216k22， yB =2 ,1 4k21 - 4k2162将xB, yB代入y4 k2164 =1 中，得 R"，即 4 k_14k2,解得k - _1，故直线AB的方程为y=x或y-x21. （本小题满分14分）设函数 fn(x)二xn bx c (n N .,b,c R)(i)设n亠2 , b =1, c =-1，证明：fn （x）在区间,1 J内存在唯一的零点;12丿(n)设n为偶数,f(1)兰1,（1） <1，求b 3cb+3c的最小值和最大值;（川）设n =2,若对任意 x1,x2 -1,1，有 | f2(xj - f2(x2) |-4，求 b 的取值范

17、围.【答案】(i)当 b=1, c=-1, n 2时,fn (x)二 xn x1又当12 2 21 '-,1)时，fn(x)= nx21 1 1-)1fn(x)在(,内存在零点.2n'1 0 ,11.fn(X)在(,)上是单调递增的，.fn(X)在(，内存在唯一零点221 - f -1 -1，0 b - c ： 2,(n)解法一：由题意，知即1兰 f(1)兰 1,2 兰 b + c 兰 0.由图像，知b 3c在点0, -2取到最小值6,在点0,0取到最大值0. b - 3c的最小值是一 6,最大值是0.解法二：由题意，知 一仁f 1b 11，即2乞b c0 ;一仁 f -1 =

18、1b C E1，即 一2 乞一b c 乞 0 . X2+，得 -6 _ 2 b c | 亠 I b c 二 b 3c _ 0,当 b =0, c - -2时，b 3c 二-6 ;当 b =c =0 , b 3c =0 . b 3c的最小值是6,最大值是0.i f i 1 = 1 -'b c,解法三：由题意，知f (1 )=1+b+c.解得 f 1 -f -1 , b1 f 八2 .2 2 b 3c =2f 1 f -1 -3.又 一仁 f -1 <1, 一仁 f 1 <1 , 6 乞 b 3c 乞 0 .当 b =0, c 二-2时，b 3c - £ ;当 b = c =0 , b 3c =0 . b 3c的最小值是6,最大值是0.2(2)当 n = 2 时，f2(x) = x bx c .对任意xX2 -1,1都有f2(xj - f2(X2)-4等价于f2(x)在-1,1上的最大值与最